AP EAMCET 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ ના બીજ સમાન છે,તેથી વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(c^2 + a^2 - 2ac) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$
$c^2 + a^2 - 2ac - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$
$c^2 + a^2 + 2ac + 4b^2 - 4ab - 4bc = 0$
$(c+a)^2 - 4b(a+c) + (2b)^2 = 0$
આ $X^2 - 2XY + Y^2 = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $X = (c+a)$ અને $Y = 2b$.
$(c+a - 2b)^2 = 0$
$c+a - 2b = 0$
$2b = a+c$
આમ,$2b = a+c$ હોવાથી,$a, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3-k x^2+14 x-8=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે જે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a_{coeff}} = -\frac{-8}{1} = 8$ થાય.
તેથી,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
અહીં $a=2$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2)^3 - k(2)^2 + 14(2) - 8 = 0$.
$8 - 4k + 28 - 8 = 0$.
$28 - 4k = 0$.
$4k = 28 \Rightarrow k = 7$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ આ સમીકરણના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
બીજો વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ થાય.
બે બીજનો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $HM = 4$,તેથી $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ વડે ભાગતા,$b = 4 - \sqrt{5}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{1+\cos \frac{\pi}{8}-i \sin \frac{\pi}{8}}{1+\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} - 2i \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}}{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} + 2i \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}}$
$z = \frac{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16})}{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16}}{\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}} = \frac{e^{-i \frac{\pi}{16}}}{e^{i \frac{\pi}{16}}} = e^{-i \frac{2\pi}{16}} = e^{-i \frac{\pi}{8}}$.
હવે,$z^8 = (e^{-i \frac{\pi}{8}})^8 = e^{-i \pi}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^{-i \pi} = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1 + 0 = -1$.

(D) આપેલ છે,$S = \sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$
$-i$ સામાન્ય લેતા:
$S = \sum_{k=1}^6 (-i) \left( \cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7} \right)$
ધારો કે $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$.
$S = -i \sum_{k=1}^6 \omega^k$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે:
$S = -i \left( \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 \right)$
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું $7$ મું મૂળ છે,$1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = 0$.
તેથી,$\omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = -1$.
આ કિંમત $S$ માં મૂકતા:
$S = -i (-1) = i$.

(B) પ્રથમ ઘાતાંક એ $a = \frac{1}{3}$ અને $r = \frac{2}{3}$ ધરાવતી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
તેનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1-2/3} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\omega^{\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\right)} = \omega^1 = \omega$.
બીજો ઘાતાંક એ $a = \frac{1}{2}$ અને $r = \frac{3}{4}$ ધરાવતી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
તેનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1-3/4} = 2$ થાય છે.
તેથી,$\omega^{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\ldots\right)} = \omega^2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$\omega + \omega^2$ મળે છે.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$.
$z=-1$ માટે ચકાસતા: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$. તેથી,$-1$ સામાન્ય બીજ નથી.
$z=\omega$ માટે ચકાસતા: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$. તેથી,$\omega$ સામાન્ય બીજ છે.
$z=\omega^2$ માટે ચકાસતા: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$. તેથી,$\omega^2$ સામાન્ય બીજ છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.

(D) '$QUESTION$' શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે.
નિદર્શાવકાશમાં કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $n(S) = 8!$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $n(E)$ શોધવા માટે,આપણે $Q$ અને $S$ ને એવી રીતે ગોઠવીએ કે તેમની વચ્ચે બરાબર બે અક્ષરો હોય.
$(Q, S)$ અથવા $(S, Q)$ માટે શક્ય સ્થાનો $(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)$ છે.
આવા $5$ સ્થાનોની જોડી છે,અને દરેક જોડી માટે,$Q$ અને $S$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીના $6$ અક્ષરોને બાકીની $6$ જગ્યાઓ પર $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$n(E) = 5 \times 2! \times 6!$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5 \times 2 \times 6!}{8!} = \frac{10 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$.

(B) આપેલ અંકો $0, 2, 4, 5$ છે.
પુનરાવર્તન વગર બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $3$ વિકલ્પો $(2, 4, 5)$ છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
જો કોઈ સંખ્યા $0$ અથવા $5$ પર સમાપ્ત થાય તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $1$: સંખ્યા $0$ પર સમાપ્ત થાય છે.
છેલ્લો અંક $0$ તરીકે નિશ્ચિત છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(2, 4, 5)$ દ્વારા $3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: સંખ્યા $5$ પર સમાપ્ત થાય છે.
છેલ્લો અંક $5$ તરીકે નિશ્ચિત છે. પ્રથમ અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $2$ વિકલ્પો $(2, 4)$ છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $2$ અંકો દ્વારા $2 \times 1 = 2$ રીતે ભરી શકાય છે.
$5$ પર સમાપ્ત થતી કુલ સંખ્યાઓ $= 2 \times 2 \times 1 = 4$.
$5$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 4 = 10$.
$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી કુલ સંખ્યાઓ $= 18 - 10 = 8$.

(B) $m$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના શિરોબિંદુઓથી બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $T_m = {}^mC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{m+1} - T_m = 15$.
સૂત્ર મૂકતા,${}^{m+1}C_3 - {}^mC_3 = 15$.
નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે ${}^{m+1}C_3 = {}^mC_3 + {}^mC_2$.
તેથી,${}^mC_3 + {}^mC_2 - {}^mC_3 = 15$.
આનું સાદું રૂપ ${}^mC_2 = 15$ થાય છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{m(m-1)}{2} = 15$.
$m(m-1) = 30$.
$m^2 - m - 30 = 0$.
$(m-6)(m+5) = 0$.
કારણ કે $m$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $m = 6$.

