KCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
दिया गया व्यंजक: $\sin^{2} 51^{\circ} + \sin^{2} 39^{\circ}$.
हम $39^{\circ}$ को $(90^{\circ} - 51^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin^{2} 39^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ} - 51^{\circ}) = \cos^{2} 51^{\circ}$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin^{2} 51^{\circ} + \cos^{2} 51^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1$ प्राप्त होता है।

(C) हमें कथन $P(n): 2^{n} < n!$ दिया गया है।
हम $n$ के धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए जाँच करते हैं:
$n=1$ के लिए: $2^{1} = 2$ और $1! = 1$। चूँकि $2 < 1$ असत्य है,इसलिए $P(1)$ असत्य है।
$n=2$ के लिए: $2^{2} = 4$ और $2! = 2$। चूँकि $4 < 2$ असत्य है,इसलिए $P(2)$ असत्य है।
$n=3$ के लिए: $2^{3} = 8$ और $3! = 6$। चूँकि $8 < 6$ असत्य है,इसलिए $P(3)$ असत्य है।
$n=4$ के लिए: $2^{4} = 16$ और $4! = 24$। चूँकि $16 < 24$ सत्य है,इसलिए $P(4)$ सत्य है।
अतः,वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,$n=4$ है।

(D) दिया गया है,$z=x+iy$।
समीकरण $|z+1|=|z-1|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z+1|^2 = |z-1|^2$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|(x+1)+iy|^2 = |(x-1)+iy|^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + y^2$।
सरल करने पर,$(x+1)^2 - (x-1)^2 = 0$।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$(x+1-x+1)(x+1+x-1) = 0$।
$(2)(2x) = 0$,जिससे $4x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$।
समीकरण $x=0$ सम्मिश्र तल में $Y$-अक्ष को दर्शाता है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
$A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है,जहाँ $n = 6$,अतः $2^6 = 64$ है।
कम से कम दो अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करने के लिए,कुल उपसमुच्चयों में से शून्य अवयव वाले (रिक्त समुच्चय) और ठीक एक अवयव वाले उपसमुच्चयों को घटाना होगा।
शून्य अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या = ${}^6C_0 = 1$ है।
एक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या = ${}^6C_1 = 6$ है।
अतः,कम से कम दो अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $64 - (1 + 6) = 64 - 7 = 57$ है।

(A) दिया है,$\tan A + \cot A = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan A + \cot A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 \tan A \cot A = 4$
चूंकि $\tan A \cot A = 1$,इसलिए:
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 = 4$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A = 2$
अब,पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\tan^{2} A + \cot^{2} A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2 \tan^{2} A \cot^{2} A = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2(1)^{2} = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A = 4 - 2 = 2$।

(B) दिया है,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{3}$.
अतः,समस्या हल न होने की प्रायिकताएं $P(\bar{A}) = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = \frac{3}{4}, P(\bar{C}) = \frac{2}{3}$ हैं।
समस्या के ठीक दो व्यक्तियों द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $= P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$.
$= (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$.
$= \frac{2}{24} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(A) $(x_1 + x_2 + \dots + x_r)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2}$।
मान की गणना करने पर: $\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$।

(C) दिया गया है कि $AP$ के $n$ पदों का योग $S_{n} = n^{2} + n$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम पद $a_{1} = S_{1} = 1^{2} + 1 = 2$ है।
प्रथम दो पदों का योग $S_{2} = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$ है।
दूसरा पद $a_{2} = S_{2} - S_{1} = 6 - 2 = 4$ है।
सार्व अंतर $d = a_{2} - a_{1} = 4 - 2 = 2$ है।

(A) पहली रेखा का समीकरण $lx + my = n$ है,जिसे $y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल $m_1 = -\frac{l}{m}$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $l'x + m'y = n'$ है,जिसे $y = -\frac{l'}{m'}x + \frac{n'}{m'}$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल $m_2 = -\frac{l'}{m'}$ है।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ हो,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
$\left(-\frac{l}{m}\right) \times \left(-\frac{l'}{m'}\right) = -1$
$\frac{ll'}{mm'} = -1$
$ll' = -mm'$
$ll' + mm' = 0$.

