यदि $z=x+iy$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\bar{z}^{\frac{1}{3}}=a+ib$,तो $\frac{1}{a^2+b^2}\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)$ का मान क्या होगा?

एक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $\operatorname{Re}(z)$ को $z$ का वास्तविक भाग मानिए। मान लीजिए $S$ उन सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय है जो $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ को संतुष्ट करती हैं, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तब $|z_1 - z_2|^2$ का न्यूनतम संभव मान, जहाँ $z_1, z_2 \in S$ और $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ तथा $\operatorname{Re}(z_2) < 0$ है, क्या होगा:

मान लीजिए $z$ और $w$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z| \le 1$,$|w| \le 1$ और $|z + iw| = |z - i\overline{w}| = 2$ है। तो $z$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $z = 1 + ai$ एक सम्मिश्र संख्या है,$a > 0$,इस प्रकार कि $z^3$ एक वास्तविक संख्या है। तो योग $1 + z + z^2 + .... + z^{11}$ किसके बराबर है?

जब $\left|z-\frac{3}{z}\right|=2$ हो,तो $|z|$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है।

मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-x+2=0$ के मूल हैं, जहाँ $\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$ है। तो $\alpha^6+\alpha^4+\beta^4-5 \alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।