KCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है,$C(x) = 20x + 4000$ और $R(x) = 60x + 2000$।
लाभ अर्जित करने के लिए,राजस्व लागत से अधिक होना चाहिए,अर्थात $R(x) - C(x) > 0$।
दिए गए फलनों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(60x + 2000) - (20x + 4000) > 0$
$60x + 2000 - 20x - 4000 > 0$
$40x - 2000 > 0$
$40x > 2000$
$x > \frac{2000}{40}$
$x > 50$।
अतः,लाभ अर्जित करने के लिए वस्तुओं की संख्या $x$ का मान $50$ से अधिक होना चाहिए।

(D) दिया है,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{x}=1$
आधार का परिमेयकरण करने पर:
$\left[\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}\right]^{x}=1$
चूँकि $i^2 = -1$:
$\left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^{x}=1$
$\left[\frac{2i}{2}\right]^{x}=1$
$i^x = 1$
हम जानते हैं कि $i^k = 1$ तभी होता है जब $k$,$4$ का गुणज हो।
अतः,$x = 4n$ जहाँ $n \in N$।

(C) दिया गया है,भाग $A$ में कुल प्रश्न $= 6$ और भाग $B$ में कुल प्रश्न $= 7$ हैं।
प्रत्येक भाग से कम से कम $4$ प्रश्न चुनकर $10$ प्रश्न चुनने के संभावित संयोजन हैं:
$1$. भाग $A$ से $4$ और भाग $B$ से $6$
$2$. भाग $A$ से $5$ और भाग $B$ से $5$
$3$. भाग $A$ से $6$ और भाग $B$ से $4$
कुल तरीके $= ({ }^{6}C_{4} \times { }^{7}C_{6}) + ({ }^{6}C_{5} \times { }^{7}C_{5}) + ({ }^{6}C_{6} \times { }^{7}C_{4})$
$= (15 \times 7) + (6 \times 21) + (1 \times 35)$
$= 105 + 126 + 35 = 266$

(A) दिया गया है,पदों की संख्या $n = 51$ है।
चूंकि $n$ विषम है,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{n+1}{2}\right)$-वां पद होगा।
$\text{मध्य पद} = \left(\frac{51+1}{2}\right) = 26\text{-वां पद}$।
अतः,$T_{26} = a + 25d = 300$।
$AP$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ अंतिम पद है।
यहाँ,$l = T_{51} = a + 50d$।
$S_{51} = \frac{51}{2}(a + a + 50d) = \frac{51}{2}(2a + 50d) = 51(a + 25d)$।
$a + 25d = 300$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S_{51} = 51 \times 300 = 15300$।

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ}$
$\cos(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cos \theta$ और $\tan(n \times 360^{\circ} + \theta) = \tan \theta$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\cos 1200^{\circ} = \cos(3 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos 120^{\circ}$
$\tan 1485^{\circ} = \tan(4 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
अब,मान ज्ञात करने पर:
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
अतः,$\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(B) हमें दिया गया व्यंजक है: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$।
गुणधर्म $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,हम $46^{\circ}$ से $89^{\circ}$ तक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$
$\tan 88^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 2^{\circ}) = \cot 2^{\circ}$
$\dots$
$\tan 46^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 44^{\circ}) = \cot 44^{\circ}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \dots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$।
चूंकि $\tan \theta \cot \theta = 1$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए व्यंजक का मान:
$= 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times 1 = 1$ होगा।

(B) दिया गया बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (a \cos^{3} \theta, a \sin^{3} \theta)$.
दी गई रेखा: $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$.
दी गई रेखा को ढाल-अंतःखंड रूप में लिखने पर:
$y \operatorname{cosec} \theta = -x \sec \theta + a$
$y = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} x + a \sin \theta$.
अतः,ढाल $m_{1} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{1}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होगी।
अभीष्ट रेखा का समीकरण $(y - y_{1}) = m(x - x_{1})$ के अनुसार:
$y - a \sin^{3} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a \cos^{3} \theta)$
$y \sin \theta - a \sin^{4} \theta = x \cos \theta - a \cos^{4} \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{4} \theta - \sin^{4} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta) (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(C) दिया गया परवलय समीकरण: $y = \alpha x^{2} - 6x + \beta \dots (i)$
चूंकि परवलय बिंदु $(0, 2)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x = 0$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 = \alpha(0)^{2} - 6(0) + \beta \implies \beta = 2$
अब,समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\alpha x - 6$
$x = \frac{3}{2}$ पर स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{3}{2}$ पर ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x = 3/2} = 2\alpha \left(\frac{3}{2}\right) - 6 = 0$
$3\alpha - 6 = 0 \implies 3\alpha = 6 \implies \alpha = 2$
अतः,मान $\alpha = 2$ और $\beta = 2$ हैं।