(B) परवलय का समीकरण $x^{2} = 4ay$ है।
चूंकि परवलय बिंदु $(2, 1)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 2$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2)^{2} = 4a(1)$
$4 = 4a$
परवलय $x^{2} = 4ay$ के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
समीकरण $4 = 4a$ से,नाभिलंब की लंबाई $4$ प्राप्त होती है।

(C) दिया गया कथन एक सार्वभौमिक परिमाणक (universal quantification) है: "सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए,$x+y=y+x$."
"सभी के लिए" $(\forall)$ परिमाणक वाले कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम इसे "अस्तित्व में है" (या "कुछ के लिए") परिमाणक से बदलते हैं और विधेय (predicate) को नकारते हैं।
"सभी $x$ और $y$ के लिए,$P(x, y)$" का निषेध "ऐसे $x$ और $y$ मौजूद हैं कि $\neg P(x, y)$" होता है।
यहाँ,विधेय $P(x, y)$,$x+y=y+x$ है।
$x+y=y+x$ का निषेध $x+y \neq y+x$ है।
अतः,कथन का निषेध "कुछ वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$x+y \neq y+x$" है।

(D) दिया गया है कि $n(A) = 2$ है। मान लीजिए $n(B) = m$ है।
समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A) \times n(B)}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$2^{2 \times m} = 1024$ है।
चूँकि $1024 = 2^{10}$ होता है,इसलिए $2^{2m} = 2^{10}$ है।
घातों की तुलना करने पर,$2m = 10$,जिससे $m = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$n(B) = 5$ है।

(C) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होगा:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
दिया गया है कि $P(A) = 2P(B) = 3P(C)$,इसलिए हम $P(A)$ और $P(C)$ को $P(B)$ के पदों में लिख सकते हैं:
$P(A) = 2P(B)$
$P(C) = \frac{2P(B)}{3}$
इन मानों को योग के समीकरण में रखने पर:
$2P(B) + P(B) + \frac{2P(B)}{3} = 1$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$6P(B) + 3P(B) + 2P(B) = 3$
$11P(B) = 3$
$P(B) = \frac{3}{11}$

(A) दिए गए आंकड़े: $6, 7, 8, 9, 10$
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{6+7+8+9+10}{5} = \frac{40}{5} = 8$
मानक विचलन $(SD)$ = $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1 / x}-1}{e^{1 / x}+1}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$
दाईं ओर की सीमा $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1}$
अंश और हर को $e^{1/h}$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1 - e^{-1/h}}{1 + e^{-1/h}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
बाईं ओर की सीमा $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1}$
जैसे $h \rightarrow 0^{+}$,$e^{-1/h} \rightarrow 0$:
$\frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$
अतः,$RHL$ $1$ है और $LHL$ $-1$ है।

(A) हम संचय के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: ${ }^{n} C_{r} = { }^{n} C_{n-r}$।
इस गुणधर्म को ${ }^{16} C_{6}$ और ${ }^{16} C_{7}$ पदों पर लागू करने पर:
${ }^{16} C_{6} = { }^{16} C_{16-6} = { }^{16} C_{10}$
${ }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{16-7} = { }^{16} C_{9}$
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
${ }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{6} - { }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{9}$
$= ({ }^{16} C_{9} - { }^{16} C_{9}) + ({ }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10}) = 0 + 0 = 0$।

(C) त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,अष्टांशों का निर्धारण निर्देशांकों $(x, y, z)$ के चिह्नों द्वारा किया जाता है।
बिंदु $(1, -3, 4)$ के लिए,हमारे पास $x > 0$,$y < 0$,और $z > 0$ है।
अष्टांशों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$I: (+, +, +)$
$II: (-, +, +)$
$III: (-, -, +)$
$IV: (+, -, +)$
$V: (+, +, -)$
$VI: (-, +, -)$
$VII: (-, -, -)$
$VIII: (+, -, -)$
चूंकि चिह्न $(+, -, +)$ हैं,इसलिए बिंदु $(1, -3, 4)$ $IV$ अष्टांश में स्थित है।

