AP EAMCET 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है। पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पिंड का प्रारंभिक वेग $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ (जहाँ अंतिम वेग $0$ है) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R} = \frac{GM}{2R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$

(B) मान लीजिए कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक वेग $u_P = v$ और $u_Q = -10 \ ms^{-1}$ हैं।
टक्कर के बाद,गेंद $P$ का अंतिम वेग $v_P = 0$ है और गेंद $Q$ का अंतिम वेग $v_Q$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m(v) + m(-10) = m(0) + m(v_Q)$
$v - 10 = v_Q$
अब,प्रत्यावस्थान गुणांक के सूत्र $e = \frac{\text{अलग होने का वेग}}{\text{दृष्टिकोण का वेग}}$ का उपयोग करते हुए:
$e = \frac{v_Q - v_P}{u_P - u_Q}$
यहाँ $e = 0.6$,$v_P = 0$,$u_P = v$,और $u_Q = -10$ दिया गया है:
$0.6 = \frac{v_Q - 0}{v - (-10)}$
$0.6 = \frac{v_Q}{v + 10}$
समीकरण में $v_Q = v - 10$ रखने पर:
$0.6 = \frac{v - 10}{v + 10}$
$0.6(v + 10) = v - 10$
$0.6v + 6 = v - 10$
$16 = 0.4v$
$v = \frac{16}{0.4} = 40 \ ms^{-1}$

(A) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
चूँकि $E_i = E_f$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v^2 = \frac{GM}{2R}$।
$v^2$ का मान ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(C) उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
उपग्रह का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,पलायन वेग और कक्षीय वेग के बीच संबंध $v_e = \sqrt{2} v_0$ है।
पलायन के लिए आवश्यक अतिरिक्त वेग $\Delta v = v_e - v_0$ है।
मान रखने पर: $\Delta v = \sqrt{2} v_0 - v_0 = v_0(\sqrt{2} - 1)$।
दिया गया है $v_0 = 10 \ km/s$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$,तो:
$\Delta v = 10 \times (1.414 - 1) = 10 \times 0.414 = 4.14 \ km/s$।

(D) हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है। एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_V = R$।
दिया गया है: $C_V = 12.6 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ और $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $C_p = C_V + R$।
$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
इस मान को निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $C_p \approx 21 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का परम तापमान है।
चूंकि आर्गन और क्लोरीन गैसें एक ही फ्लास्क में हैं और तापीय संतुलन में हैं,इसलिए वे समान तापमान $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ पर हैं।
चूंकि प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और गैस के द्रव्यमान या अणुओं की प्रकृति से स्वतंत्र होती है,इसलिए दोनों गैसों की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।

(C) पिंड को गति देने के लिए आवश्यक बल $F$, सीमांत स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ के बराबर होता है।
$f_s = \mu_s N = \mu_s mg$
यहाँ $\mu_s = 0.8$, $m = 4 \,kg$, और $g = 10 \,ms^{-2}$ दिया गया है।
$F = 0.8 \times 4 \times 10 = 32 \,N$.
एक बार जब पिंड गति करना शुरू कर देता है, तो उस पर गतिज घर्षण बल $f_k$ कार्य करता है।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
यहाँ $\mu_k = 0.6$ दिया गया है।
$f_k = 0.6 \times 4 \times 10 = 24 \,N$.
पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k$ है।
$F_{net} = 32 - 24 = 8 \,N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $F_{net} = ma$.
$8 = 4 \times a$.
$a = 2 \,ms^{-2}$.

(B) दिया गया बल सदिश $\vec{F} = (2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \text{ N}$ है।
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0 \text{ ms}^{-1}$ है।
अंतिम वेग $\vec{v} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-1}$ है।
समय $t = 20 \text{ s}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $\vec{F} = m \vec{a} = m \left( \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} \right)$.
द्रव्यमान के लिए सूत्र: $m = \frac{\vec{F} \cdot t}{\vec{v} - \vec{u}}$.
यहाँ $\vec{v} - \vec{u} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 2(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \vec{F}$ है।
मान रखने पर: $m = \frac{\vec{F} \cdot 20}{2 \vec{F}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ kg}$।

