यदि $x$ वास्तविक है और $\alpha, \beta$ क्रमशः $\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,तो $\alpha+\beta=$

फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ $(a>0)$ क्रमशः $p$ और $q$ पर अपना अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है और $p^2=q$ है। तो,$a=$

मान लीजिए $S=(-1, \infty)$ और $f: S \rightarrow R$ को $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $p$,$x$ के उन मानों के वर्गों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) प्राप्त करता है,और $q$,$x$ के उन मानों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) प्राप्त करता है। तब,$p^2+2q$ का मान है

एक लंबवृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई $3 \text{ cm}$ है। अधिकतम आयतन के लिए शंकु की ऊँचाई क्या होगी?

फलन $f(x) = -|x+1| + 3, x \in R$ का अधिकतम मान . . . . . . है।

$a$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = \frac{a x^3}{3} + (a + 2) x^2 + (a - 1) x + 2$ का एक ऋणात्मक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।