मान लीजिए $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। यदि एक वास्तविक मान वाला फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{1-\cos \left(\frac{x}{a}\right)} & \text{यदि } x \neq 0 \\ \log 3 \log 4 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a=$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 1 - x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$. तो $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ क्या है?

मान लीजिए $f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जो इस प्रकार दिया गया है:
$f(x)=\begin{cases} (\frac{8}{7})^{\frac{\tan 8x}{\tan 7x}}, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ a-8, & x=\frac{\pi}{2} \\ (1+|\cot x|)^{\frac{b}{a}|\tan x|}, & \frac{\pi}{2} < x < \pi \end{cases}$
जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$ है। यदि $f$ बिंदु $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $a^2+b^2$ का मान .......... है।

यदि $f(x)= \begin{cases} \frac{x-[x]}{x-2}, & x>2 \\ b, & x=2 \\ \frac{|x^2-x-2|}{a(2+x-x^2)}, & -1 < x \leq 2 \\ 2a-b, & x \leq -1 \end{cases}$ $R$ पर सतत है,तो $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 ax+x \tan bx}{x^2}=$

यदि फलन $f(x) = \frac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4}$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है और $f(0) = \frac{1}{k}$ है,तो $k = ........$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \alpha + \frac{\sin [x]}{x}, & \text{यदि } x > 0 \\ 2, & \text{यदि } x = 0 \\ \beta + \left[ \frac{\sin x - x}{x^3} \right], & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\beta - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।