(A) हमारे पास है,$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\tan x}{\sqrt{2x+4}-2} \right)$.
इस सीमा का मान ज्ञात करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x (\sqrt{2x+4}+2)}{(\sqrt{2x+4}-2)(\sqrt{2x+4}+2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x (\sqrt{2x+4}+2)}{(2x+4)-4}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x (\sqrt{2x+4}+2)}{2x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\tan x}{x} \right) \times \frac{\sqrt{2x+4}+2}{2}$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 \times \frac{\sqrt{2(0)+4}+2}{2}$
$= \frac{\sqrt{4}+2}{2} = \frac{2+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

(A) चूँकि $E_{1}$ और $E_{2}$ प्रतिदर्श समष्टि $S$ का विभाजन बनाती हैं,इसलिए $P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$ है।
दिया गया है कि $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(E_{1} | A) + P(E_{2} | A) = 1$ होता है क्योंकि $E_{1}$ और $E_{2}$ निशेष और परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
दिया गया है कि $P(E_{2} | A) = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$P(E_{1} | A) = 1 - P(E_{2} | A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(D) माना $AP$ का सार्व अंतर $d$ है। तब $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति के अवयव इस प्रकार होंगे:
$a_{1} + a_{7} - 2a_{4} = (a_{1}) + (a_{1} + 6d) - 2(a_{1} + 3d) = 0$.
$a_{2} + a_{8} - 2a_{5} = (a_{1} + d) + (a_{1} + 7d) - 2(a_{1} + 4d) = 0$.
$a_{3} + a_{9} - 2a_{6} = (a_{1} + 2d) + (a_{1} + 8d) - 2(a_{1} + 5d) = 0$.
चूंकि पहली पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) दिया गया है $P(A)=\frac{1}{3}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ और $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$।
हमें $P(A^{\prime} | B)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A^{\prime} | B) = \frac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)}$।
चूँकि $P(A^{\prime} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$,
इसलिए $P(A^{\prime} | B) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)}$।
मान रखने पर:
$P(A^{\prime} | B) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3-1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$।

(D) समुच्चय $A$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया $A \times A$ से $A$ तक का एक फलन है।
यदि समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n$ है,तो $A \times A$ में अवयवों की संख्या $n^{2}$ होगी।
समुच्चय $A$ पर द्वि-आधारी संक्रियाओं की संख्या का सूत्र $n^{(n^{2})}$ है।
यहाँ,समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ है,इसलिए अवयवों की संख्या $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर,हमें द्वि-आधारी संक्रियाओं की संख्या $3^{(3^{2})} = 3^{9}$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया समीकरण $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} A = I$ है,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ है। तब $BA = I$,जिसका अर्थ है कि $A = B^{-1}$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$ad-bc = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$ है।
अतः,$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत (domain) $x \in [-1, 1]$ है।
यहाँ,तर्क (argument) $\frac{\pi}{3}$ है।
चूँकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ है।
चूँकि $1.047 > 1$,इसलिए $\frac{\pi}{3}$ का मान प्रांत $[-1, 1]$ के बाहर है।
अतः,$\sin ^{-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)$ और $\cos ^{-1} \left(\frac{\pi}{3}\right)$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं हैं।
इस प्रकार,व्यंजक $\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\pi}{3}+\cos ^{-1} \frac{\pi}{3}\right)$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^{2} = A \cdot A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अब,हम $A^{4} = A^{2} \cdot A^{2}$ की गणना करते हैं:
$A^{4} = I \cdot I = I$.
अतः,$A^{4} = I$.