(B) कथन $1$ के लिए:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a} = \frac{a(1)^{2}+b(1)+c}{c(1)^{2}+b(1)+a} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$.
चूँकि $a+b+c \neq 0$,सीमा $1$ है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए:
$\lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2} = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{2+x}{2x}}{x+2} = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{2+x}{2x(x+2)} = \lim _{x \rightarrow -2} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2(-2)} = -\frac{1}{4}$.
चूँकि $-\frac{1}{4} \neq \frac{1}{4}$,कथन $2$ असत्य है।

(C) दी गई संख्याएँ $31, 32, 33, \ldots, 47$ हैं।
प्रत्येक पद से $30$ घटाने पर,हमें $1, 2, 3, \ldots, 17$ अनुक्रम प्राप्त होता है।
जब प्रत्येक पद से एक स्थिरांक घटाया जाता है तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के मानक विचलन का सूत्र $SD = \sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$ है।
यहाँ,$n = 17$ है।
$SD = \sqrt{\frac{17^{2}-1}{12}} = \sqrt{\frac{289-1}{12}} = \sqrt{\frac{288}{12}}$.
$SD = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(D) दिया गया है,$n(A \times B) = 35$ और $B \subset A$ है।
चूंकि $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 35$,तो $35$ के संभावित गुणनखंड $(35, 1)$ या $(7, 5)$ हैं।
चूंकि $B \subset A$ और $A, B$ गैर-एकल समुच्चय हैं,इसलिए $n(A) > n(B) > 1$ होगा।
अतः,$n(A) = 7$ और $n(B) = 5$ है।
अब,${}^{n(A)}C_{n(B)} = {}^{7}C_{5}$ की गणना करते हैं।
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,${}^{7}C_{5} = {}^{7}C_{2}$ प्राप्त होता है।
${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ का क्षेत्रफल $\pi |ab|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ से,हम $a^{2} = 25$ और $b^{2} = \lambda^{2}$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$a = 5$ और $b = |\lambda|$ है।
क्षेत्रफल $20 \pi$ वर्ग इकाई दिया गया है।
क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखने पर: $\pi \times 5 \times |\lambda| = 20 \pi$.
दोनों पक्षों को $5 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $|\lambda| = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lambda = \pm 4$।

(B) एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
माना मध्य बिंदु $M_1 = (1, 5, -1)$,$M_2 = (0, 4, -2)$ और $M_3 = (2, 3, 4)$ हैं।
इन मध्य बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का केंद्रक $G(x, y, z)$ उनके निर्देशांकों के औसत द्वारा प्राप्त होता है:
$x = \frac{1 + 0 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{5 + 4 + 3}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$z = \frac{-1 - 2 + 4}{3} = \frac{1}{3}$
अतः,केंद्रक $(1, 4, 1/3)$ है।

(C) $1$. बिंदुओं $(0, 5)$ और $(4, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $l_1$ का विश्लेषण करें। अंतःखंड रूप में इस रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ है,जो सरल होकर $5x + 4y = 20$ हो जाता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र में मूल बिंदु $(0, 0)$ शामिल नहीं है,इसलिए असमिका $5x + 4y \geq 20$ है।
$2$. क्षैतिज रेखा $l_2$ का विश्लेषण करें। छायांकित क्षेत्र रेखा $y = 3$ के नीचे स्थित है,इसलिए असमिका $y \leq 3$ है।
$3$. ऊर्ध्वाधर रेखा $l_3$ का विश्लेषण करें। छायांकित क्षेत्र रेखा $x = 6$ के बाईं ओर स्थित है,इसलिए असमिका $x \leq 6$ है।
$4$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$5$. इन सबको मिलाने पर,असमिकाओं का निकाय $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया है,$P(A)=0.59, P(B)=0.30$ और $P(A \cap B)=0.21$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान रखने पर: $P(A \cup B) = 0.59 + 0.30 - 0.21 = 0.89 - 0.21 = 0.68$।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.68 = 0.32$।

