KCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x^2-1, & 0 < x < 2 \\ 2x+3, & 2 \leq x < 3 \end{cases}$।
सबसे पहले,$x=2$ पर बायां सीमा (left-hand limit) ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (x^2-1) = 2^2 - 1 = 3$।
इसके बाद,$x=2$ पर दायां सीमा (right-hand limit) ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (2x+3) = 2(2) + 3 = 7$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $\alpha = 3$ और $\beta = 7$ हैं।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \times \beta) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - (3 + 7)x + (3 \times 7) = 0$।
अतः,समीकरण $x^2 - 10x + 21 = 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3x + i(4x - y) = 6 - i$
$LHS$ और $RHS$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x = 6$ और $4x - y = -1$
$3x = 6$ से,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ को समीकरण $4x - y = -1$ में रखने पर:
$4(2) - y = -1$
$8 - y = -1$
$y = 8 + 1 = 9$
अतः,$x = 2$ और $y = 9$ प्राप्त होते हैं।

(B) $MASK$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, K, M, S$ है।
कुल क्रमचयों की संख्या $4! = 24$ है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द ($1$ से $6$)।
$K$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द ($7$ से $12$)।
$M$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द ($13$ से $18$)।
$S$ से शुरू होने वाले शब्द:
$SAKM$ ($19$ वां शब्द),
$SAMK$ ($20$ वां शब्द),
$SKAM$ ($21$ वां शब्द),
$SKMA$ ($22$ वां शब्द),
$SMAK$ ($23$ वां शब्द),
$SMKA$ ($24$ वां शब्द)।
अतः,$19$ वां शब्द $SAKM$ है।

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
हमें $\frac{a_3}{a_1} = 25$ दिया गया है।
चूँकि $a_n = ar^{n-1}$,इसलिए $a_3 = ar^2$ और $a_1 = a$ होगा।
अतः,$\frac{ar^2}{a} = 25$,जिसका अर्थ है $r^2 = 25$।
हमें $\frac{a_9}{a_5}$ का मान ज्ञात करना है।
$n$-वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a_9}{a_5} = \frac{ar^8}{ar^4} = r^4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r^2 = 25$,इसलिए $r^4 = (r^2)^2 = (25)^2 = (5^2)^2 = 5^4$ होगा।

(C) रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए सूत्र: $\text{डिग्री} = \text{रेडियन} \times \frac{180^{\circ}}{\pi}$.
दिया गया कोण $\frac{\pi}{32}$ रेडियन है।
$\text{डिग्री माप} = \frac{\pi}{32} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180}{32}^{\circ} = \frac{45}{8}^{\circ} = 5 \frac{5}{8}^{\circ}$.
अब,भिन्नात्मक भाग को मिनट में बदलने पर: $5^{\circ} + (\frac{5}{8} \times 60)^{\prime} = 5^{\circ} + (\frac{300}{8})^{\prime} = 5^{\circ} + 37.5^{\prime} = 5^{\circ} 37^{\prime} + 0.5^{\prime}$.
शेष भिन्नात्मक भाग को सेकंड में बदलने पर: $0.5^{\prime} = (0.5 \times 60)^{\prime \prime} = 30^{\prime \prime}$.
अतः,अंतिम माप $5^{\circ} 37^{\prime} 30^{\prime \prime}$ है।

(D) दिया गया फलन $y = \tan x$ है।
$II$ चतुर्थांश में,कोण $x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ से $\pi$ के बीच होता है।
जैसे-जैसे $x$,$\frac{\pi}{2}^+$ की ओर बढ़ता है,$\tan x$ का मान $-\infty$ की ओर जाता है।
जैसे-जैसे $x$,$\pi^-$ की ओर बढ़ता है,$\tan x$ का मान $0$ की ओर जाता है।
चूंकि फलन का मान $-\infty$ से $0$ की ओर बढ़ता है,इसलिए $II$ चतुर्थांश में $y = \tan x$,$-\infty$ से $0$ तक बढ़ता है।

(D) दिया गया व्यंजक $\sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$ है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करते हैं।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} [2 \sin \frac{5 \pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{5 \pi}{12} - \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{5 \pi}{12} + \frac{\pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{4 \pi}{12}) - \cos(\frac{6 \pi}{12})]$
$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{2})]$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - 0] = \frac{1}{4}$.

