AP EAMCET 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે. નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ (જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R} = \frac{GM}{2R}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$

(B) ધારો કે બંને દડાનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u_P = v$ અને $u_Q = -10 \ ms^{-1}$ છે.
અથડામણ પછી,દડા $P$ નો અંતિમ વેગ $v_P = 0$ છે અને દડા $Q$ નો અંતિમ વેગ $v_Q$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m(v) + m(-10) = m(0) + m(v_Q)$
$v - 10 = v_Q$
હવે,રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકના સૂત્ર $e = \frac{\text{અલગ થવાનો વેગ}}{\text{અભિગમનો વેગ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{v_Q - v_P}{u_P - u_Q}$
અહીં $e = 0.6$,$v_P = 0$,$u_P = v$,અને $u_Q = -10$ આપેલ છે:
$0.6 = \frac{v_Q - 0}{v - (-10)}$
$0.6 = \frac{v_Q}{v + 10}$
સમીકરણમાં $v_Q = v - 10$ મૂકતા:
$0.6 = \frac{v - 10}{v + 10}$
$0.6(v + 10) = v - 10$
$0.6v + 6 = v - 10$
$16 = 0.4v$
$v = \frac{16}{0.4} = 40 \ ms^{-1}$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
કારણ કે $E_i = E_f$,તેથી $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v^2$ ની કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ અને કક્ષીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v_e = \sqrt{2} v_0$ છે.
મુક્ત થવા માટે જરૂરી વધારાનો વેગ $\Delta v = v_e - v_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \sqrt{2} v_0 - v_0 = v_0(\sqrt{2} - 1)$.
આપેલ છે કે $v_0 = 10 \ km/s$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી:
$\Delta v = 10 \times (1.414 - 1) = 10 \times 0.414 = 4.14 \ km/s$.

(D) હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે. આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_p - C_V = R$.
આપેલ છે: $C_V = 12.6 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ અને $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $C_p = C_V + R$.
$C_p = 12.6 + 8.314 = 20.914 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આ કિંમતને નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $C_p \approx 21 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ મળે છે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આર્ગોન અને ક્લોરિન વાયુઓ એક જ ફ્લાસ્કમાં હોવાથી અને ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોવાથી,તેઓ સમાન તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ પર છે.
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે વાયુના દળ કે અણુઓના પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી,તેથી બંને વાયુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે.

(C) પદાર્થને ખસેડવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ જેટલું હોય છે।
$f_s = \mu_s N = \mu_s mg$
અહીં $\mu_s = 0.8$, $m = 4 \,kg$, અને $g = 10 \,ms^{-2}$ આપેલ છે।
$F = 0.8 \times 4 \times 10 = 32 \,N$.
એકવાર પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે, ત્યારે તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ લાગે છે।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
અહીં $\mu_k = 0.6$ આપેલ છે।
$f_k = 0.6 \times 4 \times 10 = 24 \,N$.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k$ છે।
$F_{net} = 32 - 24 = 8 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{net} = ma$.
$8 = 4 \times a$.
$a = 2 \,ms^{-2}$.

(B) આપેલ બળ સદિશ $\vec{F} = (2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \text{ N}$ છે।
પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0 \text{ ms}^{-1}$ છે।
અંતિમ વેગ $\vec{v} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-1}$ છે।
સમય $t = 20 \text{ s}$ છે।
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $\vec{F} = m \vec{a} = m \left( \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} \right)$.
દળ માટે સૂત્ર: $m = \frac{\vec{F} \cdot t}{\vec{v} - \vec{u}}$.
અહીં $\vec{v} - \vec{u} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 2(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \vec{F}$ થાય છે।
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{\vec{F} \cdot 20}{2 \vec{F}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ kg}$.

(C) વર્તુળાકાર પ્લેટ પરનું દબાણ $p$ એ સૂત્ર $p = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $A$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે. પ્લેટ વર્તુળાકાર હોવાથી,$A = \pi R^2$,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$p = \frac{F}{\pi R^2}$.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$p$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta R}{R}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = \left( \frac{\Delta F}{F} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે બળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 5 \%$ અને ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 3 \%$ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$p$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 5 \% + 2(3 \%) = 5 \% + 6 \% = 11 \%$.
આમ,દબાણના માપનમાં થતી પ્રતિશત ત્રુટિ $11 \%$ છે.

