अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ का हल है

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ के व्यापक हल द्वारा निरूपित प्रत्येक वक्र,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ के व्यापक हल द्वारा निरूपित प्रत्येक वक्र को $\theta$ कोण पर काटता है। तो,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

माना $f:[0, \infty) \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in[0, \infty)$ के लिए $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(1,2)$ से गुजरता है
$(B)$ वक्र $y=f(x)$ बिंदु $(2,-1)$ से गुजरता है
$(C)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-2}{4}$ है
$(D)$ क्षेत्र $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-1}{4}$ है

यदि $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ है,तो $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y - \cos y = x$ अवकल समीकरण $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ का हल है।

यदि $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ का हल है,तो $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ का मान क्या है?