यदि वक्र x^2+y^2=16 और रेखाओं x=2 तथा x=3 द्व | vedclass

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Question

(A) वक्र $x^2+y^2=16$ और रेखाओं $x=2$ तथा $x=3$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:$A = \int_2^3 \sqrt{16-x^2} dx$मानक समाकलन सूत्र

Vedclass · Accepted Answer

$16 \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$

Vedclass · Answer

(A) वक्र $x^2+y^2=16$ और रेखाओं $x=2$ तथा $x=3$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:$A = \int_2^3 \sqrt{16-x^2} dx$मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करने पर:$A = \left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + 8\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right)\right]_2^3$निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{16-9} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\frac{2}{2}\sqrt{16-4} + 8\sin^{-1}\left(\frac{2}{4}\right)\right)$$A = \left(\frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right) - \left(\sqrt{12} + 8\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$चूंकि $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ है:$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) - 2\sqrt{3} - 8\left(\frac{\pi}{6}\right)$$A = \frac{3}{2}\sqrt{7} - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} + 8\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$दिए गए व्यंजक $\left(3 \sqrt{7}-4 \sqrt{3}-\frac{8 \pi}{3}+k\right)$ से तुलना करने पर:$A = \frac{1}{2} \left(3\sqrt{7} - 4\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3} + 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)$अतः,$k = 16\sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

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