frac{d y}{d x}+frac{1}{x}=frac{e^y}{x^2} નો ઉ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ છે.બંને બાજુ $e^y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y}

Vedclass · Accepted Answer

$2 x=\left(1+C x^2\right) e^y$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ છે.બંને બાજુ $e^y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $e^{-y} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} e^{-y} = \frac{1}{x^2} \quad \dots (i)$.ધારો કે $e^{-y} = v$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$-e^{-y} \frac{d y}{d x} = \frac{d v}{d x}$,અથવા $e^{-y} \frac{d y}{d x} = -\frac{d v}{d x}$.આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$-\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x^2}$ થાય છે.આ $\frac{d v}{d x} + P(x) v = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) d x} = e^{\int -\frac{1}{x} d x} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$.ઉકેલ $v \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) d x + C$ દ્વારા મળે છે.$v \cdot \frac{1}{x} = \int \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} d x + C$.$\frac{v}{x} = -\int x^{-3} d x + C = -\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{2 x^2} + C$.$2x^2$ વડે ગુણતા,$2 x v = 1 + 2 C x^2$. ધારો કે $2C = C'$,તો $2 x v = 1 + C' x^2$.$v = e^{-y}$ મૂકતા,$2 x e^{-y} = 1 + C' x^2$.$e^y$ વડે ગુણતા,$2 x = (1 + C' x^2) e^y$ મળે છે.

$\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}=\frac{e^y}{x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0)=0,$ તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x=x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2 y e^{x / y^{2}} d x+\left(y^{2}-4 x e^{x / y^{2}}\right) d y=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(1)=0$ છે. તો,$x(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.

વિકલ સમીકરણ $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ હોય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module