AP EAMCET 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि द्विघात समीकरण $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(c^2 + a^2 - 2ac) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$
$c^2 + a^2 - 2ac - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$
$c^2 + a^2 + 2ac + 4b^2 - 4ab - 4bc = 0$
$(c+a)^2 - 4b(a+c) + (2b)^2 = 0$
यह $X^2 - 2XY + Y^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $X = (c+a)$ और $Y = 2b$ है।
$(c+a - 2b)^2 = 0$
$c+a - 2b = 0$
$2b = a+c$
चूँकि $2b = a+c$ है,इसलिए $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^3-k x^2+14 x-8=0$ है।
माना मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं जो गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $-\frac{d}{a_{coeff}} = -\frac{-8}{1} = 8$ होता है।
अतः,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
चूंकि $a=2$ समीकरण का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2)^3 - k(2)^2 + 14(2) - 8 = 0$.
$8 - 4k + 28 - 8 = 0$.
$28 - 4k = 0$.
$4k = 28 \Rightarrow k = 7$.

(D) दिया गया समीकरण $(5+\sqrt{2}) x^2-b x+(8+2 \sqrt{5})=0$ है।
मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ इस समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta = \frac{b}{5+\sqrt{2}}$
$\alpha \beta = \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}$
मूलों के बीच हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए:
$\frac{2 \alpha \beta}{\alpha+\beta} = 4$
$\alpha+\beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$\frac{2 \times \frac{8+2 \sqrt{5}}{5+\sqrt{2}}}{\frac{b}{5+\sqrt{2}}} = 4$
$\frac{2(8+2 \sqrt{5})}{b} = 4$
$\frac{8+2 \sqrt{5}}{b} = 2$
$b = \frac{8+2 \sqrt{5}}{2} = 4+\sqrt{5}$.

(C) माना द्विघात समीकरण $\sqrt{2}x^2 - bx + (8 - 2\sqrt{5}) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{b}{\sqrt{2}}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{8 - 2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - \sqrt{10}$ है।
दो मूलों का हरात्मक माध्य $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $HM = 4$,इसलिए $4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10})}{\frac{b}{\sqrt{2}}}$.
$4 = \frac{2(4\sqrt{2} - \sqrt{10}) \cdot \sqrt{2}}{b}$.
$4 = \frac{2(8 - \sqrt{20})}{b} = \frac{2(8 - 2\sqrt{5})}{b} = \frac{16 - 4\sqrt{5}}{b}$.
$4b = 16 - 4\sqrt{5}$.
$4$ से भाग देने पर,$b = 4 - \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = \frac{1+\cos \frac{\pi}{8}-i \sin \frac{\pi}{8}}{1+\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} - 2i \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}}{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} + 2i \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}}$
$z = \frac{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16})}{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16}}{\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}} = \frac{e^{-i \frac{\pi}{16}}}{e^{i \frac{\pi}{16}}} = e^{-i \frac{2\pi}{16}} = e^{-i \frac{\pi}{8}}$.
अब,$z^8 = (e^{-i \frac{\pi}{8}})^8 = e^{-i \pi}$.
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$e^{-i \pi} = \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1 + 0 = -1$.

(D) हमारे पास है,$S = \sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$
$-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S = \sum_{k=1}^6 (-i) \left( \cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7} \right)$
माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$.
$S = -i \sum_{k=1}^6 \omega^k$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$S = -i \left( \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 \right)$
चूंकि $\omega$ इकाई का $7$ वां मूल है,$1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = 0$.
अतः,$\omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = -1$.
इस मान को $S$ में रखने पर:
$S = -i (-1) = i$.

(B) पहला घातांक $a = \frac{1}{3}$ और $r = \frac{2}{3}$ वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है।
इसका योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1-2/3} = 1$ है।
अतः,$\omega^{\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\right)} = \omega^1 = \omega$.
दूसरा घातांक $a = \frac{1}{2}$ और $r = \frac{3}{4}$ वाली एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है।
इसका योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1-3/4} = 2$ है।
अतः,$\omega^{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\ldots\right)} = \omega^2$.
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें $\omega + \omega^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ होता है।

(A) दिया गया समीकरण $z^3+2z^2+2z+1=0$ को $(z+1)(z^2+z+1)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
इसके मूल $-1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$ है।
$z=-1$ के लिए जाँचने पर: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$। अतः,$-1$ उभयनिष्ठ मूल नहीं है।
$z=\omega$ के लिए जाँचने पर: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$। अतः,$\omega$ उभयनिष्ठ मूल है।
$z=\omega^2$ के लिए जाँचने पर: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$। अतः,$\omega^2$ उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।

(D) '$QUESTION$' शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं।
प्रतिदर्श समष्टि में कुल व्यवस्थाओं की संख्या $n(S) = 8!$ है।
अनुकूल परिणामों $n(E)$ को खोजने के लिए,हम $Q$ और $S$ को इस प्रकार रखते हैं कि उनके बीच ठीक दो अक्षर हों।
$(Q, S)$ या $(S, Q)$ के लिए संभावित स्थान $(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)$ हैं।
ऐसे $5$ स्थानों के जोड़े हैं,और प्रत्येक जोड़े के लिए,$Q$ और $S$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $6$ अक्षरों को शेष $6$ स्थानों पर $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$n(E) = 5 \times 2! \times 6!$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5 \times 2 \times 6!}{8!} = \frac{10 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$.

(B) दिए गए अंक $0, 2, 4, 5$ हैं।
बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली चार अंकों की कुल संख्याएँ:
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $3$ विकल्प $(2, 4, 5)$ हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों द्वारा $3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
यदि कोई संख्या $0$ या $5$ पर समाप्त होती है तो वह $5$ से विभाज्य होती है।
स्थिति $1$: संख्या $0$ पर समाप्त होती है।
अंतिम अंक $0$ के रूप में निश्चित है। शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(2, 4, 5)$ द्वारा $3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: संख्या $5$ पर समाप्त होती है।
अंतिम अंक $5$ के रूप में निश्चित है। पहला अंक $0$ या $5$ नहीं हो सकता,इसलिए $2$ विकल्प $(2, 4)$ हैं। शेष $2$ स्थानों को शेष $2$ अंकों द्वारा $2 \times 1 = 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$5$ पर समाप्त होने वाली कुल संख्याएँ $= 2 \times 2 \times 1 = 4$.
$5$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $= 6 + 4 = 10$.
$5$ से विभाज्य न होने वाली कुल संख्याएँ $= 18 - 10 = 8$.

