જો $\hat{a}, \hat{b}$ અને $\hat{c}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$ થાય,તો $\hat{a} \cdot \hat{b}+\hat{b} \cdot \hat{c}+\hat{c} \cdot \hat{a}$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના માન અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ હોય,અને $\vec{a}$ એ $\vec{b} + \vec{c}$ ને લંબ હોય,$\vec{b}$ એ $\vec{c} + \vec{a}$ ને લંબ હોય,અને $\vec{c}$ એ $\vec{a} + \vec{b}$ ને લંબ હોય,તો $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે ક્રમિક બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે. જો $\vec{a} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{b} = 2|\vec{a}|$ હોય,તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ થાય.

ધારો કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 7\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}$. જો $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$ હોય,તો $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

સદિશ $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ નો સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

ધારો કે $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $|\vec{c}+\vec{d}|=\sqrt{29}$ અને $\vec{c}\times(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times\vec{d}$ થાય. જો $\lambda_1, \lambda_2$ $(\lambda_1 > \lambda_2)$ એ $(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ ની શક્ય કિંમતો હોય,તો સમીકરણ $K^{2}x^{2}+(K^{2}-5K+\lambda_{1})xy+(3K+\frac{\lambda_{2}}{2})y^{2}-8x+12y+\lambda_{2}=0$ એ વર્તુળ દર્શાવે છે,તો $K$ ની કિંમત શોધો: