यदि फलन f(x) = begin{cases} (1+|sin x|)^{frac | vedclass

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Question

(D) $f(x)$ को $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना कर

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$p=-\frac{2}{3}, q=e^{2/3}$

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(D) $f(x)$ को $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} (1+|\sin x|)^{\frac{p}{|\sin x|}} = \lim_{x 	o 0^-} (1-\sin x)^{\frac{p}{-\sin x}}$ (क्योंकि $x माना $h = -x$,जैसे $x 	o 0^-$,$h 	o 0^+$। तब $\sin x = -\sin h$।$\lim_{h 	o 0^+} (1+\sin h)^{\frac{p}{\sin h}} = e^{\lim_{h 	o 0^+} \sin h \cdot \frac{p}{\sin h}} = e^p$.अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^+} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}} = e^{\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{2/3}$.चूँकि $f(0) = q$,सीमाओं की तुलना करने पर:$e^p = q = e^{2/3}$.अतः,$p = 2/3$ और $q = e^{2/3}$।यदि मूल प्रश्न में घात $\frac{p}{\sin x}$ है,तो $LHL$ $= e^{-p}$ होगा,जिससे $p = -2/3$ और $q = e^{2/3}$ प्राप्त होगा।

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फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(a+1)x + \sin x}{x}, & x < 0 \\ c, & x = 0 \\ \frac{(x+bx^2)^{1/2} - \sqrt{x}}{bx^{1/2}}, & x > 0 \end{cases}$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए $a, b, c$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f$ दिए गए बिंदु पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए। $f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{यदि } x \le 2 \\ 3, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ बिंदु $x=2$ पर।

यदि फलन $f(x)$,जो नीचे परिभाषित है,हर जगह सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए: $f(x)=\begin{cases} \frac{2^x-1}{\sqrt{1+x}-1}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$

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