(D) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = n(n+1)(n+2)$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ મળે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + 3k^2 + 2k)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + (2n+1) + 2 \right]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n^2+n+4n+2+4}{2} \right] = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4}$
કારણ કે $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$,તેથી $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$.

(B) આપેલ છે:
$\sin \theta + \cos \theta = p$ --- $(i)$
$\tan \theta + \cot \theta = q$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ નો વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$,તેથી:
$1 + \sin 2\theta = p^2$
$\sin 2\theta = p^2 - 1$ --- $(iii)$
હવે,સમીકરણ $(ii)$ ને સાદું રૂપ આપતા:
$\tan \theta + \cot \theta = q$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = q$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = q$
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = q$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{2}{2 \sin \theta \cos \theta} = q$
$\frac{2}{\sin 2\theta} = q$
$\sin 2\theta = \frac{2}{q}$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ને સરખાવતા:
$p^2 - 1 = \frac{2}{q}$
$q(p^2 - 1) = 2$

(A) આપણે નિત્યસમ $2 \cot 2A + \tan A = \cot A$ ... $(i)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
આપેલ પદાવલિ: $E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$.
$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \left[ \tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} \right]$.
નિત્યસમ $(i)$ માં $A = \frac{2 \pi}{5}$ લેતા,$\tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{2 \pi}{5}$ મળે.
તેથી,$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5}$.
ફરીથી નિત્યસમ $(i)$ માં $A = \frac{\pi}{5}$ લેતા,$\tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ મળે.
આમ,જવાબ $\cot \frac{\pi}{5}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\tan \theta \cdot \tan \left(60^{\circ}-\theta\right) \cdot \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan 3\theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\tan \theta \cdot \tan \left(120^{\circ}-\theta\right) \cdot \tan \left(120^{\circ}+\theta\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
નિત્યસમ $\tan(180^{\circ} - A) = -\tan A$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(120^{\circ} - \theta) = -\tan(60^{\circ} + \theta)$ અને $\tan(120^{\circ} + \theta) = -\tan(60^{\circ} - \theta)$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta \cdot [-\tan(60^{\circ} + \theta)] \cdot [-\tan(60^{\circ} - \theta)] = \tan \theta \cdot \tan(60^{\circ} + \theta) \cdot \tan(60^{\circ} - \theta) = \tan 3\theta$.
તેથી,$\tan 3\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan 3\theta = \tan \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,વ્યાપક ઉકેલ $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{6}$ મળે.
$3$ વડે ભાગતા,$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}, n \in Z$ મળે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$.
ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^{\circ}$.
તેથી પદાવલિ $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$ બને છે.
નિત્યસમ $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\theta = \frac{\pi}{5}$ મૂકતા,આપણને $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $z_1 = \cos A + i \sin A$,$z_2 = \cos B + i \sin B$,અને $z_3 = \cos C + i \sin C$.
આપેલ છે કે $\cos A + \cos B + \cos C = 0$ અને $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,તેથી $z_1 + z_2 + z_3 = 0$.
તેનું અનુબદ્ધ લેતા,$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3 = 0$.
કારણ કે $|z|=1$ માટે $\bar{z} = \frac{1}{z}$,તેથી $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0$,તેથી $z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\sum (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) = 0$
$\sum (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + i \sum (\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 0$
$\sum \cos (A+B) + i \sum \sin (A+B) = 0$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને $\cos (A+B) + \cos (B+C) + \cos (C+A) = 0$ મળે છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(2, 3, -1)$,$(5, 6, 3)$,$(2, -3, 1)$ માટે:
$G = (\frac{2+5+2}{3}, \frac{3+6-3}{3}, \frac{-1+3+1}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 2, 1)$. તેથી,$A-s$.
$(B)$ સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
શિરોબિંદુઓ $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$,$(3, 1, 2)$ માટે:
$C = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2, 2)$. તેથી,$B-p$.
$(C)$ સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
શિરોબિંદુઓ $(2, 1, 5)$,$(3, 2, 3)$,$(4, 0, 4)$ માટે:
$O = (\frac{2+3+4}{3}, \frac{1+2+0}{3}, \frac{5+3+4}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}, \frac{12}{3}) = (3, 1, 4)$. તેથી,$C-q$.
$(D)$ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0)$,$(a, 0, 0)$,અને $(0, b, 0)$ હોય,તેનું અંતઃકેન્દ્ર $(\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, 0)$ છે.
અહીં,શિરોબિંદુઓ $(0, 0, 0)$,$(3, 0, 0)$,$(0, 4, 0)$ છે. તેથી,$a=3, b=4$. કર્ણ $c = \sqrt{3^2+4^2} = 5$.
$I = (\frac{3 \times 4}{3+4+5}, \frac{3 \times 4}{3+4+5}, 0) = (\frac{12}{12}, \frac{12}{12}, 0) = (1, 1, 0)$. તેથી,$D-r$.