(B) मान लीजिए परिवारों की कुल संख्या $x$ है।
मान लीजिए $A$ सेल फोन वाले परिवारों का सेट है,इसलिए $n(A) = \frac{65}{100}x$ है।
मान लीजिए $B$ स्कूटर वाले परिवारों का सेट है,इसलिए $n(B) = 15000$ है।
दोनों रखने वाले परिवारों की संख्या $n(A \cap B) = \frac{15}{100}x$ है।
चूंकि प्रत्येक परिवार के पास कम से कम एक है,इसलिए $n(A \cup B) = x$ है।
सूत्र $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{65x}{100} + 15000 - \frac{15x}{100}$
$x = \frac{50x}{100} + 15000$
$x = 0.5x + 15000$
$0.5x = 15000$
$x = \frac{15000}{0.5} = 30000$ है।
अतः,शहर में परिवारों की कुल संख्या $30000$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & 1 & 0 \\ 0 & 2 \cos x & 3 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ $(C_1)$ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 \cos x & 3 \\ 1 & 2 \cos x \end{array} \right| - 0 + 0$
$f(x) = \cos x \cdot ((2 \cos x)(2 \cos x) - (3)(1))$
$f(x) = \cos x (4 \cos^2 x - 3)$
$f(x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \cos 3x$
अब,सीमा की गणना करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \pi} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi} \cos 3x = \cos(3\pi)$
चूंकि $\cos(3\pi) = -1$,अतः सीमा $-1$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{3}-2x^{2}-9x+18=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}(x-2)-9(x-2)=0 \Rightarrow (x^{2}-9)(x-2)=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)(x-2)=0$.
अतः,$x$ के संभावित मान $x=2, 3, -3$ हैं।
अब,सारणिक $A = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & x & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $A = 1(9x - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 7x)$.
$A = 9x - 48 - 2(-6) + 96 - 21x$.
$A = 9x - 48 + 12 + 96 - 21x = -12x + 60$.
अब,$x$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x=2$ के लिए: $A = -12(2) + 60 = -24 + 60 = 36$.
$x=3$ के लिए: $A = -12(3) + 60 = -36 + 60 = 24$.
$x=-3$ के लिए: $A = -12(-3) + 60 = 36 + 60 = 96$.
मानों $36, 24, 96$ की तुलना करने पर,$A$ का अधिकतम मान $96$ है।

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$।
सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}(1)(2) + (-2)(3) + (1)(1) & (1)(1) + (-2)(2) + (1)(1) \\ (2)(2) + (1)(3) + (3)(1) & (2)(1) + (1)(2) + (3)(1)\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 - 6 + 1 & 1 - 4 + 1 \\ 4 + 3 + 3 & 2 + 2 + 3\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc}-3 & -2 \\ 10 & 7\end{array}\right]$
अब,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $(AB)^{\prime}$ ज्ञात करें:
$(AB)^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}-3 & 10 \\ -2 & 7\end{array}\right]$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $n=3$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हमें $|A|=5$ और $|B|=3$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|AB| = |A| \cdot |B| = 5 \times 3 = 15$.
गुणधर्म $|kA| = k^n |A|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $k$ एक अदिश है और $n$ वर्ग आव्यूह का क्रम है,हमें प्राप्त होता है:
$|3AB| = 3^3 |AB|$.
चूँकि $n=3$ है,इसलिए $3^3 = 27$.
अतः,$|3AB| = 27 \times 15 = 405$.

(D) मान लीजिए $M$ एक सममित आव्यूह है जिसका रूप $M = \begin{bmatrix} a & c \\ c & b \end{bmatrix}$ है,जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ है।
किसी आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसका सारणिक (determinant) शून्य नहीं होना चाहिए।
$M$ का सारणिक $|M| = ab - c^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,हमें $|M| \neq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $ab - c^2 \neq 0$,या $ab \neq c^2$ है।
एक सममित आव्यूह में,दूसरे विकर्ण की प्रविष्टियाँ दोनों $c$ हैं,इसलिए उनका गुणनफल $c^2$ है।
अतः,व्युत्क्रमणीयता के लिए शर्त यह है कि मुख्य विकर्ण की प्रविष्टियों का गुणनफल $(ab)$ दूसरे विकर्ण की प्रविष्टियों के गुणनफल $(c^2)$ के बराबर नहीं होना चाहिए।

(D) व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
$1$. गुणनफल का व्युत्क्रम,व्युत्क्रमों का विपरीत क्रम में गुणनफल होता है: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
$2$. आव्यूह का सहखंडज (adjoint) उसके व्युत्क्रम से इस प्रकार संबंधित है: $\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$.
$3$. व्युत्क्रम आव्यूह का सारणिक (determinant),मूल आव्यूह के सारणिक का व्युत्क्रम होता है: $\operatorname{det}(A^{-1}) = [\operatorname{det}(A)]^{-1}$.
$4$. योग का व्युत्क्रम सामान्यतः व्युत्क्रमों के योग के बराबर नहीं होता है: $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$.
अतः,कथन $(A+B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$ गलत है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\cos \left[\cot ^{-1}(-\sqrt{3})+\frac{\pi}{6}\right]$
हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ होता है।
अतः,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$।
चूंकि $\cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$,इसलिए $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left[\pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right]$
$= \cos [\pi]$
$= -1$।

