यदि C_r द्विपद गुणांक { }^{n} C_r को दर्शाता | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति पर विचार करें: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.हम जानते हैं कि $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum

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$\left(\frac{3 n-2}{2}\right){ }^{2 n} C_n$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति पर विचार करें: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.हम जानते हैं कि $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=0}^n C_r^2$.सर्वसमिका $\sum_{r=0}^n C_r^2 = { }^{2n} C_n$ और $r C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:$S = 3 \sum_{r=1}^n n { }^{n-1} C_{r-1} C_r - { }^{2n} C_n$.$S = 3n \sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r} - { }^{2n} C_n$.योगफल $\sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r}$,$(1+x)^{n-1}(1+x)^n = (1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n-1}$ का गुणांक है,जो ${ }^{2n-1} C_{n-1}$ है।अतः,$S = 3n { }^{2n-1} C_{n-1} - { }^{2n} C_n$.चूंकि ${ }^{2n-1} C_{n-1} = \frac{n}{2n} { }^{2n} C_n = \frac{1}{2} { }^{2n} C_n$,हमें प्राप्त होता है:$S = 3n \left( \frac{1}{2} { }^{2n} C_n \right) - { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n}{2} - 1 \right) { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n-2}{2} \right) { }^{2n} C_n$.

यदि $C_r$ द्विपद गुणांक ${ }^{n} C_r$ को दर्शाता है,तो $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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