(D) दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^{\prime} = -B$ है।
यह जांचने के लिए कि $A^{\prime} B A$ सममित है या विषम-सममित,हम इसका परिवर्त आव्यूह लेते हैं:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} (A^{\prime})^{\prime}$
गुणधर्म $(XYZ)^{\prime} = Z^{\prime} Y^{\prime} X^{\prime}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime} A$
चूंकि $B^{\prime} = -B$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(A^{\prime} B A)^{\prime} = A^{\prime} (-B) A = -(A^{\prime} B A)$
चूंकि आव्यूह $A^{\prime} B A$ का परिवर्त उसके ऋणात्मक मान के बराबर है,इसलिए $A^{\prime} B A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $[2, \infty)$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = (x^{2} - 4x + 4) + 1$
$f(x) = (x - 2)^{2} + 1$
चूंकि प्रांत $x \in [2, \infty)$ है,इसलिए $x - 2 \geq 0$ होगा।
अतः,$(x - 2)^{2} \geq 0$ होगा।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) \geq 1$ है।
अतः,फलन $f$ का परिसर $[1, \infty)$ है।

(C) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है।
$R$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। चूंकि $(2, 2) \notin R$ और $(3, 3) \notin R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 1) \in R$ के लिए $(1, 1) \in R$ सत्य है। अतः,$R$ सममित है।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ केवल एक अवयव $(1, 1)$ है,इसलिए यह शर्त रिक्त रूप से सत्य है। अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ सममित और संक्रामक है।

(A) हमारे पास फलन $f(x) = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ है।
फलन $\cos^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क $u$ को $u \in [-1, 1]$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चूंकि $\sqrt{x-1}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए शर्त $0 \leq \sqrt{x-1} \leq 1$ हो जाती है।
असमानता का वर्ग करने पर,हमें $0 \leq x-1 \leq 1$ प्राप्त होता है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \leq x \leq 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ का प्रांत $[1, 2]$ है।

(C) हमारे पास है,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$.
$f(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक में $x = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0^3 - 0 & a + 0 & b + 0 \\ 0 - a & 0^2 - 0 & c + 0 \\ 0 - b & 0 - c & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right|$.
माना $A = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right]$ है।
चूँकि $A^T = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array} \right] = -A$,इसलिए आव्यूह $A$ एक $3$ कोटि का विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह का सारणिक,यदि उसकी कोटि विषम हो,तो हमेशा $0$ होता है।
अतः,$f(0) = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $A \text{ adj. } A = |A| I$ होता है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A \text{ adj. } A| = | |A| I |$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ कोटि के आव्यूह के लिए $|kI| = k^n |I|$ होता है,इसलिए $|A \text{ adj. } A| = |A|^n |I|$ होगा।
चूँकि $|I| = 1$,सूत्र $|A \text{ adj. } A| = |A|^n$ बन जाता है।
यहाँ $n = 3$ और $|A| = 5$ दिया गया है,अतः मान रखने पर:
$|A \text{ adj. } A| = (5)^3 = 125$.

(B) दिया गया समीकरण $2^{x}+2^{y}=2^{x+y} \quad ...(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2^{x}) + \frac{d}{dx}(2^{y}) = \frac{d}{dx}(2^{x+y})$
$2^{x} \ln 2 + 2^{y} \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} \ln 2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\ln 2$ से भाग देने पर:
$2^{x} + 2^{y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} + 2^{x+y} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2^{y} \frac{dy}{dx} - 2^{x+y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - 2^{x+y}) = 2^{x+y} - 2^{x}$
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $2^{x+y} = 2^{x} + 2^{y}$। यह मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - (2^{x} + 2^{y})) = (2^{x} + 2^{y}) - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (-2^{x}) = 2^{y}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{y}}{2^{x}} = -2^{y-x}$

(D) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{Kx}{2})}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \left(\frac{\sin(Kx/2)}{x}\right)^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।
अंश में $(\frac{K}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (\frac{K}{2})^2 \cdot (\frac{\sin(Kx/2)}{Kx/2})^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए:
$2 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{1}{2}$।
$\frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} \implies K^2 = 1$।
अतः,$K = \pm 1$।