(B) माना $y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 8 \theta}}}$.
हम जानते हैं कि $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$.
इस सर्वसमिका का उपयोग करके,हम व्यंजक को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1 + \cos 8 \theta)}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 4 \theta)}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 4 \theta}}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2(1 + \cos 4 \theta)}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{2(2 \cos^2 2 \theta)}}$
$y = \sqrt{2+\sqrt{4 \cos^2 2 \theta}}$
$y = \sqrt{2+2 \cos 2 \theta}$
$y = \sqrt{2(1 + \cos 2 \theta)}$
$y = \sqrt{2(2 \cos^2 \theta)}$
$y = \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta$.

(B) $(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ है।
दी गई रेखा $2x - 3y + 17 = 0$ है,जिसे $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_2 = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं परस्पर लंब हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \cdot m_2 = -1$.
मान रखने पर,$\left(\frac{\beta - 17}{8}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(A) माना $L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3+y^3}-\sqrt{3}}{y^3}$
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{y}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{3+y^3}-\sqrt{3})}{y^3} \times \frac{(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}{(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}$
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{3+y^3-3}{y^3(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}$
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^3}{y^3(\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3})}$
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{3+y^3}+\sqrt{3}}$
$y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{1}{\sqrt{3+0}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(D) दी गई संख्याएँ $-1, 0, 1, k$ हैं।
मानक विचलन,$\sigma = \sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ होता है।
यहाँ,$n = 4$ है।
$\sigma^2 = 5 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2}{4} - \left(\frac{-1 + 0 + 1 + k}{4}\right)^2$।
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \left(\frac{k}{4}\right)^2$।
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$।
पूरे समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$।
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$।
$72 = 3k^2$।
$k^2 = 24$।
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$।

(A) दिया है,$n(A)=p, n(B)=q$ और $n(A \times B)=7$.
चूंकि,$n(A \times B)=n(A) \times n(B)$,इसलिए $p \times q = 7$.
चूंकि $p$ और $q$ समुच्चयों में अवयवों की संख्या हैं,इसलिए वे धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए। $7$ के गुणनखंड $1$ और $7$ हैं।
अतः,$(p, q)$ के लिए संभावित मान $(7, 1)$ या $(1, 7)$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में,$p^2+q^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.

(A) दिया गया है,$A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$।
$A$ में विषम संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ है।
$S$ में अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n = 2^5 = 32$ है।
चूंकि प्रश्न में केवल विषम संख्याओं वाले उपसमुच्चय पूछे गए हैं,इसलिए हम रिक्त समुच्चय को घटा देंगे।
अतः,अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ है।

(D) दिया गया संबंध $3 a+2 b=27$ है जहाँ $a, b \in N$ (प्राकृत संख्याएँ)।
$2 b = 27 - 3 a$
$b = \frac{3(9 - a)}{2}$
चूँकि $b$ एक प्राकृत संख्या होनी चाहिए,इसलिए $3(9 - a)$ सम और धनात्मक होना चाहिए।
$a = 1$ के लिए,$b = 12$।
$a = 3$ के लिए,$b = 9$।
$a = 5$ के लिए,$b = 6$।
$a = 7$ के लिए,$b = 3$।
$a = 9$ के लिए,$b = 0$ (जो प्राकृत संख्या नहीं है)।
अतः,$R = \{(1, 12), (3, 9), (5, 6), (7, 3)\}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$। ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$।
हम आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं। चूँकि $I$ और $A$ क्रमविनिमेय हैं $(IA = AI = A)$,हमारे पास है:
$(aI + bA)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (aI)^{n-k} (bA)^k$।
चूँकि सभी $k \ge 2$ के लिए $A^k = O$ है,केवल $k=0$ और $k=1$ वाले पद ही अशून्य होंगे:
$(aI + bA)^n = \binom{n}{0} (aI)^n (bA)^0 + \binom{n}{1} (aI)^{n-1} (bA)^1$।
$(aI + bA)^n = 1 \cdot a^n I \cdot I + n \cdot a^{n-1} I \cdot bA$।
$(aI + bA)^n = a^n I + n a^{n-1} b A$।

