अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x+y+1}{x+y-1} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.माना $x+y = v$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{

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$y - x + \frac{1}{3} = \log |x+y|$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.माना $x+y = v$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$.$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{v-1}{2v} dv = \int dx$.$\frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{v}) dv = x + C$.$\frac{1}{2} (v - \log |v|) = x + C$.$v = x+y$ रखने पर: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x + C$.$x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $x+y = 1$.$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log |1| = \frac{2}{3} + C$.$\frac{1}{2} - 0 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$.$C$ का मान वापस रखने पर: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x - \frac{1}{6}$.दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $(x+y) - \log |x+y| = 2x - \frac{1}{3}$.व्यवस्थित करने पर: $y - x + \frac{1}{3} = \log |x+y|$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ का विशिष्ट हल,जब $x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{1}{3}$ है,क्या होगा?

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