(B) हमें दिया गया है,$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$.
माना $x=\tan \theta$,तब $\theta=\tan ^{-1} x$.
इस मान को फलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)$.
चूँकि $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$,इसलिए $f(x)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta = 2 \tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
अब $x=\sqrt{3}$ रखने पर,$f^{\prime}(\sqrt{3}) = \frac{2}{1+(\sqrt{3})^{2}} = \frac{2}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(C) रेखा $y=2x+1$,$X$-अक्ष को $x=-\frac{1}{2}$ पर काटती है।
$x \in [-1, -\frac{1}{2}]$ के लिए,$y \le 0$ है,और $x \in [-\frac{1}{2}, 1]$ के लिए,$y \ge 0$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{1} |y| dx = \int_{-1}^{-1/2} -(2x+1) dx + \int_{-1/2}^{1} (2x+1) dx$
$= -[x^2+x]_{-1}^{-1/2} + [x^2+x]_{-1/2}^{1}$
$= -[(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (1 - 1)] + [(1+1) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})]$
$= -[-\frac{1}{4}] + [2 - (-\frac{1}{4})]$
$= \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया है,$y = 2 x^{n+1} + 3 x^{-n} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(n+1)x^n + 3(-n)x^{-n-1} = 2(n+1)x^n - 3nx^{-n-1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2(n+1)(n)x^{n-1} - 3n(-n-1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2n(n+1)x^{n-1} + 3n(n+1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n-1} + 3x^{-n-2}]$
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n+1} + 3x^{-n}]$
समीकरण $(i)$ से $y$ का मान रखने पर:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$

(A) दिया गया समीकरण $(x e)^{y}=e^{x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y \log(x e) = x \log e$
चूंकि $\log(x e) = \log x + \log e$ और $\log e = 1$,इसलिए:
$y(\log x + 1) = x$
$y = \frac{x}{\log x + 1}$
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x + 1)(1) - x(\frac{1}{x} + 0)}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x + 1 - 1}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(\log x + 1)^2}$

(D) दिए गए वक्र $2x = y^2$ $(i)$ और $2xy = K$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$2x = y^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 \cdot y = K \Rightarrow y^3 = K \Rightarrow y = K^{1/3}$.
अतः $2x = (K^{1/3})^2 = K^{2/3} \Rightarrow x = \frac{K^{2/3}}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{K^{2/3}}{2}, K^{1/3})$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल $m_1 = \frac{1}{K^{1/3}}$.
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y + x \frac{dy}{dx}) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल $m_2 = -\frac{K^{1/3}}{K^{2/3}/2} = -2K^{-1/3}$.
चूंकि वक्र लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$(\frac{1}{K^{1/3}}) \cdot (-2K^{-1/3}) = -1$.
$-2K^{-2/3} = -1 \Rightarrow K^{-2/3} = \frac{1}{2}$.
$K^{2/3} = 2 \Rightarrow (K^{2/3})^3 = 2^3 \Rightarrow K^2 = 8$.

(D) माना कि घन की भुजा $x$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
जब भुजा $x$ में $5 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई भुजा $x' = x + 0.05x = 1.05x$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S' = 6(1.05x)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S' = 6(1.1025x^2) = 1.1025(6x^2) = 1.1025S$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{S' - S}{S} \times 100 \%$ है।
$= \frac{1.1025S - S}{S} \times 100 \% = 0.1025 \times 100 \% = 10.25 \%$.

(A) हमारे पास है,$I = \int e^{\sin x} \sin 2x \, dx$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^{\sin x} (2 \sin x \cos x) \, dx = 2 \int e^{\sin x} \sin x \cos x \, dx$
माना $\sin x = t$,तब $\cos x \, dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 2 \int e^t \cdot t \, dt$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = e^t \, dt$:
$I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + C$
$I = 2 e^t (t - 1) + C$
$t = \sin x$ वापस रखने पर:
$I = 2 e^{\sin x} (\sin x - 1) + C$