(B) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $\Delta P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તેથી,આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B} = \frac{h \rho g}{B}$ છે।
આપેલ છે: $h = 3000 \,m$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,$g = 9.8 \,m/s^2$,અને $B = 2.2 \times 10^9 \,N/m^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3000 \times 1000 \times 9.8}{2.2 \times 10^9} = \frac{2.94 \times 10^7}{2.2 \times 10^9} = 1.336 \times 10^{-2} \approx 1.34 \times 10^{-2}$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,તારમાં થતો વધારો લાગુ પડેલા બળના પ્રમાણમાં હોય છે: $F = k(l - l_0)$,જ્યાં $l_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $k$ એ બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $F_1 = k(l_1 - l_0)$ -- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $F_2 = k(l_2 - l_0)$ -- $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $F_1(l_2 - l_0) = F_2(l_1 - l_0)$
$F_1 l_2 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_2 l_0$
$F_2 l_0 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0(F_2 - F_1) = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
ધારો કે લક્ષ્યનું અંતર $R$ છે.
$\theta_1 = 15^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_1 = R - 10$ છે. તેથી,$R - 10 = \frac{u^2 \sin 30^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{2g}$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_2 = R + 15$ છે. તેથી,$R + 15 = \frac{u^2 \sin 90^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{R - 10}{R + 15} = \frac{u^2/2g}{u^2/g} = \frac{1}{2}$.
$2R - 20 = R + 15 \Rightarrow R = 35 \ m$.
હવે,$R + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow 35 + 15 = \frac{u^2}{g} \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 50 \ m$.
લક્ષ્યને અથડાવવા માટે,અવધિ $R = 35 \ m$ હોવી જોઈએ. તેથી,$35 = 50 \sin 2\theta$.
$\sin 2\theta = \frac{35}{50} = \frac{7}{10}$.
$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{7}{10}\right)$.

(D) ધારો કે $\vec{v}_m$ એ માણસનો વેગ છે,$\vec{v}_r$ એ વરસાદનો વેગ છે,અને $\vec{v}_{rm}$ એ માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
આપેલ છે કે,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$.
જ્યારે માણસ દોડે છે,ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ પડતો જણાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબ છે.
જ્યારે માણસ ઉભો રહી જાય છે,ત્યારે વરસાદ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_r$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વેક્ટર ત્રિકોણ પરથી,$\vec{v}_r$ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$\vec{v}_m$,$\vec{v}_r$,અને $\vec{v}_{rm}$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{|\vec{v}_m|}{|\vec{v}_{rm}|}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{|\vec{v}_{rm}|}$
$|\vec{v}_{rm}| = 5\sqrt{3} \text{ km/h}$.

(A) સાદા આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
અહીં,$A = 10 \ cm$ અને $x = 4 \ cm$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{KE}{PE} = \frac{10^2 - 4^2}{4^2} = \frac{100 - 16}{16} = \frac{84}{16}$ મળે.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $\frac{84}{16} = 5.25$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T_S$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં $T$ તાપમાને રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઊર્જાનો ચોખ્ખો દર $E = \sigma A (T^4 - T_S^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 900 \ K$ અને $T_S = 300 \ K$ આપેલ છે.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_S^4}{T_2^4 - T_S^4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(900)^4 - (300)^4}$.
$(300)^4$ સામાન્ય લેતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(300)^4 [2^4 - 1^4]}{(300)^4 [3^4 - 1^4]}$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{16 - 1}{81 - 1} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.

