यदि फलन $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ अंतराल $[2, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $C$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[0, \pi]$ में फलन $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ के लिए रोले के प्रमेय का मान $c$ क्या है?

माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(x_1)$ जहाँ $a < x_1 < b$ है। यदि $f(x) = \frac{1}{x}$ है,तो $x_1 = $

निम्नलिखित फलनों पर विचार करें:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?

अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_{e} x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) लागू होने हेतु $c$ का मान क्या है?

यदि समीकरण $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x = 0$ का एक धनात्मक मूल $x = \alpha$ है,तो समीकरण $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1 = 0$ के धनात्मक मूल के बारे में क्या कहा जा सकता है?