(B) $m$ भुजाओं वाले बहुभुज के शीर्षों से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_m = {}^mC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $T_{m+1} - T_m = 15$ है।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर,${}^{m+1}C_3 - {}^mC_3 = 15$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि ${}^{m+1}C_3 = {}^mC_3 + {}^mC_2$ है।
अतः,${}^mC_3 + {}^mC_2 - {}^mC_3 = 15$ है।
यह सरल होकर ${}^mC_2 = 15$ हो जाता है।
संचय का विस्तार करने पर,$\frac{m(m-1)}{2} = 15$ है।
$m(m-1) = 30$ है।
$m^2 - m - 30 = 0$ है।
$(m-6)(m+5) = 0$ है।
चूंकि $m$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $m = 6$ है।

(D) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(n+1)(n+2)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (k^3 + 3k^2 + 2k)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$।
इन मानों को रखने पर:
$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{2} + (2n+1) + 2 \right]$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n^2+n+4n+2+4}{2} \right] = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4}$
चूंकि $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$,इसलिए $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$।

(B) दिया गया है:
$\sin \theta + \cos \theta = p$ --- $(i)$
$\tan \theta + \cot \theta = q$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = p^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = p^2$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$,इसलिए:
$1 + \sin 2\theta = p^2$
$\sin 2\theta = p^2 - 1$ --- $(iii)$
अब,समीकरण $(ii)$ को सरल करने पर:
$\tan \theta + \cot \theta = q$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = q$
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = q$
$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = q$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{2}{2 \sin \theta \cos \theta} = q$
$\frac{2}{\sin 2\theta} = q$
$\sin 2\theta = \frac{2}{q}$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर:
$p^2 - 1 = \frac{2}{q}$
$q(p^2 - 1) = 2$

(A) हम सर्वसमिका $2 \cot 2A + \tan A = \cot A$ ... $(i)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$.
$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \left[ \tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} \right]$.
सर्वसमिका $(i)$ में $A = \frac{2 \pi}{5}$ रखने पर,$\tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{2 \pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5}$.
पुनः सर्वसमिका $(i)$ में $A = \frac{\pi}{5}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $\cot \frac{\pi}{5}$ है।

(A) हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $\tan \theta \cdot \tan \left(60^{\circ}-\theta\right) \cdot \tan \left(60^{\circ}+\theta\right) = \tan 3\theta$ होती है।
दिया गया व्यंजक: $\tan \theta \cdot \tan \left(120^{\circ}-\theta\right) \cdot \tan \left(120^{\circ}+\theta\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
सर्वसमिका $\tan(180^{\circ} - A) = -\tan A$ का उपयोग करते हुए,$\tan(120^{\circ} - \theta) = -\tan(60^{\circ} + \theta)$ और $\tan(120^{\circ} + \theta) = -\tan(60^{\circ} - \theta)$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \theta \cdot [-\tan(60^{\circ} + \theta)] \cdot [-\tan(60^{\circ} - \theta)] = \tan \theta \cdot \tan(60^{\circ} + \theta) \cdot \tan(60^{\circ} - \theta) = \tan 3\theta$।
अतः,$\tan 3\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\tan 3\theta = \tan \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए व्यापक हल $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{6}$ होगा।
$3$ से भाग देने पर,$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}, n \in Z$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$.
माना $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^{\circ}$.
अतः व्यंजक $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,
$\theta = \frac{\pi}{5}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $z_1 = \cos A + i \sin A$,$z_2 = \cos B + i \sin B$,और $z_3 = \cos C + i \sin C$ है।
दिया गया है कि $\cos A + \cos B + \cos C = 0$ और $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,इसलिए $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ है।
इसका संयुग्मी लेने पर,$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|z|=1$ के लिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ होता है,इसलिए $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0$,अतः $z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0$ है।
ध्रुवीय रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) = 0$
$\sum (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + i \sum (\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 0$
$\sum \cos (A+B) + i \sum \sin (A+B) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,हमें $\cos (A+B) + \cos (B+C) + \cos (C+A) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ के लिए केंद्रक $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ होता है।
शीर्षों $(2, 3, -1)$,$(5, 6, 3)$,$(2, -3, 1)$ के लिए:
$G = (\frac{2+5+2}{3}, \frac{3+6-3}{3}, \frac{-1+3+1}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{6}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 2, 1)$। अतः,$A-s$।
$(B)$ एक समबाहु त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र केंद्रक के समान होता है।
शीर्षों $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 1)$,$(3, 1, 2)$ के लिए:
$C = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+1+2}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2, 2)$। अतः,$B-p$।
$(C)$ एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र केंद्रक के समान होता है।
शीर्षों $(2, 1, 5)$,$(3, 2, 3)$,$(4, 0, 4)$ के लिए:
$O = (\frac{2+3+4}{3}, \frac{1+2+0}{3}, \frac{5+3+4}{3}) = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}, \frac{12}{3}) = (3, 1, 4)$। अतः,$C-q$।
$(D)$ एक समकोण त्रिभुज के लिए जिसके शीर्ष $(0, 0, 0)$,$(a, 0, 0)$,और $(0, b, 0)$ हैं,अंतःकेंद्र $(\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}, 0)$ होता है।
यहाँ,शीर्ष $(0, 0, 0)$,$(3, 0, 0)$,$(0, 4, 0)$ हैं। अतः,$a=3, b=4$। कर्ण $c = \sqrt{3^2+4^2} = 5$।
$I = (\frac{3 \times 4}{3+4+5}, \frac{3 \times 4}{3+4+5}, 0) = (\frac{12}{12}, \frac{12}{12}, 0) = (1, 1, 0)$। अतः,$D-r$।