(D) दिया गया है,$A^T = -A$.
माना $P = A^{2021}$.
तब,$P^T = (A^{2021})^T = (A^T)^{2021}$.
$A^T = -A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $P^T = (-A)^{2021} = (-1)^{2021} A^{2021}$.
चूंकि $2021$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2021} = -1$.
अतः,$P^T = -A^{2021} = -P$.
चूंकि $P^T = -P$,इसलिए $A^{2021}$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,अतः $n = 3$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $n \times n$ आव्यूह $M$ के लिए,$|kM| = k^n |M|$ होता है।
इस गुणधर्म को $|5 \times \text{adj}(A)| = 5$ पर लागू करने पर,हमें $5^3 |\text{adj}(A)| = 5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|\text{adj}(A)| = \frac{5}{5^3} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n = 3$ के लिए,$|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होता है।
$|\text{adj}(A)|$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $|A|^2 = \frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|A| = \pm \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,आव्यूह की घात का व्युत्क्रम $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ द्वारा दिया जाता है।
इस गुणधर्म को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:
$(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$.
अतः,सही विकल्प $(A^{-1})^2$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ व्युत्क्रमणीय है।
अब,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूँकि $A^2 = I$,हम $A^3$ ज्ञात कर सकते हैं:
$A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$.
हमें $A^3$ का व्युत्क्रम $(A^3)^{-1}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A^3 = A$,इसलिए $(A^3)^{-1} = A^{-1}$ होगा।
$A^2 = I$ से,हम जानते हैं कि $A \cdot A = I$,जिसका अर्थ है कि $A^{-1} = A$.
अतः,$(A^3)^{-1} = A$.

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5 \\ 2 & a & -1 \\ 0 & 4 & 2a\end{array}\right|=86$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(a(2a) - (-1)(4)) - (-2)(2(2a) - (-1)(0)) + 5(2(4) - a(0)) = 86$
$1(2a^2 + 4) + 2(4a) + 5(8) = 86$
$2a^2 + 4 + 8a + 40 = 86$
$2a^2 + 8a + 44 = 86$
$2a^2 + 8a - 42 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$a^2 + 4a - 21 = 0$
यह $Aa^2 + Ba + C = 0$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है। मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$A=1$ और $B=4$ है,इसलिए '$a$' के मानों का योग $-\frac{4}{1} = -4$ है।

(B) त्रिभुज के दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (-2, 6)$,$(x_2, y_2) = (3, -6)$ और $(x_3, y_3) = (1, 5)$ हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र सारणिक (determinant) के रूप में इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-6 - 5) + 3(5 - 6) + 1(6 - (-6))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-11) + 3(-1) + 1(12)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |22 - 3 + 12|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |31| = 15.5 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) दिया गया है,$A_n = \begin{bmatrix} 1-n & n \\ n & 1-n \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A_n|$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|A_n| = (1-n)(1-n) - (n)(n)$
$|A_n| = 1 - 2n + n^2 - n^2 = 1 - 2n$.
अब,हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2021} |A_n| = \sum_{n=1}^{2021} (1 - 2n)$ ज्ञात करना है।
इसे इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:
$S = (1-2) + (1-4) + (1-6) + \dots + (1 - 2 \times 2021)$
$S = (1 + 1 + \dots + 1) - 2(1 + 2 + 3 + \dots + 2021)$
यहाँ $1$ के $2021$ पद हैं,इसलिए पहला भाग $2021$ है।
दूसरा भाग एक समांतर श्रेणी का योग है: $2 \times \frac{2021(2021+1)}{2} = 2021 \times 2022$.
अतः,$S = 2021 - 2021 \times 2022$.
$S = 2021(1 - 2022) = 2021(-2021) = -(2021)^2$.

(D) फलन $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1-x)} + \sqrt{x+2}$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. वर्गमूल के अंदर की संख्या गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए: $x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. हर शून्य नहीं हो सकता: $\log_{10}(1-x) \neq 0 \implies 1 - x \neq 10^0 \implies 1 - x \neq 1 \implies x \neq 0$.
इन शर्तों को मिलाने पर: $x \geq -2$,$x < 1$,और $x \neq 0$.
अतः,प्रांत $x \in [-2, 0) \cup (0, 1)$ है।

(D) फलन $f(x) = \cos^{-1}[x]$ के रूप में परिभाषित है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(u)$ का प्रांत $u \in [-1, 1]$ होता है।
अतः,$\cos^{-1}[x]$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \leq [x] \leq 1$ होना चाहिए।
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,$[x]$ के संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।
यदि $[x] = -1$,तो $-1 \leq x < 0$ होगा।
यदि $[x] = 0$,तो $0 \leq x < 1$ होगा।
यदि $[x] = 1$,तो $1 \leq x < 2$ होगा।
इन अंतरालों को मिलाने पर,हमें $-1 \leq x < 2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in [-1, 2)$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 2x & : x > 3 \\ x^2 & : 1 < x \leq 3 \\ 3x & : x \leq 1 \end{cases}$ है।
$f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दी गई शर्तों के आधार पर प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $f(-1)$ के लिए,चूंकि $-1 \leq 1$,हम तीसरी शर्त का उपयोग करेंगे: $f(-1) = 3(-1) = -3$.
$2$. $f(2)$ के लिए,चूंकि $1 < 2 \leq 3$,हम दूसरी शर्त का उपयोग करेंगे: $f(2) = (2)^2 = 4$.
$3$. $f(4)$ के लिए,चूंकि $4 > 3$,हम पहली शर्त का उपयोग करेंगे: $f(4) = 2(4) = 8$.
इन मानों को जोड़ने पर: $f(-1) + f(2) + f(4) = -3 + 4 + 8 = 9$.