(B) हमारे पास $I = \int \frac{1+x^{4}}{1+x^{6}} dx$ है।
यहाँ,$1+x^6 = (1+x^2)(1-x^2+x^4)$ का उपयोग करते हुए,
$\int \frac{1+x^{4}}{1+x^{6}} dx = \int \frac{1+x^{2}+x^{4}-x^{2}}{1+x^{6}} dx$
इस पद को दो भागों में विभाजित करने पर:
$\int \frac{1+x^{2}}{1+x^{6}} dx + \int \frac{x^{4}-x^{2}}{1+x^{6}} dx$
सरल गणना करने पर:
$\int \frac{1+x^{4}}{1+x^{6}} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx + \int \frac{x^2}{1+(x^3)^2} dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = x^3$,तो $dt = 3x^2 dx$ या $x^2 dx = \frac{dt}{3}$।
अतः,समाकलन $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1+t^2} = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} t + C$ होगा।
अंत में,$t = x^3$ रखने पर,उत्तर $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + C$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \frac{\log _{e} x}{x}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x) - \log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log _{e} x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \log _{e} x}{x^{2}}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$1 - \log _{e} x = 0 \Rightarrow \log _{e} x = 1 \Rightarrow x = e$.
अब,अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^{2}(-\frac{1}{x}) - (1 - \log _{e} x)(2x)}{x^{4}} = \frac{-x - 2x(1 - \log _{e} x)}{x^{4}}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{-e - 2e(1 - 1)}{e^{4}} = \frac{-e}{e^{4}} = -\frac{1}{e^{3}} < 0$.
चूंकि $f''(e) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log _{e} e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(D) हमारे पास समाकलन $\int \frac{3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx$ है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\frac{3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$ है।
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)(x-3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$।
$x=1$ रखने पर: $3(1)+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 4 = A(-1)(-2) \Rightarrow 4 = 2A \Rightarrow A = 2$।
$x=2$ रखने पर: $3(2)+1 = B(2-1)(2-3) \Rightarrow 7 = B(1)(-1) \Rightarrow 7 = -B \Rightarrow B = -7$।
$x=3$ रखने पर: $3(3)+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 10 = C(2)(1) \Rightarrow 10 = 2C \Rightarrow C = 5$।
अतः,समाकलन $\int (\frac{2}{x-1} - \frac{7}{x-2} + \frac{5}{x-3}) dx$ हो जाता है।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $2 \log |x-1| - 7 \log |x-2| + 5 \log |x-3| + K$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $A \log |x-1| + B \log |x-2| + C \log |x-3| + K$ से करने पर,$A=2, B=-7, C=5$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास है,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \cos ^{-1} x \, dx$.
गुणधर्म $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) \, dx$.
$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \frac{\pi}{2} \, dx - \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sin^{-1} x \, dx$.
चूंकि $\sin^{-1} x$ एक विषम फलन है,इसलिए समाकलन $\int_{-a}^{a} \sin^{-1} x \, dx = 0$ होगा।
अतः,$I = \frac{\pi}{2} [x]_{-1 / 2}^{1 / 2} - 0$.
$I = \frac{\pi}{2} (\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})) = \frac{\pi}{2} (1) = \frac{\pi}{2}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ है।
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{1+e^{x}} + \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} \right) d x$.
चूंकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{1+e^{x}} + \frac{e^x \cos x}{1+e^{x}} \right) d x$.
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x (1+e^x)}{1+e^x} d x$.
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \cos x d x$.
$I = [\sin x]_{0}^{\pi / 2} = \sin(\pi / 2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^{2} \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$,और जब $x = 1$,तो $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$I = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log (1+\tan \theta)}{1+\tan^{2} \theta} (\sec^{2} \theta) d \theta = \int_{0}^{\pi/4} \log (1+\tan \theta) d \theta \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)\right] d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/4} \log \left[1+\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right] d \theta = \int_{0}^{\pi/4} \log \left(\frac{2}{1+\tan \theta}\right) d \theta$
$I = \int_{0}^{\pi/4} [\log 2 - \log (1+\tan \theta)] d \theta \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi/4} \log 2 d \theta = \log 2 [\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.
अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(B) वक्र और रेखा के दिए गए समीकरण $y^{2}=8x$ और $y=2x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=2x$ को $y^{2}=8x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(2x)^{2}=8x$
$4x^{2}=8x$
$4x^{2}-8x=0$
$4x(x-2)=0$
अतः,$x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तब $y=0$। जब $x=2$,तब $y=4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र में से निचली रेखा को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{2} (\sqrt{8x} - 2x) dx$
$A = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2}x^{1/2} - 2x) dx$
$A = 2\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx - 2 \int_{0}^{2} x dx$
$A = 2\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{2} - [x^{2}]_{0}^{2}$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2^{3/2}) - (2^{2})$
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} (2\sqrt{2}) - 4$
$A = \frac{4 \cdot 2 \cdot 2}{3} - 4 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16-12}{3} = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया समीकरण: $c_{1} y = (c_{2} + c_{3}) e^{x + c_{4}}$
अचरों को समूहित करने पर: $y = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}} \cdot e^{x}$
माना $C = \left( \frac{c_{2} + c_{3}}{c_{1}} \right) e^{c_{4}}$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।
अतः,समीकरण $y = C e^{x}$ बन जाता है।
चूँकि यहाँ केवल एक स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $C$ है,इसलिए इसे विलुप्त करने पर प्राप्त अवकल समीकरण की कोटि $1$ होगी।
$y = C e^{x}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = C e^{x}$ प्राप्त होता है।
$y = C e^{x}$ को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है,अतः इसकी कोटि $1$ है।