(C) माना $P(2,3)$ दिया गया बिंदु है और $Q$,रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(2,3)$ का प्रतिबिंब है।
जब किसी बिंदु $(x,y)$ को रेखा $y=x$ में परावर्तित किया जाता है,तो उसके निर्देशांक $(y,x)$ हो जाते हैं।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(3,2)$ हैं।
अब,बिंदु $Q$ को $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई की दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है।
इसका अर्थ है कि हम $Q$ के $x$-निर्देशांक में $2$ जोड़ते हैं जबकि $y$-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है।
माना $Q$ की नई स्थिति $R$ है।
अतः,$R$ के निर्देशांक $(3+2, 2) = (5,2)$ होंगे।

(C) माना रेखाएं $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$ और $L_3: ax + by - 1 = 0$ हैं। मूलबिंदु $(0, 0)$ लंबकेंद्र है।
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $L_3$ पर डाला गया शीर्षलंब मूलबिंदु से होकर गुजरता है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 1)$ है।
$(-1, 1)$ और $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + y = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $L_3$ पर लंब है,इसलिए $L_3$ की ढाल $-a/b$ है।
$x + y = 0$ की ढाल $-1$ है। अतः,$(-a/b) \times (-1) = -1$,जिसका अर्थ है $a/b = -1$,यानी $a = -b$.
इसी प्रकार,$L_2$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $L_1$ पर डाला गया शीर्षलंब मूलबिंदु से गुजरता है।
गणना करने पर $a = -8$ और $b = 8$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: x+2ay+a=0$,$L_2: x+3by+b=0$,और $L_3: x+4cy+c=0$ हैं।
चूंकि ये रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$.
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$.
$-ab - bc + 2ac = 0$.
$2ac = ab + bc$.
$abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(B) माना $P(x, y)$ वह बिंदु है जिसका बिंदुपथ $a x + b y + c = 0$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $P$,$A(-2, 3)$ और $B(6, -5)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 10y + 25$
$16x - 16y - 48 = 0$
$16$ से विभाजित करने पर,हमें $x - y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$a x + b y + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1$,$b = -1$,और $c = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$-3 < -1 < 1$ होने के कारण,आरोही क्रम $c, b, a$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 \sin^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
सरल करने पर: $x^2 \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$
$x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha = 0$
$-x^2 \cos(2\alpha) + xy \sin(2\alpha) = 0$
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $A = -\cos(2\alpha)$,$H = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$,और $B = 0$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A+B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} \sin^2(2\alpha) - 0}}{-\cos(2\alpha) + 0} \right| = |-\tan(2\alpha)| = |\tan(2\alpha)|$।
अतः,$\theta = 2\alpha$।

(D) माना दिया गया बिंदु $P(4, -3)$ है और दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 10y - 7 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $C(-2, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (5)^2 - (-7)} = \sqrt{4 + 25 + 7} = \sqrt{36} = 6$ है।
बिंदु $P$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
बिंदु से वृत्त की अधिकतम दूरी $d_{max} = CP + r = 10 + 6 = 16$ है।
बिंदु से वृत्त की न्यूनतम दूरी $d_{min} = |CP - r| = |10 - 6| = 4$ है।
न्यूनतम और अधिकतम दूरी का योग $d_{max} + d_{min} = 16 + 4 = 20$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है ... $(i)$.
यह वृत्त दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय काटने की शर्त $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ के लिए,$g_1=2, f_1=-3, c_1=9$ है। शर्त से $2(2g-3f) = c+9$,अतः $4g-6f-c=9$ ... $(ii)$.
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2-5x+4y+2=0$ के लिए,$g_2=-2.5, f_2=2, c_2=2$ है। शर्त से $2(-2.5g+2f) = c+2$,अतः $-5g+4f-c=2$ ... $(iii)$.
समीकरण $(ii)$ से $(iii)$ को घटाने पर,$(4g-6f-c) - (-5g+4f-c) = 9-2$,जो $9g-10f=7$ में सरल होता है।
$(g, f)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $9x-10y=7$ या $9x-10y-7=0$ है।

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2+y-1=0$ और रेखा $L: x-y+1=0$ है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S+\lambda L=0$ है।
$(x^2+y^2+y-1)+\lambda(x-y+1)=0$
$x^2+y^2+\lambda x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)=0$.
इस वृत्त का केंद्र $(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda-1}{2})$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,केंद्र को रेखा $x-y+1=0$ पर स्थित होना चाहिए।
$-\frac{\lambda}{2} - (\frac{\lambda-1}{2}) + 1 = 0$.
$-\lambda + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda=3$ रखने पर:
$(x^2+y^2+y-1)+3(x-y+1)=0$.
$x^2+y^2+3x-2y+2=0$.

(A) मान लीजिए बिंदु $A(2,0)$ और $B(0,4)$ हैं। दो बिंदुओं से गुजरने वाले न्यूनतम त्रिज्या वाले वृत्त के लिए,उन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उसका व्यास होता है।
वृत्त का व्यास $AB = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ है।
त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ है।
वृत्त का केंद्र $AB$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तों की समाक्षीय प्रणाली का समीकरण $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1 = x^2+y^2-4x-2y+5$ और $S_2 = x^2+y^2-6x-4y-3$ है।
सबसे पहले,रेडिकल अक्ष ज्ञात करें: $S_1 - S_2 = 2x + 2y + 8 = 0$,जो $x + y + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्तों का परिवार $x^2+y^2-4x-2y+5 + \lambda(x+y+4) = 0$ है।
इन वृत्तों का केंद्र $(-\frac{\lambda-4}{2}, -\frac{\lambda-2}{2})$ है।
बिंदु वृत्त के लिए त्रिज्या $r = 0$ होती है,इसलिए $g^2 + f^2 - c = 0$।
$\lambda = 14$ के लिए,केंद्र $(-5, -6)$ प्राप्त होता है।

(B) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,एक शीर्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
अन्य दो शीर्ष $(x, y)$ और $(x, -y)$ पर हैं।
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ है और $x$-अक्ष से शीर्षों की लंबवत दूरी $\frac{a}{2}$ है।
अतः,परवलय पर स्थित शीर्ष के निर्देशांक $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{a}{2}\right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 8 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$
$\frac{a^2}{4} = 4\sqrt{3}a$
चूंकि $a \neq 0$,$a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{4} = 4\sqrt{3}$
$a = 16\sqrt{3} \text{ इकाई}$.