(A) दो समुच्चयों के बीच एकैकी-आच्छादक फलन (bijection) तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान हो।
चूंकि समुच्चय $x$ में $7$ अवयव हैं और समुच्चय $y$ में $8$ अवयव हैं,इसलिए उनकी संख्या समान नहीं है।
अतः,$x$ से $y$ तक कोई भी आच्छादक फलन परिभाषित करना असंभव है।
इसलिए,आच्छादक फलनों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया है,$x=e^{\theta} \sin \theta$ और $y=e^{\theta} \cos \theta$.
दोनों का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = e^{\theta} \sin \theta + e^{\theta} \cos \theta = e^{\theta}(\sin \theta + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = e^{\theta} \cos \theta - e^{\theta} \sin \theta = e^{\theta}(\cos \theta - \sin \theta)$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{e^{\theta}(\cos \theta - \sin \theta)}{e^{\theta}(\cos \theta + \sin \theta)} = \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$.
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ प्राप्त होता है।
$(x, y) = (1, 1)$ बिंदु पर,$x = e^{\theta} \sin \theta = 1$ और $y = e^{\theta} \cos \theta = 1$.
इनका अनुपात लेने पर,$\frac{y}{x} = \frac{e^{\theta} \cos \theta}{e^{\theta} \sin \theta} = \cot \theta = 1$,अतः $\tan \theta = 1$.
$\tan \theta = 1$ का मान $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$.

(A) दिया गया है,$y = (1 + x^2) \tan^{-1} x - x$।
पहले पद के लिए गुणन नियम और शेष पदों के लिए घात नियम लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(1 + x^2) \tan^{-1} x] - \frac{d}{dx} (x)$
$\frac{dy}{dx} = [(1 + x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) + \tan^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)] - 1$
$\frac{dy}{dx} = [(1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} + \tan^{-1} x \cdot (2x)] - 1$
$\frac{dy}{dx} = [1 + 2x \tan^{-1} x] - 1$
$\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x$।

(C) दिया गया है,$y=x^{\sin x}+(\sin x)^x$।
मान लीजिए $u=x^{\sin x}$ और $v=(\sin x)^x$।
तब $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$।
$u=x^{\sin x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \sin x \log x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \sin x \cdot \frac{1}{x} + \cos x \log x$।
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x \right)$।
$v=(\sin x)^x$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log(\sin x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \log(\sin x) = x \cot x + \log(\sin x)$।
अतः,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (x \cot x + \log(\sin x))$।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर:
$\frac{du}{dx} = (\frac{\pi}{2})^{\sin(\pi/2)} (\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} + \cos(\pi/2) \log(\pi/2)) = (\frac{\pi}{2})^1 (\frac{1}{\pi/2} + 0) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{\pi} = 1$।
$\frac{dv}{dx} = (\sin(\pi/2))^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} \cot(\pi/2) + \log(\sin(\pi/2))) = (1)^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} \cdot 0 + \log(1)) = 1 \cdot (0 + 0) = 0$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = 1 + 0 = 1$।

(A) दिया गया है,$y=e^{\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}}, x>1$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log _e y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}} \log _e e = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}$.
चूंकि वर्गमूल के नीचे का व्यंजक दोहराया जा रहा है,हम लिख सकते हैं:
$\log _e y = \sqrt{x \log _e y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\log _e y)^2 = x \log _e y$.
$\log _e y$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x>1$,$y>1$,इसलिए $\log _e y \neq 0$):
$\log _e y = x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 \implies \frac{d y}{d x} = y$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} = y$.
$x = \log _e 3$ पर,हमारे पास $\log _e y = \log _e 3$ है,जिसका अर्थ है $y = 3$.
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = y = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $e^y + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,$e^y + 0 = e \Rightarrow e^y = e \Rightarrow y = 1$।
$e^y + xy = e$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}$।
$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^1 + 0} = -\frac{1}{e}$।
अब,$\frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + \frac{dy}{dx} (e^y \frac{dy}{dx} + 1) = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{dx} = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$।
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e + 0) + e \left(-\frac{1}{e}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{e}\right) = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left(\frac{1}{e^2}\right) - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
अतः,क्रमित युग्म $\left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2}\right)$ है।