(C) ધારો કે $P(2,3)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(2,3)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
જ્યારે બિંદુ $(x,y)$ નું રેખા $y=x$ માં પ્રતિબિંબ લેવામાં આવે,ત્યારે તેના યામ $(y,x)$ બને છે.
તેથી,$Q$ ના યામ $(3,2)$ થશે.
હવે,બિંદુ $Q$ ને $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $2$ એકમ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે $Q$ ના $x$-યામમાં $2$ ઉમેરીએ છીએ જ્યારે $y$-યામ બદલાતો નથી.
ધારો કે $Q$ નું નવું સ્થાન $R$ છે.
તેથી,$R$ ના યામ $(3+2, 2) = (5,2)$ થશે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$ અને $L_3: ax + by - 1 = 0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ લંબકેન્દ્ર છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_3$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ મળે છે.
$(-1, 1)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + y = 0$ છે.
આ રેખા $L_3$ ને લંબ હોવાથી,$L_3$ નો ઢાળ $-a/b$ છે.
$x + y = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે. તેથી,$(-a/b) \times (-1) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $a/b = -1$,એટલે કે $a = -b$.
આ જ રીતે,$L_2$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_1$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા $a = -8$ અને $b = 8$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+2ay+a=0$,$L_2: x+3by+b=0$,અને $L_3: x+4cy+c=0$ છે.
આ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ સ્તંભ મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$.
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$.
$-ab - bc + 2ac = 0$.
$2ac = ab + bc$.
$abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે જેનો બિંદુપથ $a x + b y + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ એ $A(-2, 3)$ અને $B(6, -5)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 10y + 25$
$16x - 16y - 48 = 0$
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y - 3 = 0$ મળે છે.
$a x + b y + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = -1$,અને $c = -3$ મળે છે.
તેથી,$-3 < -1 < 1$ હોવાથી,ચડતો ક્રમ $c, b, a$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
$x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
$-x^2 \cos(2\alpha) + xy \sin(2\alpha) = 0$
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = -\cos(2\alpha)$,$H = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$,અને $B = 0$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A+B} \right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} \sin^2(2\alpha) - 0}}{-\cos(2\alpha) + 0} \right| = |-\tan(2\alpha)| = |\tan(2\alpha)|$.
તેથી,$\theta = 2\alpha$.

(D) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(4, -3)$ છે અને આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 10y - 7 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-2, 5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + (5)^2 - (-7)} = \sqrt{4 + 25 + 7} = \sqrt{36} = 6$ છે.
બિંદુ $P$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું મહત્તમ અંતર $d_{max} = CP + r = 10 + 6 = 16$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $d_{min} = |CP - r| = |10 - 6| = 4$ છે.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતરનો સરવાળો $d_{max} + d_{min} = 16 + 4 = 20$ થાય.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે ... $(i)$.
આ વર્તુળ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ માટે,$g_1=2, f_1=-3, c_1=9$. શરત મુજબ $2(2g-3f) = c+9$,તેથી $4g-6f-c=9$ ... $(ii)$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-5x+4y+2=0$ માટે,$g_2=-2.5, f_2=2, c_2=2$. શરત મુજબ $2(-2.5g+2f) = c+2$,તેથી $-5g+4f-c=2$ ... $(iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$(4g-6f-c) - (-5g+4f-c) = 9-2$,જેનું સાદું રૂપ $9g-10f=7$ મળે છે.
$(g, f)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $9x-10y=7$ અથવા $9x-10y-7=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2+y-1=0$ અને રેખા $L: x-y+1=0$ છે.
$S$ અને $L$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના કુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ છે.
$(x^2+y^2+y-1)+\lambda(x-y+1)=0$
$x^2+y^2+\lambda x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)=0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2})$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર રેખા $x-y+1=0$ પર હોવું જોઈએ.
$-\frac{\lambda}{2} - (\frac{\lambda-1}{2}) + 1 = 0$.
$-\lambda + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda=3$ મૂકતા:
$(x^2+y^2+y-1)+3(x-y+1)=0$.
$x^2+y^2+3x-2y+2=0$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(0,4)$ છે. બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ન્યૂનતમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ માટે,તે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેનો વ્યાસ બને છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ મળે છે.
વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળોની કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_1 = x^2+y^2-4x-2y+5$ અને $S_2 = x^2+y^2-6x-4y-3$ છે.
પ્રથમ,રેડિકલ અક્ષ શોધો: $S_1 - S_2 = 2x + 2y + 8 = 0$,જે $x + y + 4 = 0$ માં સરળ બને છે.
વર્તુળોનું કુટુંબ $x^2+y^2-4x-2y+5 + \lambda(x+y+4) = 0$ છે.
આ વર્તુળોનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda-4}{2}, -\frac{\lambda-2}{2})$ છે.
બિંદુ વર્તુળ માટે ત્રિજ્યા $r = 0$ હોય છે,તેથી $g^2 + f^2 - c = 0$.
$\lambda = 14$ માટે,કેન્દ્ર $(-5, -6)$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $(x, y)$ અને $(x, -y)$ પર છે.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઊંચાઈ $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ છે અને $x$-અક્ષથી શિરોબિંદુઓનું લંબ અંતર $\frac{a}{2}$ છે.
તેથી,પરવલય પરના શિરોબિંદુના યામ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{a}{2}\right)$ છે.
આ બિંદુ પરવલય $y^2 = 8x$ પર હોવાથી,આપણે યામ મૂકીએ:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 8 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$
$\frac{a^2}{4} = 4\sqrt{3}a$
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{4} = 4\sqrt{3}$
$a = 16\sqrt{3} \text{ એકમ}$.

(A) પરવલયનું નાભિ $(3,4)$ છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $2x - 3y + 5 = 0$ છે.
નાભિ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = \frac{|2(3) - 3(4) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times$ (નાભિથી નિયામિકાનું અંતર).
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

(C) આપેલ છે કે $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^9, x^{10}$ અને $x^{11}$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
તેથી,${}^nC_9, {}^nC_{10}$ અને ${}^nC_{11}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
માટે,$2({}^nC_{10}) = {}^nC_9 + {}^nC_{11}$.
${}^nC_{10}$ વડે ભાગતા,$2 = \frac{{}^nC_9}{{}^nC_{10}} + \frac{{}^nC_{11}}{{}^nC_{10}}$.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{10}{n-9} + \frac{n-10}{11}$.
$2 = \frac{110 + (n-10)(n-9)}{11(n-9)}$.
$22(n-9) = 110 + n^2 - 19n + 90$.
$22n - 198 = n^2 - 19n + 200$.
$n^2 - 41n = -198 - 200 = -398$.