(B) હીટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\alpha = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{\alpha} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_L} = \frac{Q_H}{Q_L} - 1$.
આમ,$\frac{Q_H}{Q_L} = 1 + \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$.
તેથી,$\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{\alpha}{1 + \alpha}$.
આ કિંમતને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{\alpha}{1 + \alpha} = \frac{1 + \alpha - \alpha}{1 + \alpha} = \frac{1}{1 + \alpha}$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, આપણી પાસે સમીકરણ $dQ = dU + dW$ છે।
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં, આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી, તેથી $dQ = 0$।
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $0 = dU + dW$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $dU = -dW$।
અહીં આપેલ છે કે વાયુ $4.5 \,J$ જેટલું બાહ્ય કાર્ય કરે છે, તેથી $dW = 4.5 \,J$।
તેથી, $dU = -4.5 \,J$।
આમ, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $dU$ ઋણ હોવાથી, આંતરિક ઉર્જા $4.5 \,J$ જેટલી ઘટશે।

(B) આપેલ લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y=2 \sin (30 t-40 x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t-k x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 40 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{30}{40} = 0.75 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(A) બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
કારણ કે $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$,તેથી $f = \frac{1}{4l} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પાઇપ માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ અને તાપમાન $T$ સમાન છે,તેથી $l \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$M_1 = 32 \ g/mol$. હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$M_2 = 2 \ g/mol$.
તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(C) પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં કરેલા કાર્ય $W$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = \frac{W}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કરેલું કાર્ય માણસ અને વસ્તુને ઊંચકવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ છે: $W = (m + M)gh$,જ્યાં $m$ એ વસ્તુનું દળ છે અને $M$ એ માણસનું દળ છે.
આપેલ છે: $P = 2000 \ W$,$M = 50 \ kg$,$h = 20 \ m$,$t = 10 \ s$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
પાવરના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(m + M)gh}{t}$.
$2000 = \frac{(m + 50) \times 10 \times 20}{10}$.
$2000 = (m + 50) \times 20$.
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા: $100 = m + 50$.
તેથી,$m = 100 - 50 = 50 \ kg$.

(A) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
આપેલ છે:
$V_0 = 50 \ V$
$I_0 = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$
$RMS$ મૂલ્યો $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$
$P = \frac{50 \times 50 \times 10^{-3}}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$P = \frac{2500 \times 10^{-3}}{2} \times 0.5 = 1.25 \times 0.5 = 0.625 \ W$

(B) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તરો વચ્ચે થાય છે,એટલે કે $n_2 = n_1 + 1$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$,તેથી $n_2 = 3$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $\lambda_{BL}$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{BL}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{BL} = \frac{36}{5R} \quad ... (A)$
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,$n_1 = 3$,તેથી $n_2 = 4$. સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $\lambda_{PL}$ છે:
$\frac{1}{\lambda_{PL}} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right) \implies \lambda_{PL} = \frac{144}{7R} \quad ... (B)$
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{BL}}{\lambda_{PL}} = \frac{36}{5R} \times \frac{7R}{144} = \frac{36 \times 7}{5 \times 144} = \frac{7}{5 \times 4} = \frac{7}{20}$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $C \propto \frac{1}{d}$.
જો અંતર $d$ બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{C}{2}$ થશે.
નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' = \frac{1}{2} C' V^2$ છે.
$C' = \frac{C}{2}$ મૂકતા,આપણને $E' = \frac{1}{2} (\frac{C}{2}) V^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} C V^2) = \frac{E}{2}$ મળે છે.

(C) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ એ મોડ્યુલેટેડ તરંગના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તારના તફાવત અને સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $m = \frac{E_{\max} - E_{\min}}{E_{\max} + E_{\min}}$
આપેલ છે: $E_{\max} = 16 \,V$ અને $E_{\min} = 4 \,V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{16 - 4}{16 + 4}$
$m = \frac{12}{20}$
$m = \frac{3}{5} = 0.6$
તેથી, મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $0.6$ છે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે,જ્યાં $E = \frac{V}{l}$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_d = \frac{eV\tau}{ml}$ મળે છે.
અહીં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ હોવાથી,$v_d \propto \frac{1}{l}$ થાય.
જો લંબાઈ $l$ ને વધારીને $4l$ કરવામાં આવે,તો નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d'} = \frac{eV\tau}{m(4l)} = \frac{v_d}{4}$ થશે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $4$ ગણો ઘટશે.

