$\int \frac{2 \cos 2 x}{(1+\sin 2 x)(1+\cos 2 x)} d x=$

मान लीजिए $f(x)=7 \tan^8 x + 7 \tan^6 x - 3 \tan^4 x - 3 \tan^2 x$ के लिए,$I_1 = \int_0^{\pi/4} f(x) \, dx$ और $I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx$ है। तो $7 I_1 + 12 I_2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int(\sin x )^{\frac{-11}{2}}(\cos x )^{\frac{-5}{2}} dx = -\frac{p_1}{q_1}(\cot x)^{\frac{9}{2}}-\frac{p_2}{q_2}(\cot x)^{\frac{5}{2}}-\frac{p_3}{q_3}(\cot x)^{\frac{1}{2}}+\frac{p_4}{q_4}(\cot x)^{\frac{-3}{2}}+C,$ जहाँ $p_i$ और $q_i$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $i =1,2,3,4$ के लिए $\operatorname{gcd}(p_i, q_i)=1$ है और $C$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $\frac{15 p_1 p_2 p_3 p_4}{q_1 q_2 q_3 q_4}$ का मान . . . . . . है।

$\int \frac{1}{x^m \sqrt[m]{x^m+1}} d x=$

मान लीजिए कि एक फलन $h(x)$ को सभी $x \ne 0$ के लिए $h(x) = 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है। साथ ही, प्रत्येक फलन $f(x)$ के लिए $\int_{-\infty}^{\infty} h(x) \cdot f(x) \, dx = f(0)$ है। तो निश्चित समाकल $\int_{-\infty}^{\infty} h'(x) \cdot \sin x \, dx$ का मान क्या है?

$\int \sqrt{x^{2}-8 x+7} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।