(C) एक वृत्ताकार प्लेट पर दबाव $p$ सूत्र $p = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है और $A$ प्लेट का क्षेत्रफल है। चूंकि प्लेट वृत्ताकार है,इसलिए $A = \pi R^2$,जहाँ $R$ त्रिज्या है।
अतः,$p = \frac{F}{\pi R^2}$.
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$p$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta R}{R}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)$.
यह दिया गया है कि बल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 5 \%$ है और त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 3 \%$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$p$ में प्रतिशत त्रुटि $= 5 \% + 2(3 \%) = 5 \% + 6 \% = 11 \%$.
अतः,दबाव के मापन में प्रतिशत त्रुटि $11 \%$ है।

(B) $h$ गहराई पर दबाव $\Delta P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
बल्क मापांक $B$ को $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,आंशिक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B} = \frac{h \rho g}{B}$ है।
दिया गया है: $h = 3000 \,m$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,$g = 9.8 \,m/s^2$,और $B = 2.2 \times 10^9 \,N/m^2$।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3000 \times 1000 \times 9.8}{2.2 \times 10^9} = \frac{2.94 \times 10^7}{2.2 \times 10^9} = 1.336 \times 10^{-2} \approx 1.34 \times 10^{-2}$।

(C) हुक के नियम के अनुसार,तार में विस्तार लगाए गए बल के समानुपाती होता है: $F = k(l - l_0)$,जहाँ $l_0$ मूल लंबाई है और $k$ बल नियतांक है।
प्रथम स्थिति के लिए: $F_1 = k(l_1 - l_0)$ -- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $F_2 = k(l_2 - l_0)$ -- $(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}$
तिर्यक गुणा करने पर: $F_1(l_2 - l_0) = F_2(l_1 - l_0)$
$F_1 l_2 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_2 l_0$
$F_2 l_0 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0(F_2 - F_1) = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
माना लक्ष्य की दूरी $R$ है।
$\theta_1 = 15^{\circ}$ के लिए,परास $R_1 = R - 10$ है। अतः,$R - 10 = \frac{u^2 \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{2g}$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ के लिए,परास $R_2 = R + 15$ है। अतः,$R + 15 = \frac{u^2 \sin 90^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{R - 10}{R + 15} = \frac{u^2/2g}{u^2/g} = \frac{1}{2}$.
$2R - 20 = R + 15 \Rightarrow R = 35 \ m$.
अब,$R + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow 35 + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 50 \ m$.
लक्ष्य को भेदने के लिए,परास $R = 35 \ m$ होनी चाहिए। अतः,$35 = 50 \sin 2\theta$.
$\sin 2\theta = \frac{35}{50} = \frac{7}{10}$.
$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{7}{10}\right)$.

(D) मान लीजिए $\vec{v}_m$ व्यक्ति का वेग है,$\vec{v}_r$ बारिश का वेग है,और $\vec{v}_{rm}$ व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग है।
दिया गया है,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$.
जब व्यक्ति दौड़ रहा होता है,तो बारिश लंबवत गिरती हुई प्रतीत होती है,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_{rm}$ लंबवत है।
जब व्यक्ति रुक जाता है,तो बारिश क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ पर गिरती है,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_r$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
सदिश त्रिभुज से,$\vec{v}_r$ और लंबवत के बीच का कोण $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\vec{v}_m$,$\vec{v}_r$,और $\vec{v}_{rm}$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{|\vec{v}_m|}{|\vec{v}_{rm}|}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{|\vec{v}_{rm}|}$
$|\vec{v}_{rm}| = 5\sqrt{3} \text{ km/h}$.

(A) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
यहाँ,$A = 10 \ cm$ और $x = 4 \ cm$ है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{KE}{PE} = \frac{10^2 - 4^2}{4^2} = \frac{100 - 16}{16} = \frac{84}{16}$ प्राप्त होता है।
परिणाम की गणना करने पर: $\frac{84}{16} = 5.25$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$T_S$ तापमान वाले परिवेश में $T$ तापमान पर एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा की शुद्ध दर $E = \sigma A (T^4 - T_S^4)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 900 \ K$ और $T_S = 300 \ K$ दिया गया है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_S^4}{T_2^4 - T_S^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(900)^4 - (300)^4}$।
$(300)^4$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(300)^4 [2^4 - 1^4]}{(300)^4 [3^4 - 1^4]}$।
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{16 - 1}{81 - 1} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$।

(B) हीट इंजन के लिए,दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक को $\alpha = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{\alpha} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_L} = \frac{Q_H}{Q_L} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q_H}{Q_L} = 1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$।
इसलिए,$\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{\alpha}{1 + \alpha}$।
इस मान को दक्षता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{\alpha}{1 + \alpha} = \frac{1 + \alpha - \alpha}{1 + \alpha} = \frac{1}{1 + \alpha}$।