(B) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$.
$x = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1) \cdot f^{\prime}(1)$.
दिया गया है कि $f(1) = 1$ और $f^{\prime}(1) = 3$:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot 3 + 2(1)(3)$.
चूंकि $f(1) = 1$,इसलिए $f(f(1)) = f(1) = 1$.
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot 3 + 6$.
$f^{\prime}(1) = 3$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण $\sqrt{x}+\sqrt{y}=6$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$.
चूँकि स्पर्श रेखा अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसकी ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए।
अतः,$-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \pm 1$,जिससे $\sqrt{y} = \pm \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए $\sqrt{y} = \sqrt{x}$,जिसका अर्थ है $y = x$.
$y = x$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} = 6
2\sqrt{x} = 6
\sqrt{x} = 3
x = 9$.
चूँकि $y = x$,इसलिए $y = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(9, 9)$ है।

(C) दिया गया है,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
फलन के परिभाषित होने के लिए,$1+x > 0$ होना चाहिए,अर्थात $x > -1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{(2+x)(1) - x(1)}{(2+x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{2+x-x}{(2+x)^2} \right] = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+x^2+4x-4-4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $(2+x)^2 > 0$ सभी $x > -1$ के लिए है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ का चिह्न $\frac{1}{1+x}$ पर निर्भर करता है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$ होना चाहिए।
$x > -1$ के लिए $1+x > 0$ होता है,अतः $x \in (-1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $(-1, \infty)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया है,$f(x)=4 \sin ^3 x-6 \sin ^2 x+12 \sin x+100$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12 \sin^2 x \cos x - 12 \sin x \cos x + 12 \cos x$.
$12 \cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = 12 \cos x (\sin^2 x - \sin x + 1)$.
द्विघात व्यंजक $g(t) = t^2 - t + 1$ पर विचार करें जहाँ $t = \sin x$ है।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ है।
चूँकि $t^2$ का गुणांक धनात्मक है और $D < 0$ है,इसलिए $\sin^2 x - \sin x + 1$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सदैव धनात्मक है।
अतः,$f'(x)$ का चिह्न केवल $\cos x$ पर निर्भर करता है।
जब $\cos x > 0$ होता है,तब $f'(x) > 0$ होता है,जो $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में होता है।
जब $\cos x < 0$ होता है,तब $f'(x) < 0$ होता है,जो $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में होता है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = \int \frac{2\cos^2 x - 2\cos^2 \alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int \frac{(\cos x - \cos \alpha)(\cos x + \cos \alpha)}{\cos x - \cos \alpha} dx$
$I = 2 \int (\cos x + \cos \alpha) dx$
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = 2(\sin x + x \cos \alpha) + c$

(A) दिया गया है,$\int \frac{d x}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=a \log \left|1+x^2\right|+b \tan ^{-1} x+\frac{1}{5} \log |x+2|+c$.
माना $\frac{1}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B x+C}{\left(x^2+1\right)}$.
तब $1=A(x^2+1)+(x+2)(Bx+C) = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C)$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B=0$,$2B+C=0$,और $A+2C=1$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,$A=\frac{1}{5}$,$B=-\frac{1}{5}$,और $C=\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int \frac{d x}{(x+2)\left(x^2+1\right)} = \int \left( \frac{1}{5(x+2)} - \frac{x}{5(x^2+1)} + \frac{2}{5(x^2+1)} \right) dx$.
$= \frac{1}{5} \log |x+2| - \frac{1}{10} \log |x^2+1| + \frac{2}{5} \tan^{-1} x + c$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$a=-\frac{1}{10}$ और $b=\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\sin \theta} \cos^3 \theta d \theta$.
प्रतिस्थापन: $\sin \theta = t$,तब $\cos \theta d \theta = dt$.
जब $\theta = 0$,तब $t = 0$. जब $\theta = \frac{\pi}{2}$,तब $t = 1$.
यहाँ $\cos^3 \theta d \theta = \cos^2 \theta (\cos \theta d \theta) = (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta d \theta = (1 - t^2) dt$.
अतः,$I = \int_0^1 \sqrt{t} (1 - t^2) dt = \int_0^1 (t^{1/2} - t^{5/2}) dt$.
समाकलन करने पर: $I = \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{7/2}}{7/2} \right]_0^1$.
$I = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{7} t^{7/2} \right]_0^1$.
$I = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{7} \right) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x \sin x}{1+\sin x} d x$.
हम अंश को $\cos x(1+\sin x - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
तब,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x(1+\sin x) - \cos x}{1+\sin x} d x$.
यह सरल होकर $I = \int_0^{\pi / 2} \cos x d x - \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x} d x$ हो जाता है।
प्रथम समाकलन का मान: $\int_0^{\pi / 2} \cos x d x = [\sin x]_0^{\pi / 2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
दूसरे समाकलन के लिए,माना $t = 1 + \sin x$,तो $dt = \cos x dx$.
जब $x = 0, t = 1$; जब $x = \pi/2, t = 2$.
अतः,$\int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\sin x} d x = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\log |t|]_1^2 = \log 2 - \log 1 = \log 2$.
इसलिए,$I = 1 - \log 2$.