(A) परवलय की नाभि $(3,4)$ है और नियता का समीकरण $2x - 3y + 5 = 0$ है।
नाभि $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = \frac{|2(3) - 3(4) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times$ (नाभि से नियता की दूरी)।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

(C) दिया गया है कि $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^9, x^{10}$ और $x^{11}$ के गुणांक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
इसका अर्थ है कि ${}^nC_9, {}^nC_{10}$ और ${}^nC_{11}$ समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$2({}^nC_{10}) = {}^nC_9 + {}^nC_{11}$।
${}^nC_{10}$ से विभाजित करने पर,$2 = \frac{{}^nC_9}{{}^nC_{10}} + \frac{{}^nC_{11}}{{}^nC_{10}}$।
सूत्र $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{10}{n-9} + \frac{n-10}{11}$।
$2 = \frac{110 + (n-10)(n-9)}{11(n-9)}$।
$22(n-9) = 110 + n^2 - 19n + 90$।
$22n - 198 = n^2 - 19n + 200$।
$n^2 - 41n = -198 - 200 = -398$।

(B) दिया गया है,$\frac{3x}{(x-2)(x+1)}$ को आंशिक भिन्नों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \quad (i)$
$3x = A(x+1) + B(x-2)$
$x = 2$ रखने पर,$3(2) = A(2+1)$ $\Rightarrow 6 = 3A$ $\Rightarrow A = 2$.
$x = -1$ रखने पर,$3(-1) = B(-1-2)$ $\Rightarrow -3 = -3B$ $\Rightarrow B = 1$.
$A$ और $B$ के मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{3x}{(x-2)(x+1)} = \frac{2}{x-2} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{-2(1 - \frac{x}{2})} + \frac{1}{1+x} = -(1 - \frac{x}{2})^{-1} + (1+x)^{-1}$
द्विपद विस्तार $(1-y)^{-1} = 1 + y + y^2 + y^3 + y^4 + y^5 + \dots$ और $(1+y)^{-1} = 1 - y + y^2 - y^3 + y^4 - y^5 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$= -[1 + \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^3 + (\frac{x}{2})^4 + (\frac{x}{2})^5 + \dots] + [1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots]$
$x^5$ का गुणांक $-(\frac{1}{2})^5 - 1 = -\frac{1}{32} - 1 = -\frac{33}{32}$ है।

(B) दिया गया है,$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \dots$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 + x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$1 + x = (1 - 2/5)^{-1/2} = (3/5)^{-1/2} = (5/3)^{1/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1 + x)^2 = 5/3$
$1 + 2x + x^2 = 5/3$
$3 + 6x + 3x^2 = 5$
$3x^2 + 6x = 2$

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=9$,इसलिए $a=4$ और $b=3$.
चूँकि $a > b$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त $(\sqrt{7}, 0)$ और $(-\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है और इसका केंद्र $(0, 3)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(0, 3)$ और एक नाभि $(\sqrt{7}, 0)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(\sqrt{7}-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(C) रेखा $y=4x+m$ दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=4$ की स्पर्श रेखा है। दीर्घवृत्त के समीकरण में $y=4x+m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+4(4x+m)^2=4$
$x^2+4(16x^2+8mx+m^2)=4$
$x^2+64x^2+32mx+4m^2-4=0$
$65x^2+32mx+4(m^2-1)=0$
चूंकि रेखा वक्र को स्पर्श करती है,इसलिए विविक्तकर $D=0$ होगा:
$D = (32m)^2 - 4(65)(4(m^2-1)) = 0$
$1024m^2 - 16(65)(m^2-1) = 0$
$16$ से विभाजित करने पर:
$64m^2 - 65(m^2-1) = 0$
$64m^2 - 65m^2 + 65 = 0$
$-m^2 + 65 = 0$
$m^2 = 65$
$m = \pm \sqrt{65}$

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं। यहाँ $a^2=16$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}$ है। नाभि $(\pm 4 \times \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}, 0) = (\pm \sqrt{16-b^2}, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{(12/5)^2}-\frac{y^2}{(9/5)^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{81/25}{144/25}} = \sqrt{1+\frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
चूंकि नाभियाँ संपाती हैं,$\sqrt{16-b^2} = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16-b^2 = 9$,जिससे $b^2 = 7$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$g(x) = \frac{x}{[x]}$.
$x > 2$ और $x$,$2$ के निकट होने पर,$[x] = 2$,इसलिए $g(x) = \frac{x}{2}$.
साथ ही,$g(2) = \frac{2}{[2]} = \frac{2}{2} = 1$.
अब,हम दाईं ओर की सीमा (right-hand limit) का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{\frac{x}{2} - 1}{x - 2}$
$= \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{x - 2}{2(x - 2)}$
$= \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $\ell = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2x-\pi}{\cos x}$.
यह $\frac{0}{0}$ का अनिर्धार्य रूप है।
$L$' Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\ell = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx}(2x-\pi)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$
$\ell = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2}{-\sin x}$
$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$\ell = \frac{2}{-\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{2}{-1} = -2$.