(B) આપેલ છે,$\frac{3x}{(x-2)(x+1)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે આ રીતે લખી શકાય: $\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \quad (i)$
$3x = A(x+1) + B(x-2)$
$x = 2$ લેતા,$3(2) = A(2+1)$ $\Rightarrow 6 = 3A$ $\Rightarrow A = 2$.
$x = -1$ લેતા,$3(-1) = B(-1-2)$ $\Rightarrow -3 = -3B$ $\Rightarrow B = 1$.
$A$ અને $B$ ની કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{-2(1 - \frac{x}{2})} + \frac{1}{1+x} = -(1 - \frac{x}{2})^{-1} + (1+x)^{-1}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5 + \dots$ અને $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + y^4 - y^5 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -[1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + (\frac{x}{2})^4 + (\frac{x}{2})^5 + \dots] + [1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots]$
$x^5$ નો સહગુણક $-(\frac{1}{2})^5 - 1 = -\frac{1}{32} - 1 = -\frac{33}{32}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \dots$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$1 + x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$1 + x = (1 - 2/5)^{-1/2} = (3/5)^{-1/2} = (5/3)^{1/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 + x)^2 = 5/3$
$1 + 2x + x^2 = 5/3$
$3 + 6x + 3x^2 = 5$
$3x^2 + 6x = 2$

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=9$,તેથી $a=4$ અને $b=3$.
$a > b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળ $(\sqrt{7}, 0)$ અને $(-\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(0, 3)$ અને એક નાભિ $(\sqrt{7}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(\sqrt{7}-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(C) રેખા $y=4x+m$ એ ઉપવલય $x^2+4y^2=4$ ને સ્પર્શક છે. ઉપવલયના સમીકરણમાં $y=4x+m$ મૂકતા:
$x^2+4(4x+m)^2=4$
$x^2+4(16x^2+8mx+m^2)=4$
$x^2+64x^2+32mx+4m^2-4=0$
$65x^2+32mx+4(m^2-1)=0$
રેખા વક્રને સ્પર્શતી હોવાથી,વિવેચક $D=0$ થાય:
$D = (32m)^2 - 4(65)(4(m^2-1)) = 0$
$1024m^2 - 16(65)(m^2-1) = 0$
$16$ વડે ભાગતા:
$64m^2 - 65(m^2-1) = 0$
$64m^2 - 65m^2 + 65 = 0$
$-m^2 + 65 = 0$
$m^2 = 65$
$m = \pm \sqrt{65}$

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે. અહીં $a^2=16$ અને $b^2$ એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષનો વર્ગ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}$. નાભિ $(\pm 4 \times \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}, 0) = (\pm \sqrt{16-b^2}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ માટે,તેને $\frac{x^2}{(12/5)^2}-\frac{y^2}{(9/5)^2}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_2 = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{81/25}{144/25}} = \sqrt{1+\frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\sqrt{16-b^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16-b^2 = 9$,તેથી $b^2 = 7$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$g(x) = \frac{x}{[x]}$.
$x > 2$ અને $x$ એ $2$ ની નજીક હોય ત્યારે,$[x] = 2$,તેથી $g(x) = \frac{x}{2}$.
વળી,$g(2) = \frac{2}{[2]} = \frac{2}{2} = 1$.
હવે,આપણે જમણી બાજુનું લક્ષ (right-hand limit) મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{\frac{x}{2} - 1}{x - 2}$
$= \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{x - 2}{2(x - 2)}$
$= \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $\ell = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2x-\pi}{\cos x}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
$L$' Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\ell = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx}(2x-\pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$\ell = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\ell = \frac{2}{-\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{2}{-1} = -2$.

(D) આપેલ અવલોકનો $10, 8, 5, a, b$ છે.
મધ્યક,$\bar{x} = \frac{10+8+5+a+b}{5} = 6$
$23 + a + b = 30 \implies a + b = 7$ ... $(i)$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = 6.8$
$\frac{10^2 + 8^2 + 5^2 + a^2 + b^2}{5} - (6)^2 = 6.8$
$\frac{100 + 64 + 25 + a^2 + b^2}{5} - 36 = 6.8$
$\frac{189 + a^2 + b^2}{5} = 42.8$
$189 + a^2 + b^2 = 214$
$a^2 + b^2 = 25$ ... $(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 24 \implies ab = 12$

