ઉગમબિંદુથી તે સમતલ પરના લંબની લંબાઈ શોધો જે યામ અક્ષો પર અનુક્રમે $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{5}$ ના અંતઃખંડો બનાવે છે.

ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ $2x - 3y + 4z = 29$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ શોધો.

ત્રણ સમતલો ધ્યાનમાં લો:
$P_1: x-y+z=1$
$P_2: x+y-z=-1$
$P_3: x-3y+3z=2$
ધારો કે $L_1, L_2, L_3$ એ અનુક્રમે સમતલો $P_2$ અને $P_3$,$P_3$ અને $P_1$,તથા $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાઓ છે.
$\text{વિધાન}-1$: રેખાઓ $L_1, L_2$ અને $L_3$ માંથી ઓછામાં ઓછી બે રેખાઓ સમાંતર નથી.
$\text{વિધાન}-2$: ત્રણેય સમતલોને કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.

સમતલ $x - 2y + 2z - 3 = 0$ ને સમાંતર અને બિંદુ $(1, 2, 3)$ થી એકમ અંતરે આવેલા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે. જો $(b - d) = K(c - a)$ હોય,તો $K$ ની ધન કિંમત શોધો.

એક સમતલ જે બિંદુ $(2,2,2)$ માંથી પસાર થાય છે તે ધન અર્ધ-અક્ષોને $A, B$ અને $C$ માં છેદે છે. જો $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ ચતુષ્ફલક $OABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોય (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે),તો સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

જો સમતલનું સમીકરણ જે ઉગમબિંદુથી $\frac{1}{3}$ એકમ અંતરે છે અને જેની દિશાના ગુણોત્તર $(1, 2, 2)$ છે તેવી રેખાને લંબ છે,તે $x+py+qz+r=0$ હોય,તો $\sqrt{p^2+q^2+r^2}=$