(B) ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के प्रथम नियम से, हमारे पास समीकरण $dQ = dU + dW$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में, परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, इसलिए $dQ = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर, हमें $0 = dU + dW$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $dU = -dW$।
चूंकि गैस $4.5 \,J$ का बाहरी कार्य करती है, इसलिए $dW = 4.5 \,J$ है।
अतः, $dU = -4.5 \,J$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU$ ऋणात्मक है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा $4.5 \,J$ कम हो जाएगी।

(B) अनुप्रस्थ तरंग का दिया गया समीकरण $y=2 \sin (30 t-40 x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (\omega t-k x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 30 \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = 40 \ m^{-1}$ प्राप्त होती है।
संचरण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,हमें $v = \frac{30}{40} = 0.75 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) एक बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ गैस में ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
चूँकि $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$,इसलिए $f = \frac{1}{4l} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होता है।
यह दिया गया है कि दोनों पाइपों के लिए मूल आवृत्ति $f$ और तापमान $T$ समान हैं,इसलिए $l \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M_1 = 32 \ g/mol$। हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_2 = 2 \ g/mol$।
उनकी लंबाइयों का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,उनकी लंबाइयों का अनुपात $1:4$ है।

(C) शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में किए गए कार्य $W$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = \frac{W}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,किया गया कार्य व्यक्ति और वस्तु को उठाने के लिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध है: $W = (m + M)gh$,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $M$ व्यक्ति का द्रव्यमान है।
दिया गया है: $P = 2000 \ W$,$M = 50 \ kg$,$h = 20 \ m$,$t = 10 \ s$,और $g = 10 \ m/s^2$.
शक्ति के सूत्र में मान रखने पर: $P = \frac{(m + M)gh}{t}$.
$2000 = \frac{(m + 50) \times 10 \times 20}{10}$.
$2000 = (m + 50) \times 20$.
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर: $100 = m + 50$.
अतः,$m = 100 - 50 = 50 \ kg$.

(A) $AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति का सूत्र है:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
दिया गया है:
$V_0 = 50 \ V$
$I_0 = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$
$RMS$ मान $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ हैं।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$
$P = \frac{50 \times 50 \times 10^{-3}}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$P = \frac{2500 \times 10^{-3}}{2} \times 0.5 = 1.25 \times 0.5 = 0.625 \ W$

(B) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए,संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तरों के बीच होता है,अर्थात $n_2 = n_1 + 1$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$,इसलिए $n_2 = 3$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $\lambda_{BL}$ है:
$\frac{1}{\lambda_{BL}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{BL} = \frac{36}{5R} \quad ... (A)$
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$,इसलिए $n_2 = 4$। सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $\lambda_{PL}$ है:
$\frac{1}{\lambda_{PL}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right) \implies \lambda_{PL} = \frac{144}{7R} \quad ... (B)$
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{BL}}{\lambda_{PL}} = \frac{36}{5R} \times \frac{7R}{144} = \frac{36 \times 7}{5 \times 144} = \frac{7}{5 \times 4} = \frac{7}{20}$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ होती है,जिसका अर्थ है $C \propto \frac{1}{d}$।
यदि दूरी $d$ को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाए,तो नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{C}{2}$ हो जाएगा।
नई ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{1}{2} C' V^2$ होगा।
$C' = \frac{C}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E' = \frac{1}{2} (\frac{C}{2}) V^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} C V^2) = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) मॉडुलन सूचकांक $m$ को मॉडुलित तरंग के अधिकतम और न्यूनतम आयामों के अंतर और योग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $m = \frac{E_{\max} - E_{\min}}{E_{\max} + E_{\min}}$
दिया गया है: $E_{\max} = 16 \,V$ और $E_{\min} = 4 \,V$
सूत्र में मान रखने पर:
$m = \frac{16 - 4}{16 + 4}$
$m = \frac{12}{20}$
$m = \frac{3}{5} = 0.6$
अतः, मॉडुलन सूचकांक $0.6$ है।