(A) माना $I = \int_0^8 [x] dx$ है।
चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह $[n, n+1)$ अंतरालों पर अचर पूर्णांक मान लेता है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx + \int_3^4 3 dx + \int_4^5 4 dx + \int_5^6 5 dx + \int_6^7 6 dx + \int_7^8 7 dx$।
प्रत्येक समाकलन का मान निकालने पर:
$I = 0 + 1(2-1) + 2(3-2) + 3(4-3) + 4(5-4) + 5(6-5) + 6(7-6) + 7(8-7)$।
$I = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7$।
$I = \frac{7(7+1)}{2} = \frac{7 \times 8}{2} = 28$।

(D) हम निश्चित समाकल की परिभाषा का योगफल की सीमा के रूप में उपयोग करते हैं: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{h \to 0} h \sum_{r=0}^{n-1} f(a+rh)$,जहाँ $nh = b-a$.
यहाँ,$a=2$,$b=3$,और $f(x)=x^2$ है। अतः,$nh = 3-2 = 1$.
$I = \lim_{h \to 0} h \sum_{r=0}^{n-1} (2+rh)^2 = \lim_{h \to 0} h \sum_{r=0}^{n-1} (4 + 4rh + r^2h^2)$.
$I = \lim_{h \to 0} [4nh + 4h^2 \sum_{r=0}^{n-1} r + h^3 \sum_{r=0}^{n-1} r^2]$.
सूत्रों $\sum_{r=0}^{n-1} r = \frac{(n-1)n}{2}$ और $\sum_{r=0}^{n-1} r^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$I = \lim_{h \to 0} [4nh + 4h^2 \frac{(n-1)n}{2} + h^3 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}]$.
चूँकि $nh=1$,हमें प्राप्त होता है $I = \lim_{h \to 0} [4(1) + 2(nh-h)(nh) + \frac{(nh-h)(nh)(2nh-h)}{6}]$.
$nh=1$ और $h \to 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 4 + 2(1)(1) + \frac{(1)(1)(2)}{6} = 4 + 2 + \frac{1}{3} = 6 + \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$.

(D) $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{(2+x)^3} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिखते हैं:
$\frac{x}{(2+x)^3} = \frac{(x+2)-2}{(2+x)^3} = \frac{1}{(2+x)^2} - \frac{2}{(2+x)^3}$.
माना $f(x) = \frac{1}{(2+x)^2}$. तब $f'(x) = -2(2+x)^{-3} = -\frac{2}{(2+x)^3}$.
अतः,समाकलन $\int_0^1 e^x [f(x) + f'(x)] d x$ बन जाता है।
मानक परिणाम $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = [e^x \cdot \frac{1}{(2+x)^2}]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = (e^1 \cdot \frac{1}{(2+1)^2}) - (e^0 \cdot \frac{1}{(2+0)^2}) = \frac{e}{9} - \frac{1}{4}$.

