दो घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A)=frac{1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है: $P(A)=\frac{1}{4}$,$P(A|B)=\frac{1}{4}$,$P(B|A)=\frac{1}{2}$।हम जानते हैं कि $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} \implie

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केवल $(I)$ सही है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है: $P(A)=\frac{1}{4}$,$P(A|B)=\frac{1}{4}$,$P(B|A)=\frac{1}{2}$।हम जानते हैं कि $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{4}P(B)$।साथ ही $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{2}P(A) = \frac{1}{2} 	imes \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$।दोनों की तुलना करने पर,$\frac{1}{4}P(B) = \frac{1}{8} \implies P(B) = \frac{1}{2}$।$(I)$ $P(\bar{A}|\bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1-P(A \cup B)}{1-P(B)} = \frac{1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]}{1-P(B)} = \frac{1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}]}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{5}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$। कथन $(I)$ सही है।$(II)$ चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8} 
eq 0$,$A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। कथन $(II)$ गलत है।$(III)$ $P(A|B)+P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1/8}{1/2} + \frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4-1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} 
eq 1$। कथन $(III)$ गलत है।अतः,केवल $(I)$ सही है।

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यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं,तो $A$ और $\bar{B}$ हैं

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