(D) दिए गए अवलोकन $10, 8, 5, a, b$ हैं।
समांतर माध्य,$\bar{x} = \frac{10+8+5+a+b}{5} = 6$
$23 + a + b = 30 \implies a + b = 7$ ... $(i)$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = 6.8$
$\frac{10^2 + 8^2 + 5^2 + a^2 + b^2}{5} - (6)^2 = 6.8$
$\frac{100 + 64 + 25 + a^2 + b^2}{5} - 36 = 6.8$
$\frac{189 + a^2 + b^2}{5} = 42.8$
$189 + a^2 + b^2 = 214$
$a^2 + b^2 = 25$ ... $(ii)$
हम जानते हैं कि $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 24 \implies ab = 12$

(B) दिया गया डेटा: $6, 7, x-2, x, 18, 21$ (आरोही क्रम में)।
अवलोकनों की संख्या $n = 6$ (सम)।
माध्यिका = $\frac{(\frac{n}{2})\text{वां अवलोकन} + (\frac{n}{2}+1)\text{वां अवलोकन}}{2} = 16$.
$\frac{(x-2) + x}{2} = 16 \Rightarrow 2x - 2 = 32 \Rightarrow 2x = 34 \Rightarrow x = 17$.
डेटा सेट $6, 7, 15, 17, 18, 21$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{6+7+15+17+18+21}{6} = \frac{84}{6} = 14$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
गणना:
$|\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & x_i - \bar{x} & (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 6 & -8 & 64 \\ \hline 7 & -7 & 49 \\ \hline 15 & 1 & 1 \\ \hline 17 & 3 & 9 \\ \hline 18 & 4 & 16 \\ \hline 21 & 7 & 49 \\ \hline \text{योग} & & 188 \\ \hline \end{array}|$
प्रसरण = $\frac{188}{6} = \frac{94}{3} = 31 \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया व्यंजक $(a+b+c)(b+c-a) = \lambda bc$ है।
इसे $((b+c)+a)((b+c)-a) = \lambda bc$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$(b+c)^2 - a^2 = \lambda bc$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = \lambda bc$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$b^2 + c^2 - a^2 = (\lambda - 2)bc$।
दोनों पक्षों को $2bc$ से विभाजित करने पर,$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\lambda - 2}{2}$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,इसलिए $\cos A = \frac{\lambda - 2}{2}$।
चूंकि त्रिभुज के लिए $-1 < \cos A < 1$ होता है,इसलिए $-1 < \frac{\lambda - 2}{2} < 1$ होगा।
$2$ से गुणा करने पर,$-2 < \lambda - 2 < 2$।
सभी पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$0 < \lambda < 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है कि $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = \lambda$ (मान लीजिए).
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{\lambda}$,$s-b = \frac{2\Delta}{\lambda}$,और $s-c = \frac{3\Delta}{\lambda}$.
योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{6\Delta}{\lambda} \implies 3s - (a+b+c) = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = s = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
अतः,$s-a = \frac{s}{6}$,$s-b = \frac{s}{3}$,और $s-c = \frac{s}{2}$.
भुजाओं के लिए: $a = \frac{5s}{6}$,$b = \frac{2s}{3}$,$c = \frac{s}{2}$.
परिमाप $P = a+b+c = 2s$.
साथ ही,$b = \frac{2s}{3} \implies 3b = 2s = P$. अतः,परिमाप $3b$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी $\triangle ABC$ में,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B} + \frac{c}{\tan C} = \frac{2R \sin A}{\sin A / \cos A} + \frac{2R \sin B}{\sin B / \cos B} + \frac{2R \sin C}{\sin C / \cos C}$
$= 2R (\cos A + \cos B + \cos C)$
सर्वसमिका $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + r/R$ का उपयोग करने पर:
$= 2R (1 + r/R) = 2R + 2r = 2(R + r)$.

(A) हम जानते हैं कि $\sinh^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{1+y^2})$.
माना $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$. तब $\sqrt{1+y^2} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{1-a^2}} = \sqrt{\frac{1-a^2+a^2}{1-a^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$.
अतः,$\sinh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{1+a}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
दिया गया समीकरण $2 \sinh^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = a$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-1}$.
$y(x^2+2x-1) = x^2+2x+1$
$yx^2 + 2xy - y = x^2 + 2x + 1$
$(y-1)x^2 + 2(y-1)x - (y+1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ (यदि $y \neq 1$):
$D = [2(y-1)]^2 - 4(y-1)(-(y+1)) \geq 0$
$4(y-1)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$4(y-1)[(y-1) + (y+1)] \geq 0$
$4(y-1)(2y) \geq 0$
$8y(y-1) \geq 0$.
यह असमिका $y \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ के लिए सत्य है।
हालाँकि,यदि $y=1$ है,तो समीकरण $0 = -2$ हो जाता है,जो असंभव है,इसलिए $y \neq 1$.
अतः,परिसर $y \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$ है।

(A) दिया गया है $x^2+y^2=25$.
माना $z = 3x + 4y$.
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $a, b, x, y$ के लिए,$(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ होता है।
$a=3, b=4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $(3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)$.
$(3x + 4y)^2 \leq (9 + 16)(25) = 25 \times 25 = 625$.
वर्गमूल लेने पर,$-(25) \leq 3x + 4y \leq 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$3x + 4y$ का अधिकतम मान $25$ है।
इसलिए,$\log _5[\max (3x + 4y)] = \log _5(25) = \log _5(5^2) = 2 \log _5(5) = 2(1) = 2$.

(A) किसी भी घटना $E$ के लिए,प्रायिकता $P(E)$ को $0 \leq P(E) \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \leq 1$ होता है।
चरण $1$: व्यक्तिगत प्रायिकताओं पर प्रतिबंध:
$0 \leq \frac{1+3P}{3} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{2}{3}$.
$0 \leq \frac{1-2P}{2} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq P \leq \frac{1}{2}$.
चरण $2$: परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए शर्त:
$P(A) + P(B) \leq 1
$ $\Rightarrow \frac{1+3P}{3} + \frac{1-2P}{2} \leq 1
$ $\Rightarrow 5 \leq 6$.
यह हमेशा सत्य है।
चरण $3$: सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन:
$P \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

(B) माना रेखा $4x - y - 2 = 0$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ है।
माना $A = (-5, 6)$ और $B = (3, 2)$ है।
चूंकि $P$,$A$ और $B$ से समान दूरी पर है,इसलिए $AP = PB$,जिसका अर्थ है $AP^2 = PB^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$ है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$ है।
सरल करने पर: $16x - 8y + 48 = 0$,जो $2x - y + 6 = 0$ (समीकरण $2$) में बदल जाता है।
हमें रेखा $4x - y - 2 = 0$ (समीकरण $1$) दी गई है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(4x - y - 2) - (2x - y + 6) = 0$ है।
$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ है।
$x = 4$ को $4x - y - 2 = 0$ में रखने पर: $4(4) - y - 2 = 0$ $\Rightarrow 16 - y - 2 = 0$ $\Rightarrow y = 14$ है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 14)$ है।

