KCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई असमिका $|3x - 5| \leq 2$ है।
निरपेक्ष मान असमिकाओं के गुणधर्म के अनुसार,$|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a$ होता है।
अतः,$-2 \leq 3x - 5 \leq 2$।
असमिका के सभी भागों में $5$ जोड़ने पर:
$-2 + 5 \leq 3x \leq 2 + 5$
$3 \leq 3x \leq 7$।
$3$ से भाग देने पर:
$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,हम जानते हैं कि $\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2}$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (-1)^{2} - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
वैकल्पिक रूप से,$x^{2}+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं।
अतः,$\alpha^{2}+\beta^{2} = \omega^{2} + (\omega^{2})^{2} = \omega^{2} + \omega^{4} = \omega^{2} + \omega = -1$ (क्योंकि $1+\omega+\omega^{2}=0$)।

(C) अंकों का समूह $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है।
विषम अंक $\{1, 3, 5, 7\}$ (कुल $4$) हैं और सम अंक $\{2, 4, 6\}$ (कुल $3$) हैं।
हमें $4$ में से $2$ विषम अंक और $3$ में से $2$ सम अंक चुनने हैं।
अंकों को चुनने के तरीके $= {}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{2} = 6 \times 3 = 18$।
इन $4$ चयनित अंकों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 18 \times 4! = 18 \times 24 = 432$।

(D) माना $G$.$P$. के प्रथम पाँच पद $\frac{a}{r^{2}}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^{2}$ हैं।
दिया गया है कि तीसरा पद $a = 9$ है।
प्रथम पाँच पदों का गुणनफल $\frac{a}{r^{2}} \times \frac{a}{r} \times a \times ar \times ar^{2} = a^{5}$ है।
$a = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया कथन $P(n): 2^{n} < n!$ है।
हम धनात्मक पूर्णांकों $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ के लिए जाँच करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $2^{1} < 1! \implies 2 < 1$,जो असत्य है।
$n = 2$ के लिए: $2^{2} < 2! \implies 4 < 2$,जो असत्य है।
$n = 3$ के लिए: $2^{3} < 3! \implies 8 < 6$,जो असत्य है।
$n = 4$ के लिए: $2^{4} < 4! \implies 16 < 24$,जो सत्य है।
अतः,वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,$4$ है।

(A) $(a+b)^{n}-(a-b)^{n}$ का विस्तार,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है,$\frac{n+1}{2}$ पद देता है।
यहाँ,$n = 25$,जो एक विषम पूर्णांक है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
पदों की संख्या = $\frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
अतः,सरलीकरण के बाद $13$ पद प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = 4$

(A) दिया गया है $\cos x = |\sin x|$.
चूंकि $|\sin x| \ge 0$,इसलिए $\cos x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x$ प्रथम या चतुर्थ चतुर्थांश में है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 x = \sin^2 x$ प्राप्त होता है।
यह $\tan^2 x = 1$ में सरल हो जाता है,अतः $\tan x = \pm 1$।
$\tan x = 1$ के लिए,$x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ और $\tan x = -1$ के लिए,$x = n\pi - \frac{\pi}{4}$।
अतः $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।
हालाँकि,$\cos x \ge 0$ की शर्त को पूरा करने के लिए,केवल सम $n$ वाले मान ही मान्य होंगे।
अतः,व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ है।

(B) माना $X$ और $Y$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $a$ हैं। अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है,जो $x + y = a$ या $y = -x + a$ में सरल हो जाता है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि ढाल $m = \tan \theta$ है,इसलिए $\tan \theta = -1$ है।
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए कोण $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$
$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 25$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ है।
$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(A) दिया गया है कि $x = \sum_{r=1}^{n}(2r-1)$.
यह प्रथम $n$ विषम पूर्णांकों का योग है,जो $x = n^2$ है।
अतः,$x^2 = n^4$.
व्यंजक $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1^3 + 2^3 + \ldots + n^3}{x^2} \right]$ हो जाता है।
घनों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
सीमा में यह मान रखने पर: $\lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} \right]$.
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n^2 \cdot n^2(1 + \frac{1}{n})^2}{4n^4} \right]$.
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{(1 + \frac{1}{n})^2}{4} \right] = \frac{1}{4}$.

(D) दिया गया कथन "सभी $P$,$Q$ हैं" के रूप में है,जहाँ $P$ सतत फलन है और $Q$ अवकलनीय होने का गुण है।
"सभी $P$,$Q$ हैं" कथन का निषेध "कुछ $P$,$Q$ नहीं हैं" होता है।
अतः,"सभी सतत फलन अवकलनीय होते हैं" का निषेध "कुछ सतत फलन अवकलनीय नहीं होते हैं" होगा।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 4$।
मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ है।
मान रखने पर:
$4 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 16 = 2516$
$\sum x_i^2 = 2516 \times 100 = 251600$।
अतः,सभी मदों के वर्गों का योग $251600$ है।

(B) दिया है: $n(U)=100$,$n(A)=50$,$n(B)=60$,$n(A \cap B)=20$.
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 50 + 60 - 20 = 90$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$ होता है।
अतः,$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = n(U) - n(A \cup B)$.
$n(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 100 - 90 = 10$.

