int frac{x+sin x}{1+cos x} d x का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} dx$. सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$ और $1+\cos x = 2 \cos^2(x/2)$ का उपयोग करने पर: $I = \i

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$x 	an \left(\frac{x}{2}ight)+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} dx$. सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2)$ और $1+\cos x = 2 \cos^2(x/2)$ का उपयोग करने पर: $I = \int \frac{x + 2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} dx$ $I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2(x/2)} + \frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} ight) dx$ $I = \int \left( \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) + 	an(x/2) ight) dx$ अब,पहले पद $\int \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: माना $u = x$ और $dv = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$. तब $du = dx$ और $v = 	an(x/2)$. $\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करने पर: $\int \frac{1}{2} x \sec^2(x/2) dx = x 	an(x/2) - \int 	an(x/2) dx$ इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = x 	an(x/2) - \int 	an(x/2) dx + \int 	an(x/2) dx + c$ $I = x 	an(x/2) + c$

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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