(B) આપેલ માહિતી: $6, 7, x-2, x, 18, 21$ (ચડતા ક્રમમાં).
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ (બેકી).
મધ્યસ્થ = $\frac{(\frac{n}{2})\text{મું અવલોકન} + (\frac{n}{2}+1)\text{મું અવલોકન}}{2} = 16$.
$\frac{(x-2) + x}{2} = 16 \Rightarrow 2x - 2 = 32 \Rightarrow 2x = 34 \Rightarrow x = 17$.
માહિતીનો સમૂહ $6, 7, 15, 17, 18, 21$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{6+7+15+17+18+21}{6} = \frac{84}{6} = 14$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
ગણતરી:
$|\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & x_i - \bar{x} & (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 6 & -8 & 64 \\ \hline 7 & -7 & 49 \\ \hline 15 & 1 & 1 \\ \hline 17 & 3 & 9 \\ \hline 18 & 4 & 16 \\ \hline 21 & 7 & 49 \\ \hline \text{સરવાળો} & & 188 \\ \hline \end{array}|$
વિચરણ = $\frac{188}{6} = \frac{94}{3} = 31 \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(a+b+c)(b+c-a) = \lambda bc$ છે.
આને $((b+c)+a)((b+c)-a) = \lambda bc$ તરીકે લખી શકાય.
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(b+c)^2 - a^2 = \lambda bc$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = \lambda bc$.
પદોને ગોઠવતા,$b^2 + c^2 - a^2 = (\lambda - 2)bc$.
બંને બાજુ $2bc$ વડે ભાગતા,$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\lambda - 2}{2}$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,તેથી $\cos A = \frac{\lambda - 2}{2}$.
ત્રિકોણ માટે $-1 < \cos A < 1$ હોવાથી,$-1 < \frac{\lambda - 2}{2} < 1$ થાય.
$2$ વડે ગુણતા,$-2 < \lambda - 2 < 2$.
બધી બાજુ $2$ ઉમેરતા,$0 < \lambda < 4$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = \lambda$ (ધારો).
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{\lambda}$,$s-b = \frac{2\Delta}{\lambda}$,અને $s-c = \frac{3\Delta}{\lambda}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{6\Delta}{\lambda} \implies 3s - (a+b+c) = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
$a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = s = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
આથી,$s-a = \frac{s}{6}$,$s-b = \frac{s}{3}$,અને $s-c = \frac{s}{2}$.
બાજુઓ માટે: $a = \frac{5s}{6}$,$b = \frac{2s}{3}$,$c = \frac{s}{2}$.
પરિમિતિ $P = a+b+c = 2s$.
વળી,$b = \frac{2s}{3} \implies 3b = 2s = P$. તેથી,પરિમિતિ $3b$ છે.

(D) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$ થાય છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B} + \frac{c}{\tan C} = \frac{2R \sin A}{\sin A / \cos A} + \frac{2R \sin B}{\sin B / \cos B} + \frac{2R \sin C}{\sin C / \cos C}$
$= 2R (\cos A + \cos B + \cos C)$
નિત્યસમ $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + r/R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2R (1 + r/R) = 2R + 2r = 2(R + r)$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{1+y^2})$.
ધારો કે $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$. તો $\sqrt{1+y^2} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{1-a^2}} = \sqrt{\frac{1-a^2+a^2}{1-a^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
તેથી,$\sinh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{1+a}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
આપેલ સમીકરણ $2 \sinh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ છે.
કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = a$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-1}$.
$y(x^2+2x-1) = x^2+2x+1$
$yx^2 + 2xy - y = x^2 + 2x + 1$
$(y-1)x^2 + 2(y-1)x - (y+1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ (જો $y \neq 1$):
$D = [2(y-1)]^2 - 4(y-1)(-(y+1)) \geq 0$
$4(y-1)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$4(y-1)[(y-1) + (y+1)] \geq 0$
$4(y-1)(2y) \geq 0$
$8y(y-1) \geq 0$.
આ અસમતા $y \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ માટે સાચી છે.
જોકે,જો $y=1$ હોય,તો સમીકરણ $0 = -2$ બને છે,જે અશક્ય છે,તેથી $y \neq 1$.
આમ,વિસ્તાર $y \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x^2+y^2=25$.
ધારો કે $z = 3x + 4y$.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, x, y$ માટે,$(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ થાય.
$a=3, b=4$ મૂકતા,આપણને મળે $(3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)$.
$(3x + 4y)^2 \leq (9 + 16)(25) = 25 \times 25 = 625$.
વર્ગમૂળ લેતા,$-(25) \leq 3x + 4y \leq 25$ મળે.
આમ,$3x + 4y$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.
તેથી,$\log _5[\max (3x + 4y)] = \log _5(25) = \log _5(5^2) = 2 \log _5(5) = 2(1) = 2$.

(A) કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,સંભાવના $P(E)$ એ $0 \leq P(E) \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \leq 1$.
પગલું $1$: વ્યક્તિગત સંભાવનાઓ પરની મર્યાદાઓ:
$0 \leq \frac{1+3P}{3} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{2}{3}$.
$0 \leq \frac{1-2P}{2} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq P \leq \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટેની શરત:
$P(A) + P(B) \leq 1
$ $\Rightarrow \frac{1+3P}{3} + \frac{1-2P}{2} \leq 1
$ $\Rightarrow 5 \leq 6$.
આ હંમેશા સાચું છે.
પગલું $3$: તમામ અંતરાલોનો છેદગણ:
$P \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

(B) ધારો કે રેખા $4x - y - 2 = 0$ પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે.
ધારો કે $A = (-5, 6)$ અને $B = (3, 2)$.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$AP = PB$,એટલે કે $AP^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$.
$16x - 8y + 48 = 0$,જેનું સાદુરૂપ $2x - y + 6 = 0$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
આપણને રેખા $4x - y - 2 = 0$ (સમીકરણ $1$) આપેલ છે.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(4x - y - 2) - (2x - y + 6) = 0$.
$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$.
$x = 4$ ને $4x - y - 2 = 0$ માં મૂકતા: $4(4) - y - 2 = 0$ $\Rightarrow 16 - y - 2 = 0$ $\Rightarrow y = 14$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(4, 14)$ છે.

