સમીકરણો z^3+2z^2+2z+1=0 અને z^{2014}+z^{2015} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે. તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ

Vedclass · Accepted Answer

$\omega, \omega^2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે. તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. ધારો કે $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$. $z=-1$ માટે ચકાસતા: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 
eq 0$. તેથી,$-1$ સામાન્ય બીજ નથી. $z=\omega$ માટે ચકાસતા: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$. તેથી,$\omega$ સામાન્ય બીજ છે. $z=\omega^2$ માટે ચકાસતા: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$. તેથી,$\omega^2$ સામાન્ય બીજ છે. આમ,સામાન્ય બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.

સમીકરણો $z^3+2z^2+2z+1=0$ અને $z^{2014}+z^{2015}+1=0$ ના સામાન્ય બીજ કયા છે?

Similar Questions

જો $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોય,તો $n$ ના ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય માટે,ગુણાકાર $\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \cdots \omega^n$ શું થશે?

જો $x$ એ $1$ સિવાયનું એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો $\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2+\ldots+\left(x^{12}+\frac{1}{x^{12}}\right)^2=$

જો $z^2+z+1=0$ હોય,જ્યાં $z$ એ સંકર સંખ્યા છે,તો $\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^3$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module