(C) माना व्यंजक $E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \sin \frac{5 \pi}{2}\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \left(\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$ है।
सबसे पहले,$\sin \frac{5 \pi}{2} = \sin \left(2 \pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ का मान ज्ञात करें।
इसके बाद,$\sin ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ का मान ज्ञात करें।
अब इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \tan ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \times 1\right] + \sin ^{-1}\left[\cos \frac{\pi}{3}\right]$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$E = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ और $\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$E = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2 \pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया फलन,$f(x) = \frac{x}{1-|x|}$ है।
फलन के परिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए।
$1 - |x| \neq 0$
$|x| \neq 1$
$x \neq 1$ और $x \neq -1$.
अतः,प्रांत $1$ और $-1$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं,जिसे $R - \{-1, 1\}$ के रूप में लिखा जाता है।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 6}}$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - [x] - 6 > 0$
गुणनखंड करने पर:
$([x] - 3)([x] + 2) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब:
$[x] > 3$ या $[x] < -2$
यदि $[x] > 3$ है,तो $[x]$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $4$ है,जिसका अर्थ है $x \geq 4$,अर्थात $x \in [4, \infty)$।
यदि $[x] < -2$ है,तो $[x]$ का अधिकतम पूर्णांक मान $-3$ है,जिसका अर्थ है $x < -2$,अर्थात $x \in (-\infty, -2)$।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, -2) \cup [4, \infty)$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ है,जहाँ $A = \{x \in R : x \neq 1, 2, 3, \dots\}$।
एकैकी (injectivity) की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.
चूँकि सभी $x \in A$ के लिए $f'(x) < 0$ है,फलन निरंतर ह्रासमान है,जिसका अर्थ है कि $f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjectivity) की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $y = \frac{2x}{x-1}$।
$y(x-1) = 2x \implies yx - y = 2x \implies x(y-2) = y \implies x = \frac{y}{y-2}$.
$f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in R$ के लिए $x \in A$ का अस्तित्व होना चाहिए। यदि $y = 2$ है,तो $x$ अपरिभाषित है। इसके अतिरिक्त,हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक न हो। यदि हम $y$ को इस प्रकार चुनें कि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक बन जाए (उदाहरण के लिए,यदि $x=2$,तो $y = \frac{2(2)}{2-1} = 4$),तो $y=4$ का पूर्व-प्रतिबिंब $x=2$ है,लेकिन $2 \notin A$ है। अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।

(A) दिया गया फलन,$f(x) = \sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x + 4$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = 2(\sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 2x \cdot \frac{1}{2}) + 4$
$f(x) = 2(\sin 2x \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2x \sin \frac{\pi}{6}) + 4$
$f(x) = 2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) + 4$
एक फलन $f(x) = \sin(\theta)$ तब एकैकी होता है जब उसका कोण $\theta$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित हो।
अतः,$f(x)$ के एकैकी होने के लिए:
$-\frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2}$
सभी पदों में $\frac{\pi}{6}$ जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$-\frac{2\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{4\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{3} \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3}$
$2$ से भाग देने पर:
$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$
अतः,फलन अंतराल $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ में एकैकी है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 2x, & x > 3 \\ x^2, & 1 < x \leq 3 \\ 3x, & x \leq 1 \end{array}\right.$ है।
$f(-2) + f(3) + f(4)$ का मान ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक पद की गणना करते हैं:
$1$. $f(-2)$ के लिए: चूँकि $-2 \leq 1$,हम $f(x) = 3x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(-2) = 3(-2) = -6$.
$2$. $f(3)$ के लिए: चूँकि $1 < 3 \leq 3$,हम $f(x) = x^2$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(3) = (3)^2 = 9$.
$3$. $f(4)$ के लिए: चूँकि $4 > 3$,हम $f(x) = 2x$ का उपयोग करते हैं। अतः,$f(4) = 2(4) = 8$.
इन मानों का योग करने पर: $f(-2) + f(3) + f(4) = -6 + 9 + 8 = 11$.