(C) ધારો કે $D = \left|\begin{array}{lll}b^2-a b & b-c & b c-a c \\ a b-a^2 & a-b & b^2-a b \\ b c-a c & c-a & a b-a^2\end{array}\right|$.
$C_1$ અને $C_3$ માંથી $(b-a)$ સામાન્ય લેતા:
$D = (b-a)(b-a) \left|\begin{array}{lll}b & b-c & c \\ a & a-b & b \\ c & c-a & a\end{array}\right|$.
અહીં $C_2 = C_1 - C_3$ છે.
તેથી,$C_2 - (C_1 - C_3) = 0$.
સ્તંભ $C_2$ ના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y + z = 5$
$3x + y + 5z = 7$
$x + 4y - 2z = 3$
આ સંહતિને $AX = B$ સ્વરૂપે લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 1 & 4 & -2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 2(-2 - 20) - 3(-6 - 5) + 1(12 - 1)$
$|A| = 2(-22) - 3(-11) + 1(11) = -44 + 33 + 11 = 0$
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે. આપણે $(\text{adj } A)B$ તપાસીએ:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix}$
$(\text{adj } A)B = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -110 + 70 + 42 \\ 55 - 35 - 21 \\ 55 - 35 - 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \neq 0$
કારણ કે $(\text{adj } A)B \neq 0$,તેથી આ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \infty\right)=\frac{\pi}{2}$ છે.
બંને શ્રેણીઓ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર અનુક્રમે $-x/2$ અને $-x^2/2$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
પ્રથમ શ્રેણી માટે,$a=x$ અને $r=-x/2$,તેથી સરવાળો $\frac{x}{1-(-x/2)} = \frac{2x}{2+x}$ થાય.
તે જ રીતે,બીજી શ્રેણી $x^2 - x^4/2 + x^6/4 - \dots$ માટે,$a=x^2$ અને $r=-x^2/2$. તેથી સરવાળો $\frac{x^2}{1-(-x^2/2)} = \frac{2x^2}{2+x^2}$ થાય.
ગુણધર્મ $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(v) = \pi/2$ નો ઉપયોગ કરતા,$u=v$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{2x}{2+x} = \frac{2x^2}{2+x^2}$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$2x$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2+x} = \frac{x}{2+x^2}$.
$2+x^2 = x(2+x) \implies 2+x^2 = 2x+x^2$.
$2x = 2 \implies x=1$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x - x$.
$f(A)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = \cos x - 1$ ચકાસીએ.
$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ માટે $\cos x < 1$ હોવાથી,$f'(x) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{\pi}{3}$ પર અને મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}$.
આમ,$f(A) = [\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}]$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = 5x - 3$ અને $g(x) = x^2 + 3$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = 5x - 3$.
તેથી $y + 3 = 5x$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{y + 3}{5}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{5}$,તેથી $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}$.
હવે,આપણે $g \circ f^{-1}(3) = g(f^{-1}(3))$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$f^{-1}(3) = \frac{3 + 3}{5} = \frac{6}{5}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$g(\frac{6}{5}) = (\frac{6}{5})^2 + 3 = \frac{36}{25} + 3$.
સરવાળો કરતા: $\frac{36 + 75}{25} = \frac{111}{25}$.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$.
$f(x) = \int g(x) \, dx + C$ હોવાથી,બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = g(x)$ મળે છે.
હવે,$h(x)$ ના પદમાં $g(x) = f^{\prime}(x)$ મૂકતા:
$h(x) = {f(x)}^2 + {f^{\prime}(x)}^2$.
$h(x)$ નો ફેરફારનો દર શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$.
$h^{\prime}(x) = 2f^{\prime}(x) [f(x) + f^{\prime \prime}(x)]$.
$f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$ હોવાથી,આપણને $h^{\prime}(x) = 2f^{\prime}(x) \cdot 0 = 0$ મળે છે.
$h(x)$ નું વિકલન $0$ હોવાથી,$h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
તેથી,$h(2015) = h(2014) = h(0) = 5$.
આમ,$h(2015) - h(2014) = 5 - 5 = 0$.

(B) આપેલ વિધેય,$f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ 2-x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$.
$x=1$ આગળ,$f(1) = 2-1 = 1$.
ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} x = 1$.
જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$.
અહીં $LHL$ = $RHL$ = $f(1)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે.
હવે,વિકલનીયતા તપાસવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ -1 & \text{for } x > 1 \end{cases}$.
ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} f'(x) = 1$.
જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} f'(x) = -1$.
અહીં $LHD$ $\neq$ $RHD$ હોવાથી,વિધેય $x=1$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે પણ વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ ... $(i)$
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$
સમીકરણ (ii) ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^4+y^4)+2x^2y^2 = (x^4+y^4)+2$
$2x^2y^2 = 2$
$x^2y^2 = 1$
હવે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(D) આપેલ છે કે $x=a t^2$ અને $y=2 a t$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2at}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$.
$t=\frac{1}{2}$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2a(1/2)^3} = -\frac{1}{2a(1/8)} = -\frac{1}{a/4} = -\frac{4}{a}$.