(B) अभीष्ट क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{3}$ तक फलन $y = \tan x$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_0^{\pi / 3} \tan x \, dx$
हम जानते हैं कि $\tan x$ का समाकलन $\log |\sec x|$ होता है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = [\log |\sec x|]_0^{\pi / 3}$
अब,सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \log |\sec \frac{\pi}{3}| - \log |\sec 0|$
चूंकि $\sec \frac{\pi}{3} = 2$ और $\sec 0 = 1$ है:
$= \log |2| - \log |1|$
$= \log 2 - 0 = \log 2 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y_1^2)^{2/3} = y_2$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$((1+y_1^2)^{2/3})^3 = (y_2)^3$
$(1+y_1^2)^2 = y_2^3$.
यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $y_2$ है,जो द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ को दर्शाता है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण करणी और भिन्नों से मुक्त हो।
$y_2$ की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
घात और कोटि का योग $2 + 3 = 5$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = (x+y)^2$ $(i)$
माना $x+y = t$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = t^2$
$\frac{dt}{dx} = t^2 + 1$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dt}{t^2 + 1} = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \int dx$
$\tan^{-1}(t) = x + C$
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$\tan^{-1}(x+y) = x + C$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ द्वारा प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + C$ है।
मान रखने पर,$y \cdot x = \int x^2 \cdot x dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$।
अब,$y(2) = \frac{2^3}{4} + \frac{C}{2} = 2 + \frac{C}{2}$।
और $y(1) = \frac{1^3}{4} + \frac{C}{1} = \frac{1}{4} + C$।
$2y(2) - y(1) = 2(2 + \frac{C}{2}) - (\frac{1}{4} + C) = 4 + C - \frac{1}{4} - C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$.
$x \log x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 2$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = 2$.
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ है।
$y \log x = \int 2 \log x dx + C$.
$y \log x = 2(x \log x - x) + C$.
$x = e$ रखने पर:
$y(e) \log e = 2(e \log e - e) + C$.
$y(e) = 2(e - e) + C = C$.
अतः,$y(e) = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\alpha=\hat{i}-3 \hat{j}$ और $\beta=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$।
चूंकि $\beta_1$,$\alpha$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\beta_1 = \lambda \alpha = \lambda(\hat{i}-3 \hat{j}) = \lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}$।
हमारे पास $\beta = \beta_1 + \beta_2$ है,इसलिए $\beta_2 = \beta - \beta_1 = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) - (\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}$।
चूंकि $\beta_2$,$\alpha$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\beta_2 \cdot \alpha = 0$।
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j}) = 0$।
$(1-\lambda)(1) + (2+3\lambda)(-3) + (-1)(0) = 0$।
$1 - \lambda - 6 - 9\lambda = 0$।
$-5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\beta_1 = -\frac{1}{2}(\hat{i} - 3\hat{j}) = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प गणना किए गए परिणाम से मेल नहीं खाता है।

(NONE) हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $|a|=2$,$|b|=3$,और $\theta = 120^{\circ}$।
$a \cdot b = (2)(3) \cos 120^{\circ} = 6 \times (-1/2) = -3$।
अब,हमें $\left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$ का परिमाण ज्ञात करना है।
माना $X = \left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$। तब $X^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)$।
$X^2 = \frac{1}{4}|a|^2 + \frac{1}{9}|b|^2 - 2 \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) (a \cdot b)$।
$X^2 = \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{9}(9) - \frac{1}{3}(-3)$।
$X^2 = 1 + 1 + 1 = 3$।
अतः,$X = \sqrt{3}$।

(D) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$ होती है।
दिया गया है कि $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 36$ और $|a| = 3$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$|a|^2 |b|^2 = 36$
$(3)^2 |b|^2 = 36$
$9 |b|^2 = 36$
$|b|^2 = \frac{36}{9} = 4$
$|b| = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$|b|$ का मान $2$ है।

(A) आठ अष्टांशों में निर्देशांकों $(x, y, z)$ के चिह्न नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं:
| अष्टांश | $I$ | $II$ | $III$ | $IV$ | $V$ | $VI$ | $VII$ | $VIII$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $z$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
दिए गए बिंदु $(2, -4, -7)$ के लिए,हमारे पास है:
$x = 2$ (धनात्मक,$+$)
$y = -4$ (ऋणात्मक,$-$)
$z = -7$ (ऋणात्मक,$-$)
तालिका को देखने पर,वह अष्टांश जिसमें $x$ धनात्मक,$y$ ऋणात्मक और $z$ ऋणात्मक है,वह $VIII$ अष्टांश है।

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = \langle 3, 5, 4 \rangle$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = \langle 1, 4, 2 \rangle$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $\langle a_1, b_1, c_1 \rangle$ और $\langle a_2, b_2, c_2 \rangle$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(1) + (5)(4) + (4)(2)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3 + 20 + 8}{\sqrt{9 + 25 + 16} \sqrt{1 + 16 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{31}{\sqrt{50} \sqrt{21}} \right| = \frac{31}{5 \sqrt{2} \sqrt{21}} = \frac{31}{5 \sqrt{42}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{31}{5 \sqrt{42}} \right)$.
चूंकि यह मान दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है कि समतल का समीकरण $2x - 3y + 4z = 29$ है।
चूंकि $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए $OP$ के दिक अनुपात समतल के अभिलंब सदिश के समान होंगे,जो $\langle 2, -3, 4 \rangle$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और $\langle 2, -3, 4 \rangle$ दिक अनुपात वाली रेखा $OP$ का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 0}{-3} = \frac{z - 0}{4} = \lambda$
अतः,रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के सामान्य निर्देशांक $(2\lambda, -3\lambda, 4\lambda)$ होंगे।
चूंकि बिंदु $P$ समतल $2x - 3y + 4z = 29$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda) - 3(-3\lambda) + 4(4\lambda) = 29$
$4\lambda + 9\lambda + 16\lambda = 29$
$29\lambda = 29$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = (2(1), -3(1), 4(1)) = (2, -3, 4)$।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(2, -3, 4)$ हैं।