(B) दिया गया है $f(x)=\begin{cases} x^{3}-1, & 1 < x < \infty \\ x-1, & -\infty < x \leq 1 \end{cases}$
सबसे पहले,हम $x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$RHL = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (x^{3}-1) = 1^{3}-1 = 0$
$LHL = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (x-1) = 1-1 = 0$
$f(1) = 1-1 = 0$
चूँकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए फलन $x=1$ पर सतत है।
अब,हम $x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$f'(x) = \begin{cases} 3x^{2}, & 1 < x < \infty \\ 1, & -\infty < x < 1 \end{cases}$
$LHD = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f'(x) = 1$
$RHD = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f'(x) = 3(1)^{2} = 3$
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x=1$ पर अनवकलनीय है।
अतः,फलन सतत और अनवकलनीय है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} + \cos x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$ और $\cos x$ का अवकलज $-\sin x$ का उपयोग करते हैं।
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx}(ax^{-4} - bx^{-2} + \cos x)$
$= a(-4x^{-5}) - b(-2x^{-3}) - \sin x$
$= -\frac{4a}{x^{5}} + \frac{2b}{x^{3}} - \sin x$
इसे $ma + nb - p$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m = -\frac{4}{x^{5}}$,$n = \frac{2}{x^{3}}$,और $p = \sin x$.

(C) $y = (\cos x^{2})^{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot (2x)$
$\frac{dy}{dx} = -4x \sin x^{2} \cos x^{2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \sin x^{2} \cos x^{2}) = -2x \sin 2x^{2}$

(B) हमें योग का अवकलन ज्ञात करना है: $\frac{d}{d x}\left(x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a}\right)$.
अवकलन के योग नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{d x}\left(x^{x}\right)+\frac{d}{d x}\left(x^{a}\right)+\frac{d}{d x}\left(a^{x}\right)+\frac{d}{d x}\left(a^{a}\right)$.
$1$. $\frac{d}{d x}(x^x)$ के लिए: मान लीजिए $y = x^x$. दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर,$\log y = x \log x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$. अतः,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$.
$2$. $\frac{d}{d x}(x^a)$ के लिए: घात नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{d x}(x^a) = a x^{a-1}$.
$3$. $\frac{d}{d x}(a^x)$ के लिए: घातांकीय अवकलन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{d x}(a^x) = a^x \log a$.
$4$. $\frac{d}{d x}(a^a)$ के लिए: चूँकि $a$ एक अचर है,$a^a$ भी एक अचर है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा।
इन सबको जोड़ने पर,परिणाम $x^{x}(1+\log x)+a x^{a-1}+a^{x} \log a$ प्राप्त होता है।

(A) कथन $1$ के लिए:
$y = \log_{10} x + \log_{e} x$
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_{a} b = \frac{\log_{e} b}{\log_{e} a}$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} + \log_{e} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_{e} 10} + \frac{1}{x}$
चूंकि $\frac{1}{\log_{e} 10} = \log_{10} e$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log_{10} e}{x} + \frac{1}{x}$.
अतः,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए:
$\frac{d}{dx}(\log_{10} x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} \right) = \frac{1}{x \log_{e} 10}$.
कथन में दावा किया गया है कि यह $\frac{\log x}{\log 10}$ है,जो गलत है।
इसी प्रकार,$\frac{d}{dx}(\log_{e} x) = \frac{1}{x}$.
कथन में दावा किया गया है कि यह $\frac{\log x}{\log e}$ है,जो गलत है।
अतः,कथन $2$ असत्य है।

(D) दिया गया है $y=(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{5}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$\log y = \log [(x-1)^{2}(x-2)^{3}(x-3)^{5}]$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\log y = 2 \log (x-1) + 3 \log (x-2) + 5 \log (x-3)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} + \frac{5}{x-3}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} + \frac{5}{x-3} \right]$.
$x=4$ रखने पर:
$y(4) = (4-1)^{2}(4-2)^{3}(4-3)^{5} = 3^{2} \times 2^{3} \times 1^{5} = 9 \times 8 \times 1 = 72$.
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=4} = 72 \left[ \frac{2}{4-1} + \frac{3}{4-2} + \frac{5}{4-3} \right] = 72 \left[ \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 5 \right]$.
$= 72 \left[ \frac{4 + 9 + 30}{6} \right] = 72 \times \frac{43}{6} = 12 \times 43 = 516$.