(B) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है,जहाँ $E = \frac{V}{l}$ है।
$E$ का मान रखने पर,हमें $v_d = \frac{eV\tau}{ml}$ प्राप्त होता है।
चूंकि विभवांतर $V$ स्थिर है,इसलिए $v_d \propto \frac{1}{l}$ होगा।
यदि लंबाई $l$ को बढ़ाकर $4l$ कर दिया जाए,तो नया अनुगमन वेग $v_{d'} = \frac{eV\tau}{m(4l)} = \frac{v_d}{4}$ हो जाएगा।
अतः,अनुगमन वेग $4$ गुना घट जाएगा।

(B) माना प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ और $R_2 = 3 \ \Omega$ हैं। माना प्रारंभिक संतुलन लंबाई $l_1$ है।
मीटर ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow 200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40 \ cm$.
जब $3 \ \Omega$ के समानांतर एक शंट $S$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2'$ $\frac{3S}{3+S}$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2$ $22.5 \ cm$ स्थानांतरित हो जाती है। चूंकि $R_2$ घटता है,संतुलन बिंदु $3 \ \Omega$ की ओर स्थानांतरित होता है,इसलिए $l_2 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
नई संतुलन स्थिति का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{2}{\frac{3S}{3+S}} = \frac{62.5}{100 - 62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
$\frac{2(3+S)}{3S} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{6+2S}{S} = 5 \Rightarrow 6 + 2S = 5S \Rightarrow 3S = 6 \Rightarrow S = 2 \ \Omega$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $v$ कण का वेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों समान वेग $v$ से गति कर रहे हैं,इसलिए तरंगदैर्ध्य कण के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda \propto \frac{1}{m}$।
अतः,इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_e)$ और प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda_p)$ का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{m_p}{m_e}$ होगा।
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $m_p : m_e$ है।

(C) ऊर्जा फ्लक्स $I = 9 \ Wcm^{-2} = 9 \times 10^4 \ Wm^{-2}$.
क्षेत्रफल $A = 20 \ cm^2 = 20 \times 10^{-4} \ m^2$.
समय $t = 1 \ \text{घंटा} = 3600 \ s$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$.
गैर-परावर्तक सतह के लिए, विकिरण द्वारा प्राप्त संवेग $p = \frac{U}{c} = \frac{IAt}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$p = \frac{(9 \times 10^4) \times (20 \times 10^{-4}) \times 3600}{3 \times 10^8}$.
$p = \frac{180 \times 3600}{3 \times 10^8} = \frac{648000}{3 \times 10^8} = 216000 \times 10^{-8} \ kgms^{-1}$.
$p = 2.16 \times 10^{-3} \ kgms^{-1}$.

(A) प्रेरक में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र $e = -L \frac{di}{dt}$ होता है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 30 \ mH = 30 \times 10^{-3} \ H$.
प्रारंभिक धारा $i_1 = 6 \ A$.
अंतिम धारा $i_2 = 2 \ A$.
समय अंतराल $dt = 2 \ s$.
धारा में परिवर्तन $di = i_2 - i_1 = 2 \ A - 6 \ A = -4 \ A$.
मान रखने पर:
$e = - (30 \times 10^{-3} \ H) \times \left( \frac{-4 \ A}{2 \ s} \right)$.
$e = - (30 \times 10^{-3}) \times (-2) = 60 \times 10^{-3} \ V = 0.06 \ V$.
अतः,प्रेरित emf का परिमाण $0.06 \ V$ है।

(A) परावैद्युतांक $K$ और विद्युत प्रवृत्ति $\chi_{e}$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K = 1 + \frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0}$
दिया गया है कि $K = \frac{4}{3}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{4}{3} = 1 + \frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0} = \frac{4}{3} - 1$
$\frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{3}$
अतः,विद्युत प्रवृत्ति का मान है:
$\chi_{e} = \frac{\varepsilon_0}{3}$

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$q_1 = +8 \mu C$ और $q_2 = +12 \mu C$ हैं,और बल $F_1 = 48 \ N$ है।
जब प्रत्येक को $-10 \mu C$ का अतिरिक्त आवेश दिया जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 8 \mu C - 10 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 12 \mu C - 10 \mu C = +2 \mu C$
चूंकि दूरी $r$ अपरिवर्तित है,बलों का अनुपात होगा:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{|q_1' q_2'|}{|q_1 q_2|} = \frac{|(-2) \times 2|}{|8 \times 12|} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$
अतः,$F_2 = \frac{F_1}{24} = \frac{48 \ N}{24} = 2 \ N$.
चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं (एक ऋणात्मक और एक धनात्मक),इसलिए बल आकर्षण का होगा।

(B) $E$ विद्युत क्षेत्र में $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$t$ समय में तय की गई दूरी $S$ के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m_e} \right) t^2$
$S = \frac{eEt^2}{2m_e}$.