(B) ધારો કે શરૂઆતના અવરોધો $R_1 = 2 \ \Omega$ અને $R_2 = 3 \ \Omega$ છે. ધારો કે શરૂઆતની બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_1$ છે.
મીટર બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow 200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40 \ cm$.
જ્યારે $3 \ \Omega$ સાથે સમાંતરમાં શંટ $S$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2'$ એ $\frac{3S}{3+S}$ થાય છે.
નવી બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_2$ એ $22.5 \ cm$ જેટલી ખસે છે. $R_2$ ઘટતું હોવાથી,બેલેન્સિંગ પોઈન્ટ $3 \ \Omega$ ની બાજુ ખસે છે,તેથી $l_2 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
નવી સંતુલન સ્થિતિનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{2}{\frac{3S}{3+S}} = \frac{62.5}{100 - 62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
$\frac{2(3+S)}{3S} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{6+2S}{S} = 5 \Rightarrow 6 + 2S = 5S \Rightarrow 3S = 6 \Rightarrow S = 2 \ \Omega$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ કણનો વેગ છે.
અહીં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી તરંગલંબાઇ એ કણના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda_e)$ અને પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda_p)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{m_p}{m_e}$ થાય.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $m_p : m_e$ છે.

(C) ઉર્જા ફ્લક્સ $I = 9 \ Wcm^{-2} = 9 \times 10^4 \ Wm^{-2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = 20 \ cm^2 = 20 \times 10^{-4} \ m^2$.
સમય $t = 1 \ \text{કલાક} = 3600 \ s$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$.
નોન-રિફ્લેક્ટિંગ સપાટી માટે, વિકિરણ દ્વારા મળતું વેગમાન $p = \frac{U}{c} = \frac{IAt}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{(9 \times 10^4) \times (20 \times 10^{-4}) \times 3600}{3 \times 10^8}$.
$p = \frac{180 \times 3600}{3 \times 10^8} = \frac{648000}{3 \times 10^8} = 216000 \times 10^{-8} \ kgms^{-1}$.
$p = 2.16 \times 10^{-3} \ kgms^{-1}$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત emf $(e)$ માટેનું સૂત્ર $e = -L \frac{di}{dt}$ છે.
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 30 \ mH = 30 \times 10^{-3} \ H$.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_1 = 6 \ A$.
અંતિમ પ્રવાહ $i_2 = 2 \ A$.
સમયગાળો $dt = 2 \ s$.
પ્રવાહમાં ફેરફાર $di = i_2 - i_1 = 2 \ A - 6 \ A = -4 \ A$.
કિંમતો મૂકતા:
$e = - (30 \times 10^{-3} \ H) \times \left( \frac{-4 \ A}{2 \ s} \right)$.
$e = - (30 \times 10^{-3}) \times (-2) = 60 \times 10^{-3} \ V = 0.06 \ V$.
આમ,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $0.06 \ V$ છે.

(A) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ અને ઇલેક્ટ્રિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_{e}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K = 1 + \frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0}$
અહીં $K = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{4}{3} = 1 + \frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0} = \frac{4}{3} - 1$
$\frac{\chi_{e}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{3}$
તેથી,ઇલેક્ટ્રિક સસેપ્ટિબિલિટી:
$\chi_{e} = \frac{\varepsilon_0}{3}$

(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$q_1 = +8 \mu C$ અને $q_2 = +12 \mu C$ છે,અને બળ $F_1 = 48 \ N$ છે.
જ્યારે દરેકને $-10 \mu C$ નો વધારાનો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 8 \mu C - 10 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 12 \mu C - 10 \mu C = +2 \mu C$
અંતર $r$ સમાન રહેતું હોવાથી,બળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{|q_1' q_2'|}{|q_1 q_2|} = \frac{|(-2) \times 2|}{|8 \times 12|} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$
તેથી,$F_2 = \frac{F_1}{24} = \frac{48 \ N}{24} = 2 \ N$.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી (એક ઋણ અને એક ધન),આ બળ આકર્ષણ પ્રકારનું હશે.