(C) माना $D = \left|\begin{array}{lll}b^2-a b & b-c & b c-a c \\ a b-a^2 & a-b & b^2-a b \\ b c-a c & c-a & a b-a^2\end{array}\right|$.
$C_1$ और $C_3$ से $(b-a)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (b-a)(b-a) \left|\begin{array}{lll}b & b-c & c \\ a & a-b & b \\ c & c-a & a\end{array}\right|$.
यहाँ $C_2 = C_1 - C_3$ है।
अतः,$C_2 - (C_1 - C_3) = 0$ करने पर स्तंभ $C_2$ के सभी अवयव शून्य हो जाते हैं।
इसलिए,सारणिक का मान $0$ है।

(D) दिए गए समीकरण:
$2x + 3y + z = 5$
$3x + y + 5z = 7$
$x + 4y - 2z = 3$
इस निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 1 & 4 & -2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 2(-2 - 20) - 3(-6 - 5) + 1(12 - 1)$
$|A| = 2(-22) - 3(-11) + 1(11) = -44 + 33 + 11 = 0$
चूँकि $|A| = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं। हम $(\text{adj } A)B$ की जाँच करते हैं:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix}$
$(\text{adj } A)B = \begin{bmatrix} -22 & 10 & 14 \\ 11 & -5 & -7 \\ 11 & -5 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -110 + 70 + 42 \\ 55 - 35 - 21 \\ 55 - 35 - 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \neq 0$
चूँकि $(\text{adj } A)B \neq 0$,इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \infty\right)=\frac{\pi}{2}$ है।
दोनों श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं जिनका सार्व अनुपात क्रमशः $-x/2$ और $-x^2/2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
पहली श्रेणी के लिए,$a=x$ और $r=-x/2$,इसलिए योग $\frac{x}{1-(-x/2)} = \frac{2x}{2+x}$ है।
इसी प्रकार,दूसरी श्रेणी $x^2 - x^4/2 + x^6/4 - \dots$ के लिए,$a=x^2$ और $r=-x^2/2$ है। इसलिए योग $\frac{x^2}{1-(-x^2/2)} = \frac{2x^2}{2+x^2}$ है।
गुणधर्म $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(v) = \pi/2$ का उपयोग करते हुए,$u=v$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{2x}{2+x} = \frac{2x^2}{2+x^2}$।
चूंकि $x \neq 0$,$2x$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2+x} = \frac{x}{2+x^2}$।
$2+x^2 = x(2+x) \implies 2+x^2 = 2x+x^2$।
$2x = 2 \implies x=1$।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x - x$.
$f(A)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x) = \cos x - 1$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए $\cos x < 1$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
अतः,न्यूनतम मान $x = \frac{\pi}{3}$ पर और अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}$.
अतः,$f(A) = [\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4}]$.

(B) दिया गया है,$f(x) = 5x - 3$ और $g(x) = x^2 + 3$।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = 5x - 3$।
तब $y + 3 = 5x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{y + 3}{5}$।
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{5}$,इसलिए $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}$।
अब,हमें $g \circ f^{-1}(3) = g(f^{-1}(3))$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$f^{-1}(3) = \frac{3 + 3}{5} = \frac{6}{5}$ ज्ञात करें।
फिर,$g(\frac{6}{5}) = (\frac{6}{5})^2 + 3 = \frac{36}{25} + 3$।
योग करने पर: $\frac{36 + 75}{25} = \frac{111}{25}$।

(C) दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$ है।
चूंकि $f(x) = \int g(x) \, dx + C$ है,दोनों पक्षों का अवकलन करने पर हमें $f^{\prime}(x) = g(x)$ प्राप्त होता है।
अब,$h(x)$ के व्यंजक में $g(x) = f^{\prime}(x)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h(x) = {f(x)}^2 + {f^{\prime}(x)}^2$ प्राप्त होता है।
$h(x)$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$।
$h^{\prime}(x) = 2f^{\prime}(x) [f(x) + f^{\prime \prime}(x)]$।
चूंकि $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$ है,इसलिए $h^{\prime}(x) = 2f^{\prime}(x) \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(x)$ का अवकलज $0$ है,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः,$h(2015) = h(2014) = h(0) = 5$ है।
इस प्रकार,$h(2015) - h(2014) = 5 - 5 = 0$ है।

(B) दिया गया फलन,$f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ 2-x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$ है।
$x=1$ पर,$f(1) = 2-1 = 1$ है।
बायां पक्ष सीमा $(LHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} x = 1$ है।
दायां पक्ष सीमा $(RHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} (2-x) = 2-1 = 1$ है।
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $f(1)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर सतत है।
अब,अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ -1 & \text{for } x > 1 \end{cases}$ है।
बायां पक्ष अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} f'(x) = 1$ है।
दायां पक्ष अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} f'(x) = -1$ है।
चूंकि $LHD$ $\neq$ $RHD$ है,इसलिए फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x=1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ ... $(i)$
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$
समीकरण (ii) से मान इस समीकरण में रखने पर:
$(x^4+y^4)+2x^2y^2 = (x^4+y^4)+2$
$2x^2y^2 = 2$
$x^2y^2 = 1$
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(D) दिया गया है $x=a t^2$ और $y=2 a t$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{dx}$।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2at}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$।
$t=\frac{1}{2}$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2a(1/2)^3} = -\frac{1}{2a(1/8)} = -\frac{1}{a/4} = -\frac{4}{a}$।