(A) समतल का समीकरण $r \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})=4$ दिया गया है।
इसे मानक रूप $r \cdot n = d$ के साथ तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $n = \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $d = 4$ प्राप्त होता है।
बिंदु का स्थिति सदिश $a = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है।
समतल $r \cdot n = d$ से बिंदु $a$ की लंबवत दूरी $D$ का सूत्र $D = \frac{|a \cdot n - d|}{|n|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot n$ ज्ञात करें:
$a \cdot n = (2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}) = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$.
इसके बाद,अभिलंब सदिश का परिमाण $|n|$ ज्ञात करें:
$|n| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.
अब,इन मानों को दूरी के सूत्र में रखें:
$D = \frac{|-4 - 4|}{\sqrt{21}} = \frac{|-8|}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$.
अतः,दूरी $\frac{8}{\sqrt{21}}$ है।

(B) $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$(0,2)$ पर: $z = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3,0)$ पर: $z = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6,0)$ पर: $z = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6,8)$ पर: $z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$(0,5)$ पर: $z = 4(0) + 6(5) = 30$
चूंकि न्यूनतम मान $12$ दो कोणीय बिंदुओं $(0,2)$ और $(3,0)$ पर प्राप्त होता है,इसलिए $z$ का न्यूनतम मान इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होगा।
चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए $x$ और $y$ क्रमशः खाद्य $X$ और $Y$ के पैकेटों की संख्या हैं। बाधाएं इस प्रकार हैं:
$12x + 3y \geq 240 \Rightarrow 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \Rightarrow x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \Rightarrow 3x + 2y \leq 150$
$x \geq 0, y \geq 0$
कोणीय बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $4x + y = 80$ और $x + 5y = 115$ का प्रतिच्छेदन: हल करने पर,हमें $x = 15, y = 20$ प्राप्त होता है।
$2$. $4x + y = 80$ और $3x + 2y = 150$ का प्रतिच्छेदन: हल करने पर,हमें $x = 2, y = 72$ प्राप्त होता है।
$3$. $x + 5y = 115$ और $3x + 2y = 150$ का प्रतिच्छेदन: हल करने पर,हमें $x = 40, y = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(2,72), (40,15), (15,20)$ हैं।

(D) दिया गया है,$P(A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ और $P(A \mid B)=\frac{1}{4}$.
प्रतिबंधी प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर,$\frac{1}{4} = \frac{P(A \cap B)}{1/2}$.
अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
इस प्रकार,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.

(B) दिया गया है,$P(\bar{A})=0.75$,$P(A \cup B)=0.65$ और $P(B)=x$.
सबसे पहले,$P(A)$ ज्ञात करें: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.25x$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$0.65 = 0.25 + x - 0.25x$.
$0.65 - 0.25 = x(1 - 0.25)$.
$0.40 = 0.75x$.
$x = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(A) माना घटना $E_1$ लॉकडाउन होने की घटना है और $E_2$ लॉकडाउन न होने की घटना है। माना $A$ वह घटना है जिसमें महामारी एक महीने में नियंत्रित हो जाती है।
दी गई प्रायिकताएं हैं:
$P(E_1) = 0.7$
$P(E_2) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(A \mid E_1) = 0.8$
$P(A \mid E_2) = 0.3$
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(A) = P(E_1) \times P(A \mid E_1) + P(E_2) \times P(A \mid E_2)$
$P(A) = (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.3)$
$P(A) = 0.56 + 0.09 = 0.65$
अतः,महामारी के एक महीने में नियंत्रित होने की प्रायिकता $0.65$ है।

(A) दिया गया है कि तीन सिक्के उछाले जाते हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH\}$
अतः,$n(S) = 8$ है।
माना $X$ चित्तों की संख्या को दर्शाता है।
तब $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
$X$ का प्रायिकता बंटन है:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $1/8$ | $3/8$ | $3/8$ | $1/8$ |
माध्य $\mu$ को $\Sigma X_i P(X_i)$ द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\mu = 0 \times \left(\frac{1}{8}\right) + 1 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 2 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 3 \times \left(\frac{1}{8}\right)$
$\mu = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$\mu = \frac{12}{8} = 1.5$