$CABINET$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले सभी संभावित शब्दों (अर्थ के साथ या बिना) की संख्या,जिसमें न तो $CAB$ शब्द आता है और न ही $NET$ शब्द,क्या है?

तीन अंकों की ऐसी संख्याओं की संख्या जिनमें $9$ केवल एक स्थान पर आता है,है

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ और $8$ अंकों का उपयोग करके पाँच अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि उनके दोनों सिरों पर सम अंक हों?

$1012$ और $23421$ के बीच स्थित ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिन्हें $2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) और जो $55$ से विभाज्य हैं?

मान लीजिए $S$ उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें $0, 1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$2210222$ समुच्चय $S$ में है,लेकिन $0210222$ समुच्चय $S$ में नहीं है। तो $S$ में ऐसे अवयवों $x$ की संख्या,जिनमें $0$ और $1$ अंकों में से कम से कम एक अंक ठीक दो बार आता है,वह $....$ के बराबर है।

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$,जिसके लिए $n! < {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n}$ सत्य है,वह है