(C) कोणीय विस्थापन $\theta = \frac{t^{2}}{20} + \frac{t}{5}$ द्वारा दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जो $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ है।
$\theta$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\omega = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^{2}}{20} + \frac{t}{5} \right) = \frac{2t}{20} + \frac{1}{5} = \frac{t}{10} + \frac{1}{5}$.
$t = 4 \ s$ पर,कोणीय वेग $k$ है:
$k = \left( \frac{4}{10} + \frac{1}{5} \right) = \frac{4}{10} + \frac{2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6 \ rad/s$.
हमें $5k$ का मान ज्ञात करना है:
$5k = 5 \times 0.6 = 3$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} - 2x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन निरंतर ह्रासमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} - 2x) = 2x - 2$.
एक फलन निरंतर ह्रासमान होता है जब $f'(x) < 0$ हो।
अतः,$2x - 2 < 0$.
$2(x - 1) < 0$.
$x - 1 < 0$.
$x < 1$.
इस प्रकार,फलन $f(x)$ अंतराल $(-\infty, 1)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $x = \cos \theta + \log \tan \frac{\theta}{2}$.
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -\sin \theta + \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}} \cdot \sec^2 \frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= -\sin \theta + \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{2}$
$= -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta}$
$= \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \quad ...(i)$
अब,$y = \sin \theta$. $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \cos \theta \quad ...(ii)$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\cos \theta}{\frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}} = \tan \theta$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ के लिए,$\tan \theta = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = n \pi$ जहाँ $n \in Z$।

(C) दिया गया वक्र $y = -x^{3} + 3x^{2} + 2x - 27$ है।
वक्र की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -3x^{2} + 6x + 2$.
माना ढाल $m = -3x^{2} + 6x + 2$ है।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $m$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dm}{dx} = -6x + 6$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए $\frac{dm}{dx} = 0$ रखने पर:
$-6x + 6 = 0 \implies x = 1$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$\frac{d^{2}m}{dx^{2}} = -6 < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $x = 1$ पर ढाल अधिकतम है।
$m$ के व्यंजक में $x = 1$ रखने पर:
$m_{\text{max}} = -3(1)^{2} + 6(1) + 2 = -3 + 6 + 2 = 5$.

(D) माना $I = \int \frac{x e^{x} d x}{(1+x)^{2}}$.
अंश को $(x+1-1)$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{e^{x}(x+1-1)}{(1+x)^{2}} d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{x+1}{(1+x)^{2}} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
$I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^{2}} \right] d x$.
माना $f(x) = \frac{1}{1+x}$,तो $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^{2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] d x = e^{x} f(x) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = e^{x} \left( \frac{1}{1+x} \right) + C = \frac{e^{x}}{1+x} + C$.

(A) माना $I = \int \frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1}\left(x^{4}\right)\right)}{1+x^{8}} dx$.
$t = \tan ^{-1}\left(x^{4}\right)$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1+(x^{4})^{2}} \cdot 4x^{3} = \frac{4x^{3}}{1+x^{8}}$.
अतः,$\frac{x^{3}}{1+x^{8}} dx = \frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \sin(t) \cdot \frac{1}{4} dt$.
$I = \frac{1}{4} \int \sin(t) dt = \frac{1}{4} (-\cos(t)) + C$.
$t = \tan ^{-1}\left(x^{4}\right)$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{4} \cos \left(\tan ^{-1}\left(x^{4}\right)\right) + C$.

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{6}+a^{6}}} dx$ है।
$x^{3} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$3x^{2} dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}} dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} dx = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}| + C$।
$t = x^{3}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \log |x^{3} + \sqrt{x^{6} + a^{6}}| + C$।

(A) माना $I = \int e^{x} \left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right) dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1+\sin x = 1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^{x} \left( \frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^{x} \left( \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$.
माना $f(x) = \tan \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
चूंकि समाकलन $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ के रूप में है,
अतः हमें $I = e^{x} \tan \frac{x}{2} + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}} \, dx \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{4042-x}}{\sqrt{4042-x}+\sqrt{x}} \, dx \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}} \, dx$
$2I = \int_{0}^{4042} 1 \, dx$
$2I = [x]_{0}^{4042} = 4042$
$I = \frac{4042}{2} = 2021$

(D) $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \, dx$ ... $(i)$
$I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+2} x \, dx$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x (1 + \tan^{2} x) \, dx$
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n} x \sec^{2} x \, dx$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^{2} x \, dx$।
जब $x = 0, u = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{4}, u = 1$।
$I_{n} + I_{n+2} = \int_{0}^{1} u^{n} \, du = \left[ \frac{u^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}$।
$n = 8$ रखने पर,$I_{8} + I_{10} = \frac{1}{8+1} = \frac{1}{9}$।