(B) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે,$S$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 1200 \text{ cm}^3/\text{s}$ અને $r = 10 \text{ cm}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1200 = 4 \pi (10)^2 \frac{dr}{dt} \implies 1200 = 400 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$r = 10 \text{ cm}$ અને $\frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (10) \left( \frac{3}{\pi} \right) = 80 \times 3 = 240 \text{ cm}^2/\text{s}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + bx^2 + ax$.
$f(1) = f(3)$ હોવાથી,$1 + b + a = 27 + 9b + 3a$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $8b + 2a = -26$,અથવા $4b + a = -13$ (સમીકરણ $1$) મળે.
વિકલન $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2bx + a$ છે.
$c = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ આગળ $f^{\prime}(c) = 0$ આપેલ છે,તેથી $3(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$13 + 4\sqrt{3} + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$a = -13 - 4b$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$13 + 4\sqrt{3} + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} - 13 - 4b = 0$.
$4\sqrt{3} + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0$.
$4\sqrt{3} = -\frac{2b}{\sqrt{3}} \implies 12 = -2b \implies b = -6$.
$a = -13 - 4b$ નો ઉપયોગ કરતા,$a = -13 - 4(-6) = -13 + 24 = 11$ મળે.
આમ,$(a, b) = (11, -6)$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$.
$x-1 = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,જેથી $x = 1 + \frac{1}{t}$.
તેથી,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(1+\frac{1}{t})^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{1 + \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t} - 1}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1+2t}{t^2}}}$.
અહીં $t = \frac{1}{x-1}$ હોવાથી,$x > 1$ માટે $t > 0$,તેથી $\sqrt{t^2} = t$.
$I = -\int \frac{dt}{t \cdot \frac{\sqrt{1+2t}}{t}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1+2t}}$.
$I = -\int (1+2t)^{-1/2} dt = -\frac{(1+2t)^{1/2}}{1/2 \cdot 2} + C = -\sqrt{1+2t} + C$.
હવે $t = \frac{1}{x-1}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\sqrt{1 + \frac{2}{x-1}} + C = -\sqrt{\frac{x-1+2}{x-1}} + C = -\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)} d x$.
ધારો કે $t = x e^x$. તેથી $dt = (e^x + x e^x) d x = e^x(1+x) d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$.
બંને પદોનું સંકલન કરતા:
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) dt = \log |t| - \log |1+t| + C = \log \left| \frac{t}{1+t} \right| + C$.
$t = x e^x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x)}{f(x) g(x)} [\log g(x)-\log f(x)] \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx} \left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right) = \frac{d}{dx} (\log g(x) - \log f(x)) = \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} - \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{f(x) g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x) g(x)}{f(x) g(x)}$.
તેથી,સંકલન $I = \int \log \left[\frac{g(x)}{f(x)}\right] \cdot d\left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right)$ બને છે.
ધારો કે $t = \log \left[\frac{g(x)}{f(x)}\right]$,તો $dt = d\left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right)$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \left[ \log \frac{g(x)}{f(x)} \right]^2 + C$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int e^x \frac{x^2+1}{(x+1)^2} d x$.
અંશને $x^2 - 1 + 2$ તરીકે લખી શકાય.
$I = \int e^x \left( \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} \right) d x = \int e^x \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
$I = \int e^x \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
તેથી $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} d x = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = e^x \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x + \cos x}{3 + \sin 2x} dx$.
$t = \sin x - \cos x$ આદેશ લેતા,$dt = (\cos x + \sin x) dx$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
જ્યારે $x = \pi/4$,ત્યારે $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
વળી,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,તેથી $\sin 2x = 1 - t^2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{3 + (1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{4 - t^2} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{2^2 - t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2+t}{2-t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{4} \left[ \log \left| \frac{2+0}{2-0} \right| - \log \left| \frac{2-1}{2-(-1)} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{4} [ \log(1) - \log(1/3) ] = \frac{1}{4} [ 0 - (-\log 3) ] = \frac{1}{4} \log 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$,જ્યાં $f(x) = \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ છે.
આપણે $f(-x)$ ની ગણતરી કરીને ચકાસીએ કે વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ:
$f(-x) = \frac{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}+\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}$
$f(-x) = \frac{\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}}{\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2}}$
$f(-x) = -\left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ મુજબ,જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$.

(C) આપેલ વક્ર $y = \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt$ છે.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt \right) = \frac{1}{1+x^3}$.
$x = 1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ તે બિંદુએ વિકલિતનું મૂલ્ય છે:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} = \frac{1}{1+(1)^3} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

(C) આ પ્રદેશ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ અને પરવલય $y^2=1-x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=1-x$ ને $x^2+y^2=1$ માં મૂકતા:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
તેથી,$x=0$ અથવા $x=1$.
$x=0$ માટે,$y^2=1 \implies y=\pm 1$. $x=1$ માટે,$y^2=0 \implies y=0$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{-1}^0 \sqrt{1-x^2} dx + \int_0^1 \sqrt{1-x} dx \right]$.
સંકલન કરતા:
$2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right]_{-1}^0 = 2 \left[ (0 + 0) - (0 - \frac{\pi}{4}) \right] = \frac{\pi}{2}$.
$2 \int_0^1 (1-x)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{-2}{3} (1-x)^{3/2} \right]_0^1 = 2 \left[ 0 - (-\frac{2}{3}) \right] = \frac{4}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ છે.
બંને બાજુ $e^y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.
ધારો કે $e^{-y} = v$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,અથવા $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ થાય છે.
આ $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$.
ઉકેલ $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ દ્વારા મળે છે.
$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.
$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.
$2x^2$ વડે ગુણતા,$2 x v = 1 + 2 C x^2$. ધારો કે $2C = C'$,તો $2 x v = 1 + C' x^2$.
$v = e^{-y}$ મૂકતા,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$.
$e^y$ વડે ગુણતા,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + by + c}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = ax + by + c$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} - ax = by + c$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -a$ અને $Q = by + c$ છે.
આથી,આ સમીકરણ $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = |\hat{b}| = |\hat{c}| = 1$.
આપેલ છે કે $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ સદિશનો તેની સાથે જ ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) \cdot (\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0} = 0$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{b} \cdot \hat{b} + \hat{c} \cdot \hat{c} + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$.
કારણ કે $|\hat{a}|^2 = \hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,તેથી:
$1 + 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$.
$3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$.
$2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = -3$.
તેથી,$\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} = -\frac{3}{2}$.