(C) एक लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो चालक $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ की दूरी पर रखे गए हैं।
मध्य बिंदु पर,प्रत्येक चालक से दूरी $r = \frac{d}{2} = 0.05 \text{ m}$ है।
पहले चालक के लिए,मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ तल के अंदर की ओर निर्देशित है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके)।
दूसरे चालक के लिए,मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ तल के बाहर की ओर निर्देशित है।
चूंकि धाराएं समान हैं $(I_1 = I_2 = 3 \text{ A})$ और दूरियां समान हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान है: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$।
चूंकि क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है।

(B) क्रॉस्ड फील्ड (जहाँ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत होते हैं) में इलेक्ट्रॉन के सीधी रेखा में चलने के लिए, उस पर लगने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
$F_{net} = F_e + F_m = 0$
$eE = evB$
जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है, $v$ वेग है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
$v = \frac{E}{B}$
यहाँ $E = 20 \times 10^3 \,V/m$ और $B = 2.0 \,T$ दिया गया है।
$v = \frac{20 \times 10^3}{2.0} = 10 \times 10^3 \,m/s$.

(C) चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = B \cdot A$ है।
चूंकि $B = \mu H$ और $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$,इसलिए $\phi = \mu_0(1 + \chi_m) H A$ होता है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 0.25 \ cm^2 = 0.25 \times 10^{-4} \ m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = 1000 \ Am^{-1}$.
चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 313$.
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$.
मान रखने पर:
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1 + 313) \times 1000 \times (0.25 \times 10^{-4})$
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 314 \times 10^3 \times 0.25 \times 10^{-4}$
$\phi = 4 \pi \times 314 \times 0.25 \times 10^{-8}$
$\phi = 314 \pi \times 10^{-8} \approx 986.45 \times 10^{-8} \approx 9.87 \times 10^{-6} \ Wb$.

(D) दी गई अभिक्रिया $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}$ है।
यह $\beta^{-}$ क्षय प्रक्रिया को दर्शाता है,जहाँ एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है।
$\beta^{-}$ क्षय में,लेप्टॉन संख्या के संरक्षण के लिए अभिक्रिया में उत्पन्न इलेक्ट्रॉन (लेप्टॉन संख्या $+1$) को संतुलित करने हेतु एंटीन्यूट्रिनो $(\bar{\nu})$ का उत्सर्जन आवश्यक है।
इसलिए,$x$ एंटीन्यूट्रिनो को दर्शाता है।

(A) गोलाकार सतह पर अपवर्तन का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
दिए गए मान:
$\mu_1 = 1$ (हवा),$\mu_2 = 1.5$ (कांच)
$u = -100 \ cm$ (वस्तु की सतह से दूरी,चिह्न परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक)
$v = +100 \ cm$ (प्रतिबिंब की सतह से दूरी,धनात्मक क्योंकि यह कांच के अंदर बनता है)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.5}{100} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{100} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{100} = \frac{0.5}{R}$
$R = \frac{0.5 \times 100}{2.5} = \frac{50}{2.5} = 20 \ cm$
अतः,वक्रता त्रिज्या $20 \ cm$ है।

(D) यह परिपथ एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NAND$ गेट से बना है। $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
इनपुट $C$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है,इसलिए इसका आउटपुट $\bar{C}$ है।
ये दोनों संकेत $NAND$ गेट के इनपुट हैं,जो अंतिम आउटपुट $Y$ उत्पन्न करता है।
अतः,$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot \bar{C}}$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$Y = \overline{A \cdot B} + \overline{\bar{C}} = \bar{A} + \bar{B} + C$।
आउटपुट $Y$ के शून्य $(Y=0)$ होने के लिए,$\bar{A} + \bar{B} + C = 0$ होना चाहिए।
इसके लिए $\bar{A} = 0$,$\bar{B} = 0$ और $C = 0$ एक साथ होना आवश्यक है।
इसलिए,$A = 1$,$B = 1$ और $C = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि दो कला-सम्बद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ है।
माना $I_1 = 9k$ और $I_2 = 4k$,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}\right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{9k} + \sqrt{4k}}{\sqrt{9k} - \sqrt{4k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{5\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\right)^2 = (5)^2 = 25$
अतः,अनुपात $25:1$ है।