(D) दिया गया है कि स्पर्शरेखा का ढलान $\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = 3x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int 3x \, dx$,जिससे $\frac{y^2}{2} = \frac{3x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$y^2 = 3x^2 + 2C$ मिलता है,या $y^2 - 3x^2 = K$ जहाँ $K = 2C$ है।
चूँकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,हम $x=1$ और $y=2$ को समीकरण में रखते हैं: $2^2 - 3(1)^2 = K$,जिससे $4 - 3 = K$,अर्थात $K = 1$ प्राप्त होता है।
वक्र का समीकरण $y^2 - 3x^2 = 1$ है।
यह समीकरण $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जो एक अतिपरवलय (Hyperbola) को दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ है।
दोनों पक्षों को $x^{2} dx$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^{2} \cos x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{2}{x}$ और $Q = x^{2} \cos x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = e^{\ln |x^{-2}|} = \frac{1}{x^{2}}$।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + c$ है।
मान रखने पर:
$y \cdot \frac{1}{x^{2}} = \int (x^{2} \cos x) \cdot \frac{1}{x^{2}} dx + c$।
$\frac{y}{x^{2}} = \int \cos x dx + c$।
$\frac{y}{x^{2}} = \sin x + c$।
$x^{2}$ से गुणा करने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है:
$y = x^{2} \sin x + cx^{2}$।

(D) माना $\vec{AB} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{AC} = \hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$ है।
माना $M$,भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका को सदिश $\vec{AM}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।
$\triangle ABC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$A$ के सापेक्ष $BC$ के मध्य-बिंदु $M$ का स्थिति सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ सदिशों के औसत द्वारा दिया जाता है:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}))$
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})$
$\vec{AM} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
माध्यिका की लंबाई सदिश $\vec{AM}$ का परिमाण है:
$|\vec{AM}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (3)^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{1 + 4 + 9}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{14}$

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|a-b|^2 = (a-b) \cdot (a-b) = |a|^2 - 2(a \cdot b) + |b|^2$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,इसलिए $|a-b|^2 = 1^2 - 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 2 - 2 \cos \theta$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $|a-b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|a-b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{|a-b|}{2}$।