(D) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $c=4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ છે.
આપેલ શરત: $r \times b = c \times b$.
આનો અર્થ છે કે $(r-c) \times b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(r-c)$ એ $b$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$r-c = \lambda b$,અથવા $r = c + \lambda b$ ... $(i)$.
વળી આપેલ છે કે $r \cdot a = 0$.
આ શરતમાં $(i)$ પરથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$(c + \lambda b) \cdot a = 0$
$(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k} + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$((4+\lambda) \hat{i} + (-3+\lambda) \hat{j} + (7+\lambda) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$2(4+\lambda) + 1(7+\lambda) = 0$
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$
$3\lambda + 15 = 0 \implies \lambda = -5$.
$(i)$ માં $\lambda = -5$ મૂકતા:
$r = (4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) - 5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$
$r = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k}$
$r = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(A) સદિશ $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માનની ગણતરી:
$M_1 = |\vec{a}_1| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$M_2 = |\vec{a}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$M_3 = |\vec{a}_3| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$M_4 = |\vec{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,જેનો અર્થ છે કે $M_3 < M_1 < M_4 < M_2$.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (2, -1, 2)$ અને $\vec{b} = (K, 3, 5)$ છે.
આપેલ છે કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos 45^{\circ} = \frac{|(2)(K) + (-1)(3) + (2)(5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + 3^2 + 5^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K - 3 + 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K + 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = \sqrt{2} |2K + 7|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(K^2 + 34) = 2(2K + 7)^2$
$9K^2 + 306 = 2(4K^2 + 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 8K^2 + 56K + 98$
$K^2 - 56K + 208 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(K - 4)(K - 52) = 0$
આમ,$K = 4$ અથવા $K = 52$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $4$ હોવાથી,સાચો જવાબ $K = 4$ છે.

(C) સમતલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{b} = (1, -2, 4)$ અને $\vec{c} = (3, 2, -5)$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને સદિશો $\vec{b} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{c} = (a_2, b_2, c_2)$ ને સમાંતર સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x - 3 & y + 2 & z + 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x - 3)((-2)(-5) - (4)(2)) - (y + 2)((1)(-5) - (4)(3)) + (z + 1)((1)(2) - (-2)(3)) = 0$
$(x - 3)(10 - 8) - (y + 2)(-5 - 12) + (z + 1)(2 + 6) = 0$
$2(x - 3) + 17(y + 2) + 8(z + 1) = 0$
$2x - 6 + 17y + 34 + 8z + 8 = 0$
$2x + 17y + 8z + 36 = 0$

(A) સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ $X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ અંતઃખંડો $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{4}, c = \frac{1}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{1/3} + \frac{y}{1/4} + \frac{z}{1/5} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3x + 4y + 5z = 1$ અથવા $3x + 4y + 5z - 1 = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3, B = 4, C = 5$ અને $D = -1$ છે.
તેથી,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5 \sqrt{2}}$.

(A) એક ફેંકમાં $3$ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
$3$ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$A$ રમત શરૂ કરે છે. જો $A$ પ્રથમ,ત્રીજા,પાંચમા,$\dots$ ફેંકમાં $3$ મેળવે તો $A$ જીતે છે.
$P(A) = p + q^2p + q^4p + \dots = \frac{p}{1 - q^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A) = \frac{1/6}{1 - (5/6)^2} = \frac{1/6}{1 - 25/36} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{6}{11}$.
કુલ સંભાવના $1$ હોવાથી,$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.
આમ,સંભાવનાઓ $\frac{6}{11}$ અને $\frac{5}{11}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 0.8$,તેથી સફળતાની સંભાવના $p = 1 - 0.8 = 0.2$. પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપણે ઘટના વધુમાં વધુ એક વાર બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
$P(X = 0) = { }^3 C_0 (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$.
$P(X = 1) = { }^3 C_1 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$.
તેથી,$P(X \leq 1) = 0.512 + 0.384 = 0.896$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(X=x) = 1$.
આપેલ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$0 + K + 2K + 2K + 3K + K^2 + 2K^2 + (7K^2 + K) = 1$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(K + 2K + 2K + 3K + K) + (K^2 + 2K^2 + 7K^2) = 1$
$9K + 10K^2 = 1$
$10K^2 + 9K - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$10K^2 + 10K - K - 1 = 0$
$10K(K + 1) - 1(K + 1) = 0$
$(10K - 1)(K + 1) = 0$
આથી $K = \frac{1}{10}$ અથવા $K = -1$ મળે. સંભાવના ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $K$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $K = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(0 < X < 5)$ શોધવાનું છે,જે નીચે મુજબ છે:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= K + 2K + 2K + 3K = 8K$
$K = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(0 < X < 5) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ થાય છે.
અહીં $A$ એ $n=3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,શ્રેણિક $M = A^2$ લો. $M$ ની કક્ષા $3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{3-1} = |M|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$ થાય.
હવે,આપણે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $K = \operatorname{adj} A^2$. તો $|K| = |A|^4$ થાય.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} K| = |K|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ છે:
$|\operatorname{adj} K| = |K|^{3-1} = |K|^2$ થાય.
$|K| = |A|^4$ મૂકતા:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = (|A|^4)^2 = |A|^8$ મળે.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{a}_2=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\overrightarrow{a}_3=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{a}_4=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
માન $m_1, m_2, m_3, m_4$ ની ગણતરી કરતા:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$.
તેથી,$m_3 < m_1 < m_4 < m_2$.