(A) समीकरण $y=-\sqrt{16-x^{2}}$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=16$ के निचले अर्धवृत्त को दर्शाता है,जिसकी त्रिज्या $r=4$ है और केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
चूंकि क्षेत्रफल इस वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है,इसलिए हमें $X$-अक्ष के नीचे के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = \pi(4)^{2} = 16\pi$ होता है।
अतः,अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 16\pi = 8\pi$ वर्ग इकाई होगा।
वैकल्पिक रूप से,समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\text{क्षेत्रफल} = \left| \int_{-4}^{4} (-\sqrt{16-x^{2}}) dx \right|$
$= \left| \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16-x^{2}} + \frac{16}{2} \sin^{-1} \frac{x}{4} \right]_{-4}^{4} \right|$
$= \left| [0 + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(-1)] \right|$
$= \left| 8(\frac{\pi}{2}) - 8(-\frac{\pi}{2}) \right| = |4\pi + 4\pi| = 8\pi$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x dy = y dx$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $x, y \neq 0$): $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{x} dx$
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + C$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x-1}$.
चरों को पृथक करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{y+1} dy = \frac{1}{x-1} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{y+1} dy = \int \frac{1}{x-1} dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y+1| = \ln|x-1| + \ln|C|$,जिसे सरल करने पर $y+1 = C(x-1)$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्त $y(1) = 2$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण में $x=1$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2+1 = C(1-1) \Rightarrow 3 = C(0)$.
यह दर्शाता है कि $3 = 0$,जो एक विरोधाभास है।
चूंकि प्रारंभिक शर्त $y(1) = 2$ उस बिंदु पर दी गई है जहाँ अवकलज $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है (जहाँ $x=1$),इसलिए हल का अस्तित्व नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(B) माना कि सदिश $a$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान न्यून कोण $\alpha$ बनाता है।
चूंकि दिक् कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ हैं,हमारे पास संबंध $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
मान रखने पर,$3 \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,सदिश $a$ के दिक् अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं,इसलिए हम $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
सदिश $b$ का सदिश $a$ पर प्रक्षेप $\frac{b \cdot a}{|a|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $b \cdot a = (5\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5(1) + 7(1) - 1(1) = 5 + 7 - 1 = 11$।
सदिश $a$ का परिमाण $|a| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
इसलिए,प्रक्षेप $\frac{11}{\sqrt{3}}$ है।

(A) माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं,और $\vec{d_1}$ तथा $\vec{d_2}$ विकर्ण हैं।
हम जानते हैं कि $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ होता है।
अतः,$\vec{a} = \frac{\vec{d_1} + \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) + (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 10 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
भुजा $\vec{a}$ की लंबाई $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b} = \frac{\vec{d_1} - \vec{d_2}}{2} = \frac{(3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) - (-\hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k})}{2} = \frac{4 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{2} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
भुजा $\vec{b}$ की लंबाई $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$ है।
$\sqrt{30}$ और $\sqrt{29}$ की तुलना करने पर,छोटी भुजा $\sqrt{29}$ है।

(D) दिया गया है,$a \cdot b = 0$ और $(a + b)$,$a$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
दो सदिशों के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\cos 60^{\circ} = \frac{(a + b) \cdot a}{|a + b||a|}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a \cdot a + b \cdot a}{|a + b||a|}$
चूंकि $a \cdot b = 0$,इसलिए $b \cdot a = 0$ है।
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|a|^2}{|a + b||a|} = \frac{|a|}{|a + b|}$
$\Rightarrow |a + b| = 2|a|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|a + b|^2 = 4|a|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 4|a|^2$
चूंकि $a \cdot b = 0$:
$|a|^2 + |b|^2 = 4|a|^2$
$|b|^2 = 3|a|^2$
$|b| = \sqrt{3}|a|$