(NONE) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त यह है कि घटकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \\ \lambda & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(1(2) - (-1)(-1)) - 3(2(2) - (-1)(\lambda)) + 4(2(-1) - 1(\lambda)) = 0$
$2(2 - 1) - 3(4 + \lambda) + 4(-2 - \lambda) = 0$
$2(1) - 12 - 3\lambda - 8 - 4\lambda = 0$
$2 - 12 - 8 - 7\lambda = 0$
$-18 - 7\lambda = 0$
$-7\lambda = 18$
$\lambda = -\frac{18}{7}$

(C) दिया गया है कि $|a+b|^{2}+|a \cdot b|^{2}=144$ और $|a|=6$ है।
यहाँ दिए गए समीकरण को $|a|^{2}|b|^{2} = 144$ के रूप में मानते हुए,
$|6|^{2}|b|^{2} = 144$.
$36|b|^{2} = 144$.
$|b|^{2} = \frac{144}{36} = 4$.
अतः,$|b| = 2$.

(B) माना दिया गया बिंदु $A(1, 2, -4)$ है और रेखा $\frac{x-3}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z+5}{6} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda+3, 3\lambda+3, 6\lambda-5)$ है।
रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(2\lambda+3-1, 3\lambda+3-2, 6\lambda-5-(-4))$ अर्थात $(2\lambda+2, 3\lambda+1, 6\lambda-1)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा (दिक अनुपात $2, 3, 6$) पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda+2) + 3(3\lambda+1) + 6(6\lambda-1) = 0$
$4\lambda + 4 + 9\lambda + 3 + 36\lambda - 6 = 0$
$49\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{49}$.
दूरी $AP$ का वर्ग $AP^2 = (2\lambda+2)^2 + (3\lambda+1)^2 + (6\lambda-1)^2$ है।
$\lambda = -\frac{1}{49}$ रखने पर:
$AP^2 = 49\lambda^2 + 2\lambda + 6 = 49(-\frac{1}{49})^2 + 2(-\frac{1}{49}) + 6$
$AP^2 = \frac{1}{49} - \frac{2}{49} + 6 = 6 - \frac{1}{49} = \frac{294-1}{49} = \frac{293}{49}$.
अतः,$AP = \sqrt{\frac{293}{49}} = \frac{\sqrt{293}}{7}$.

(D) दी गई रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
दिया गया समतल $2x - 2y + z = 5$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
माना $\theta$ रेखा और समतल के बीच का कोण है। कोण की ज्या $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\sin \theta = \left| \frac{3}{(5\sqrt{2})(3)} \right| = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{5\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(A) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l, m, n$ हैं। दिया गया है कि रेखा $X$ और $Y$-अक्षों के साथ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है,इसलिए $l = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $m = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + n^2 = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} + n^2 = 1$ $\Rightarrow n^2 = \frac{1}{2}$.
अतः,$n = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$Z$-अक्ष के साथ न्यून कोण $\gamma$ के लिए,$\cos \gamma = |n| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\gamma = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$।

(B) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है।
यदि $z$ का न्यूनतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होता है,तो इन बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(3, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर:
$p(3) + q(0) = p(1) + q(1)$
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$

(D) दिया गया है,$z=11x+7y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु रेखाओं और अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
$1$. $x+y=5$ और $x+3y=9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x+3y)-(x+y) = 9-5 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$. $y=2$ को $x+y=5$ में रखने पर $x=3$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $B$ $(3,2)$ है।
$2$. $x+3y=9$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,3)$ है। अतः,बिंदु $A$ $(0,3)$ है।
$3$. $x+y=5$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,5)$ है। अतः,बिंदु $C$ $(0,5)$ है।
अब,इन कोणीय बिंदुओं पर $z=11x+7y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(0,3)$ पर: $z = 11(0) + 7(3) = 21$.
$B(3,2)$ पर: $z = 11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$.
$C(0,5)$ पर: $z = 11(0) + 7(5) = 35$.
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $47$ है,जो $(3,2)$ पर प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$n=10$.
एक पासे को फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
विषम संख्या न प्राप्त करने की प्रायिकता,$q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि विषम संख्या कम से कम एक बार आए,जो $P(X \geq 1)$ है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
द्विपद बंटन सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X=0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.