(B) माना $V$ आयतन है,$S$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $r$ गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 1200 \text{ cm}^3/\text{s}$ और $r = 10 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान रखने पर: $1200 = 4 \pi (10)^2 \frac{dr}{dt} \implies 1200 = 400 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{3}{\pi} \text{ cm/s}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (10) \left( \frac{3}{\pi} \right) = 80 \times 3 = 240 \text{ cm}^2/\text{s}$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + bx^2 + ax$.
चूंकि $f(1) = f(3)$,हमारे पास $1 + b + a = 27 + 9b + 3a$ है।
यह $8b + 2a = -26$,या $4b + a = -13$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
अवकलन $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2bx + a$ है।
$c = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर $f^{\prime}(c) = 0$ दिया गया है,इसलिए $3(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $3(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$13 + 4\sqrt{3} + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + a = 0$.
$a = -13 - 4b$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$13 + 4\sqrt{3} + 4b + \frac{2b}{\sqrt{3}} - 13 - 4b = 0$.
$4\sqrt{3} + \frac{2b}{\sqrt{3}} = 0$.
$4\sqrt{3} = -\frac{2b}{\sqrt{3}} \implies 12 = -2b \implies b = -6$.
$a = -13 - 4b$ का उपयोग करते हुए,हमें $a = -13 - 4(-6) = -13 + 24 = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (11, -6)$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$.
$x-1 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = 1 + \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
अतः,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(1+\frac{1}{t})^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{1 + \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t} - 1}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1+2t}{t^2}}}$.
चूंकि $t = \frac{1}{x-1}$,$x > 1$ के लिए $t > 0$,इसलिए $\sqrt{t^2} = t$.
$I = -\int \frac{dt}{t \cdot \frac{\sqrt{1+2t}}{t}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1+2t}}$.
$I = -\int (1+2t)^{-1/2} dt = -\frac{(1+2t)^{1/2}}{1/2 \cdot 2} + C = -\sqrt{1+2t} + C$.
अब $t = \frac{1}{x-1}$ वापस रखने पर:
$I = -\sqrt{1 + \frac{2}{x-1}} + C = -\sqrt{\frac{x-1+2}{x-1}} + C = -\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)} d x$.
माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) d x = e^x(1+x) d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$.
दोनों पदों का समाकलन करने पर:
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) dt = \log |t| - \log |1+t| + C = \log \left| \frac{t}{1+t} \right| + C$.
$t = x e^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x)}{f(x) g(x)} [\log g(x)-\log f(x)] \, dx$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} \left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right) = \frac{d}{dx} (\log g(x) - \log f(x)) = \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} - \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{f(x) g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x) g(x)}{f(x) g(x)}$ होता है।
अतः,समाकलन $I = \int \log \left[\frac{g(x)}{f(x)}\right] \cdot d\left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right)$ बन जाता है।
माना $t = \log \left[\frac{g(x)}{f(x)}\right]$,तब $dt = d\left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right)$ होगा।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \left[ \log \frac{g(x)}{f(x)} \right]^2 + C$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int e^x \frac{x^2+1}{(x+1)^2} d x$ है।
अंश को $x^2 - 1 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$I = \int e^x \left( \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} \right) d x = \int e^x \left( \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
$I = \int e^x \left( \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right) d x$.
माना $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ है।
तब $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x \{f(x) + f'(x)\} d x = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = e^x \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x + \cos x}{3 + \sin 2x} dx$.
$t = \sin x - \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = (\cos x + \sin x) dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = \sin 0 - \cos 0 = -1$.
जब $x = \pi/4$,तब $t = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = 0$.
साथ ही,$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$,इसलिए $\sin 2x = 1 - t^2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{3 + (1 - t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{4 - t^2} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{2^2 - t^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2+t}{2-t} \right| \right]_{-1}^0 = \frac{1}{4} \left[ \log \left| \frac{2+0}{2-0} \right| - \log \left| \frac{2-1}{2-(-1)} \right| \right]$.
$I = \frac{1}{4} [ \log(1) - \log(1/3) ] = \frac{1}{4} [ 0 - (-\log 3) ] = \frac{1}{4} \log 3$.

(C) माना $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}+\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}$
$f(-x) = \frac{\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}}{\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2}}$
$f(-x) = -\left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$।

(C) दिया गया वक्र $y = \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt$ है।
लीबनीज़ के समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt \right) = \frac{1}{1+x^3}$.
$x = 1$ पर स्पर्श रेखा की ढाल उस बिंदु पर अवकलज का मान है:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} = \frac{1}{1+(1)^3} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

(C) यह क्षेत्र वृत्त $x^2+y^2=1$ और परवलय $y^2=1-x$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=1-x$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + (1-x) = 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
अतः,$x=0$ या $x=1$.
$x=0$ के लिए,$y^2=1 \implies y=\pm 1$. $x=1$ के लिए,$y^2=0 \implies y=0$.
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{-1}^0 \sqrt{1-x^2} dx + \int_0^1 \sqrt{1-x} dx \right]$.
समाकलन करने पर:
$2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x \right]_{-1}^0 = 2 \left[ (0 + 0) - (0 - \frac{\pi}{4}) \right] = \frac{\pi}{2}$.
$2 \int_0^1 (1-x)^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{-2}{3} (1-x)^{3/2} \right]_0^1 = 2 \left[ 0 - (-\frac{2}{3}) \right] = \frac{4}{3}$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{2} + \frac{4}{3}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ है।
दोनों पक्षों को $e^y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.
माना $e^{-y} = v$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,या $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,जिसे सरल करने पर $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$ है।
हल $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ द्वारा दिया जाता है।
$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.
$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.
$2x^2$ से गुणा करने पर,$2 x v = 1 + 2 C x^2$ प्राप्त होता है। माना $2C = C'$,तो $2 x v = 1 + C' x^2$ होगा।
$v = e^{-y}$ रखने पर,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$ प्राप्त होता है।
$e^y$ से गुणा करने पर,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + by + c}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = ax + by + c$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{dx}{dy} - ax = by + c$.
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -a$ और $Q = by + c$ है।
चूँकि यह समीकरण $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = |\hat{b}| = |\hat{c}| = 1$ है।
दिया है $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$।
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) \cdot (\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0} = 0$।
अदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{b} \cdot \hat{b} + \hat{c} \cdot \hat{c} + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$।
चूँकि $|\hat{a}|^2 = \hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,इसलिए:
$1 + 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$।
$3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$।
$2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = -3$।
अतः,$\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} = -\frac{3}{2}$।