(C) और $b$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|a \times b| = 15$ वर्ग इकाई है।
अब,$(3a+2b)$ और $(a+3b)$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होगा:
क्षेत्रफल $= |(3a+2b) \times (a+3b)|$
$= |3a \times a + 9a \times b + 2b \times a + 6b \times b|$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,इसलिए:
$= |9(a \times b) + 2(b \times a)|$
गुणधर्म $b \times a = -(a \times b)$ का उपयोग करने पर:
$= |9(a \times b) - 2(a \times b)|$
$= |7(a \times b)|$
$= 7 |a \times b|$
दी गई मान $|a \times b| = 15$ रखने पर:
$= 7 \times 15 = 105$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A(0,4,1)$,$B(2,3,-1)$,$C(4,5,0)$ और $D(2,6,2)$ हैं।
हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों,$\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ में विभाजित कर सकते हैं।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है।
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
$\vec{AB} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AD} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 6^2} = 9$.
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ वर्ग इकाई}$.
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$.
$\vec{BC} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{BD} = 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} \times \vec{BD} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = 9$.
$\triangle BCD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ वर्ग इकाई}$.
कुल क्षेत्रफल = $4.5 + 4.5 = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया है,रेखा $1$ के दिक्-कोसाइन $(l_{1}, m_{1}, n_{1}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
रेखा $2$ के दिक्-कोसाइन $(l_{2}, m_{2}, n_{2}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = |l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left|\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}\right|$
$\cos \theta = \left|\frac{3 + 1 - 12}{16}\right| = \left|-\frac{8}{16}\right| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिए गए बिंदु $A(-3, 4, 11)$ और $B(1, -2, 7)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (1 - (-3), -2 - 4, 7 - 11) = (4, -6, -4)$ हैं।
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें सरल दिक अनुपात $(-2, 3, 2)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिक अनुपात $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(-3, 4, 11)$ और दिक अनुपात $(-2, 3, 2)$ रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $\frac{x + 3}{-2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 11}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि समतल निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \dots (i)$ है।
शीर्षों $(a, 0, 0)$,$(0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ वाले $\triangle ABC$ का केंद्रक $\left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ होता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 3)$ है,इसलिए निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
$a, b$ और $c$ के मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है,$P(B) = \frac{3}{5}$,$P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{1}{2}$ और $P(A \cup B) = \frac{4}{5}$.
चूँकि $P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$,हमारे पास है:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{3}{5} - \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $E_{A}$ वह घटना है कि पासों पर संख्याओं का योग $6$ से कम है।
$E_{A}$ के लिए संभावित परिणाम हैं:
$E_{A} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
अतः,$n(E_{A}) = 10$.
माना $E_{B}$ वह घटना है कि पासों पर संख्याओं का योग $3$ है।
$E_{B}$ के लिए संभावित परिणाम हैं:
$E_{B} = \{(1,2), (2,1)\}$
अतः,$n(E_{B}) = 2$.
अभीष्ट सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_{B}|E_{A}) = \frac{n(E_{B} \cap E_{A})}{n(E_{A})} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।

(C) दिया गया है कि $A, B$ और $C$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ $P(A)=P(B)=P(C)=P$ है।
$A, B$ और $C$ में से कम से कम दो घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता निम्नलिखित परस्पर अपवर्जी स्थितियों की प्रायिकताओं का योग है:
$1$. ठीक दो घटनाएँ घटित हों: $(A \cap B \cap C') \cup (A \cap B' \cap C) \cup (A' \cap B \cap C)$
$2$. तीनों घटनाएँ घटित हों: $(A \cap B \cap C)$
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, $P(A \cap B \cap C') = P(A)P(B)P(C') = P \times P \times (1-P) = P^{2}(1-P)$।
इसी प्रकार, $P(A \cap B' \cap C) = P^{2}(1-P)$ और $P(A' \cap B \cap C) = P^{2}(1-P)$।
साथ ही, $P(A \cap B \cap C) = P \times P \times P = P^{3}$।
अतः, $P(\text{कम से कम दो घटनाएँ घटित हों}) = 3 \times P^{2}(1-P) + P^{3}$।
$= 3P^{2} - 3P^{3} + P^{3} = 3P^{2} - 2P^{3}$।

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कार मानक गुणवत्ता की है। मान लीजिए $A_{1}$ वह घटना है कि कार प्लांट $X$ में निर्मित है,और $A_{2}$ वह घटना है कि कार प्लांट $Y$ में निर्मित है।
दी गई प्रायिकताएं हैं:
$P(A_{1}) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$
$P(A_{2}) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$P(E|A_{1}) = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$
$P(E|A_{2}) = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि कार मानक गुणवत्ता की है तो उसके प्लांट $X$ से आने की प्रायिकता है:
$P(A_{1}|E) = \frac{P(A_{1}) \times P(E|A_{1})}{P(A_{1}) \times P(E|A_{1}) + P(A_{2}) \times P(E|A_{2})}$
$P(A_{1}|E) = \frac{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10}}{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10} + \frac{3}{10} \times \frac{9}{10}}$
$P(A_{1}|E) = \frac{56/100}{56/100 + 27/100} = \frac{56}{56 + 27} = \frac{56}{83}$
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{56}{83}$ है।