(B) $E$ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S$ શોધવા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m_e} \right) t^2$
$S = \frac{eEt^2}{2m_e}$.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે વાહકો $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે.
મધ્યબિંદુએ,દરેક વાહકથી અંતર $r = \frac{d}{2} = 0.05 \text{ m}$ છે.
પ્રથમ વાહક માટે,મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સમતલની અંદરની તરફ છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
બીજા વાહક માટે,મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ સમતલની બહારની તરફ છે.
જેহেতু પ્રવાહ સમાન છે $(I_1 = I_2 = 3 \text{ A})$ અને અંતર સમાન છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય છે.

(B) ક્રોસ્ડ ફિલ્ડમાં (જ્યાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો પરસ્પર લંબ હોય છે) ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે તે માટે, તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$F_{net} = F_e + F_m = 0$
$eE = evB$
જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે, $E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે, $v$ એ વેગ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે।
$v = \frac{E}{B}$
અહીં $E = 20 \times 10^3 \,V/m$ અને $B = 2.0 \,T$ આપેલ છે.
$v = \frac{20 \times 10^3}{2.0} = 10 \times 10^3 \,m/s$.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = B \cdot A$ છે.
અહીં $B = \mu H$ અને $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ હોવાથી,$\phi = \mu_0(1 + \chi_m) H A$ થાય.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.25 \ cm^2 = 0.25 \times 10^{-4} \ m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = 1000 \ Am^{-1}$.
સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m = 313$.
શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Hm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1 + 313) \times 1000 \times (0.25 \times 10^{-4})$
$\phi = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 314 \times 10^3 \times 0.25 \times 10^{-4}$
$\phi = 4 \pi \times 314 \times 0.25 \times 10^{-8}$
$\phi = 314 \pi \times 10^{-8} \approx 986.45 \times 10^{-8} \approx 9.87 \times 10^{-6} \ Wb$.

(D) આપેલ પ્રક્રિયા $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}$ છે.
આ $\beta^{-}$ ક્ષય પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,જેમાં એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\beta^{-}$ ક્ષયમાં,લેપ્ટોન સંખ્યાના સંરક્ષણ માટે પ્રક્રિયામાં ઉત્પન્ન થયેલા ઇલેક્ટ્રોન (લેપ્ટોન સંખ્યા $+1$) ને સંતુલિત કરવા માટે એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu})$ નું ઉત્સર્જન જરૂરી છે.
તેથી,$x$ એ એન્ટિન્યુટ્રિનો દર્શાવે છે.

(A) ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
આપેલ મૂલ્યો:
$\mu_1 = 1$ (હવા),$\mu_2 = 1.5$ (કાચ)
$u = -100 \ cm$ (વસ્તુનું સપાટીથી અંતર,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ ઋણ લેતા)
$v = +100 \ cm$ (પ્રતિબિંબનું સપાટીથી અંતર,ધન લેતા કારણ કે તે કાચની અંદર રચાય છે)
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1.5}{100} - \frac{1}{-100} = \frac{1.5 - 1}{R}$
$\frac{1.5}{100} + \frac{1}{100} = \frac{0.5}{R}$
$\frac{2.5}{100} = \frac{0.5}{R}$
$R = \frac{0.5 \times 100}{2.5} = \frac{50}{2.5} = 20 \ cm$
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $20 \ cm$ છે.

(D) આ પરિપથમાં એક $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે. $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ મળે છે.
ઇનપુટ $C$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\bar{C}$ મળે છે.
આ બંને સંકેતો $NAND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે જાય છે,જે અંતિમ આઉટપુટ $Y$ આપે છે.
આમ,$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot \bar{C}}$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{A \cdot B} + \overline{\bar{C}} = \bar{A} + \bar{B} + C$.
આઉટપુટ $Y$ શૂન્ય $(Y=0)$ થવા માટે,$\bar{A} + \bar{B} + C = 0$ હોવું જોઈએ.
આ માટે $\bar{A} = 0$,$\bar{B} = 0$ અને $C = 0$ એકસાથે હોવા જરૂરી છે.
તેથી,$A = 1$,$B = 1$ અને $C = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ છે.
ધારો કે $I_1 = 9k$ અને $I_2 = 4k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}\right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{9k} + \sqrt{4k}}{\sqrt{9k} - \sqrt{4k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{5\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\right)^2 = (5)^2 = 25$
આમ,ગુણોત્તર $25:1$ છે.