(D) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $c=4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं।
दी गई शर्त: $r \times b = c \times b$.
इसका अर्थ है $(r-c) \times b = 0$,जिसका अर्थ है कि $(r-c)$,$b$ के समांतर है।
अतः,$r-c = \lambda b$,या $r = c + \lambda b$ ... $(i)$.
यह भी दिया गया है कि $r \cdot a = 0$.
इस शर्त में $(i)$ से $r$ का मान रखने पर:
$(c + \lambda b) \cdot a = 0$
$(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k} + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$((4+\lambda) \hat{i} + (-3+\lambda) \hat{j} + (7+\lambda) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+\hat{k}) = 0$
$2(4+\lambda) + 1(7+\lambda) = 0$
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$
$3\lambda + 15 = 0 \implies \lambda = -5$.
$(i)$ में $\lambda = -5$ रखने पर:
$r = (4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) - 5(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$
$r = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k}$
$r = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(A) एक सदिश $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाणों की गणना:
$M_1 = |\vec{a}_1| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$M_2 = |\vec{a}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$M_3 = |\vec{a}_3| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$M_4 = |\vec{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,जिसका अर्थ है कि $M_3 < M_1 < M_4 < M_2$।

(C) माना दो रेखाओं के दिक-अनुपात $\vec{a} = (2, -1, 2)$ और $\vec{b} = (K, 3, 5)$ हैं।
दिया गया है कि रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
दो रेखाओं के दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ के बीच के कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर:
$\cos 45^{\circ} = \frac{|(2)(K) + (-1)(3) + (2)(5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \sqrt{K^2 + 3^2 + 5^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K - 3 + 10|}{\sqrt{4 + 1 + 4} \sqrt{K^2 + 9 + 25}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2K + 7|}{3 \sqrt{K^2 + 34}}$
$3 \sqrt{K^2 + 34} = \sqrt{2} |2K + 7|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9(K^2 + 34) = 2(2K + 7)^2$
$9K^2 + 306 = 2(4K^2 + 28K + 49)$
$9K^2 + 306 = 8K^2 + 56K + 98$
$K^2 - 56K + 208 = 0$
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर:
$(K - 4)(K - 52) = 0$
अतः,$K = 4$ या $K = 52$ है।
दिए गए विकल्पों में $4$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $K = 4$ है।

(C) समतल बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, -1)$ से गुजरता है और सदिशों $\vec{b} = (1, -2, 4)$ तथा $\vec{c} = (3, 2, -5)$ के समांतर है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और सदिशों $\vec{b} = (a_1, b_1, c_1)$ तथा $\vec{c} = (a_2, b_2, c_2)$ के समांतर समतल का कार्तीय समीकरण निम्न है:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\begin{vmatrix} x - 3 & y + 2 & z + 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x - 3)((-2)(-5) - (4)(2)) - (y + 2)((1)(-5) - (4)(3)) + (z + 1)((1)(2) - (-2)(3)) = 0$
$(x - 3)(10 - 8) - (y + 2)(-5 - 12) + (z + 1)(2 + 6) = 0$
$2(x - 3) + 17(y + 2) + 8(z + 1) = 0$
$2x - 6 + 17y + 34 + 8z + 8 = 0$
$2x + 17y + 8z + 36 = 0$

(A) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिए गए अंतःखंड $a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{4}, c = \frac{1}{5}$ हैं।
इन मानों को रखने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{1/3} + \frac{y}{1/4} + \frac{z}{1/5} = 1$ होगा,जिसे सरल करने पर $3x + 4y + 5z = 1$ या $3x + 4y + 5z - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 3, B = 4, C = 5$ और $D = -1$ है।
अतः,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{1}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5 \sqrt{2}}$.

(A) एक बार पासा फेंकने पर $3$ आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
$3$ न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$A$ खेल शुरू करता है। $A$ तब जीतता है यदि वह $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ प्रयास में $3$ प्राप्त करता है।
$P(A) = p + q^2p + q^4p + \dots = \frac{p}{1 - q^2}$.
मान रखने पर: $P(A) = \frac{1/6}{1 - (5/6)^2} = \frac{1/6}{1 - 25/36} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{6}{11}$.
चूंकि कुल प्रायिकता $1$ है,$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.
अतः,प्रायिकताएं $\frac{6}{11}$ और $\frac{5}{11}$ हैं।

(A) दिया गया है,विफलता की प्रायिकता $q = 0.8$,इसलिए सफलता की प्रायिकता $p = 1 - 0.8 = 0.2$ है। परीक्षणों की संख्या $n = 3$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि घटना अधिकतम एक बार हो,जो $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
$P(X = 0) = { }^3 C_0 (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$.
$P(X = 1) = { }^3 C_1 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$.
अतः,$P(X \leq 1) = 0.512 + 0.384 = 0.896$.

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X=x) = 1$।
दी गई प्रायिकताओं का योग करने पर:
$0 + K + 2K + 2K + 3K + K^2 + 2K^2 + (7K^2 + K) = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$(K + 2K + 2K + 3K + K) + (K^2 + 2K^2 + 7K^2) = 1$
$9K + 10K^2 = 1$
$10K^2 + 9K - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$10K^2 + 10K - K - 1 = 0$
$10K(K + 1) - 1(K + 1) = 0$
$(10K - 1)(K + 1) = 0$
इससे $K = \frac{1}{10}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है। चूंकि प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $K = \frac{1}{10}$।
हमें $P(0 < X < 5)$ ज्ञात करना है,जो है:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= K + 2K + 2K + 3K = 8K$
$K = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$P(0 < X < 5) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10}$।

(C) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $A$ कोटि $n=3$ का एक वर्ग आव्यूह है।
सबसे पहले,आव्यूह $M = A^2$ पर विचार करें। $M$ की कोटि $3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{3-1} = |M|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$ होगा।
अब,हमें $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ ज्ञात करना है।
मान लीजिए $K = \operatorname{adj} A^2$ है। तो $|K| = |A|^4$ होगा।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} K| = |K|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$ है:
$|\operatorname{adj} K| = |K|^{3-1} = |K|^2$ होगा।
$|K| = |A|^4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = (|A|^4)^2 = |A|^8$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{a}_2=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\overrightarrow{a}_3=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{a}_4=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
परिमाण $m_1, m_2, m_3, m_4$ की गणना करने पर:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$.
अतः,$m_3 < m_1 < m_4 < m_2$.