अवकल समीकरण y^{prime} = frac{x^2 + y^2}{xy},ज | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{d

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$y^2 = x^2 \log x^2 + 4x^2$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$।दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$।चरों को पृथक करने पर: $v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{v^2}{2} = \log |x| + C$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y^2}{2x^2} = \log |x| + C \Rightarrow y^2 = 2x^2 \log |x| + 2x^2 C$।चूंकि $\log |x| = \frac{1}{2} \log x^2$,इसलिए $y^2 = x^2 \log x^2 + 2x^2 C$।शर्त $y(1) = -2$ का उपयोग करने पर: $(-2)^2 = (1)^2 \log(1)^2 + 2(1)^2 C \Rightarrow 4 = 0 + 2C \Rightarrow C = 2$।अतः,हल $y^2 = x^2 \log x^2 + 4x^2$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$,जहाँ $y(1) = -2$ है,का हल क्या है?

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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0$ एक समघातीय समीकरण है और इसका हल ज्ञात कीजिए।

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