(C) $1$. रेखाओं के अंतःखंडों से उनके समीकरण ज्ञात कीजिए:
- $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1 \Rightarrow 4x + 5y = 20$.
- $(0, 3)$ और $(10, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: $\frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow 3x + 10y = 30$.
- $(6, 0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा: $x = 6$.
$2$. छायांकित क्षेत्र के आधार पर असमिकाएं निर्धारित करें:
- छायांकित क्षेत्र रेखा $4x + 5y = 20$ के ऊपर है,इसलिए असमिका $4x + 5y \geq 20$ है।
- छायांकित क्षेत्र रेखा $3x + 10y = 30$ के नीचे है,इसलिए असमिका $3x + 10y \leq 30$ है।
- छायांकित क्षेत्र रेखा $x = 6$ के बाईं ओर है,इसलिए असमिका $x \leq 6$ है।
- चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x, y \geq 0$ है।
अतः,सही असमिकाओं का समुच्चय $4x + 5y \geq 20, 3x + 10y \leq 30, x \leq 6, x, y \geq 0$ है।

(B) '$EQUATIONS$' शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $E, Q, U, A, T, I, O, N, S$।
स्वरों की संख्या $= 5$ $(E, U, A, I, O)$।
व्यंजनों की संख्या $= 4$ $(Q, T, N, S)$।
$9$ अक्षरों में से $2$ अक्षर चुनने के कुल तरीके $^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
$1$ स्वर और $1$ व्यंजन चुनने के तरीके $^{5}C_{1} \times ^{4}C_{1} = 5 \times 4 = 20$ हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ है।

(B) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{2ab}{5}$ है।
सबसे पहले,तत्समक अवयव $e$ ज्ञात करें ताकि $a * e = a$ हो:
$\frac{2ae}{5} = a \implies e = \frac{5}{2}$.
इसके बाद,प्रतिलोम $a^{-1}$ ज्ञात करें ताकि $a * a^{-1} = e$ हो:
$\frac{2a(a^{-1})}{5} = \frac{5}{2} \implies a^{-1} = \frac{25}{4a}$.
$a = 3$ के लिए,प्रतिलोम $3^{-1} = \frac{25}{4(3)} = \frac{25}{12}$ है।
अब,$2 * x = 3^{-1}$ को हल करें:
$\frac{2(2x)}{5} = \frac{25}{12} \implies \frac{4x}{5} = \frac{25}{12}$.
$x = \frac{25 \times 5}{12 \times 4} = \frac{125}{48}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$3A + 4B' = \begin{bmatrix} 7 & -10 & 17 \\ 0 & 6 & 31 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2B - 3A' = \begin{bmatrix} -1 & 18 \\ 4 & 0 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ का परिवर्त आव्यूह (transpose) लेने पर:
$2B' - 3A = \begin{bmatrix} -1 & 4 & 5 \\ 18 & 0 & -7 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ का उपयोग करके $B'$ ज्ञात किया जा सकता है।
हल करने पर,हमें $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B) दिया गया है कि $P$ और $Q$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ है।
$PQ - QP$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका परिवर्त (transpose) लेते हैं:
$(PQ - QP)^{\prime} = (PQ)^{\prime} - (QP)^{\prime}$
गुणधर्म $(AB)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime}$ का उपयोग करने पर:
$(PQ - QP)^{\prime} = Q^{\prime}P^{\prime} - P^{\prime}Q^{\prime}$
चूंकि $P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ है,यह हो जाता है:
$(PQ - QP)^{\prime} = QP - PQ$
$(PQ - QP)^{\prime} = -(PQ - QP)$
चूंकि आव्यूह का परिवर्त उसके ऋणात्मक के बराबर है,इसलिए $PQ - QP$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(D) माना कि $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 2(1 \times 3 - 1 \times 0) - 5(0 \times 3 - 1 \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$|A| = 2(3) - 5(1) + 0 = 6 - 5 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंडज (cofactor) आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = 3, C_{12} = -1, C_{13} = 1$
$C_{21} = -15, C_{22} = 6, C_{23} = -5$
$C_{31} = 5, C_{32} = -2, C_{33} = 2$
एडजॉइंट आव्यूह $\text{adj}(A)$,सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ हैं।
सबसे पहले,हम $B$ का परिवर्त आव्यूह $B'$ ज्ञात करते हैं,जो $B' = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|XYZ| = |X||Y||Z|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|A B B'| = |A| |B| |B'|$ प्राप्त होता है।
सारणिकों की गणना करें:
$|A| = (1 \times 2) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10$.
$|B| = (2 \times 2) - (-1 \times 1) = 4 + 1 = 5$.
$|B'| = (2 \times 2) - (1 \times -1) = 4 + 1 = 5$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$|A B B'| = (-10) \times (5) \times (5) = -250$.

(D) माना $A$ एक $n = 3$ क्रम का वर्ग आव्यूह है जहाँ $|A| = 16$ है।
$A$ के प्रत्येक अवयव को उसके सहखंड से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त आव्यूह को सहखंड आव्यूह कहा जाता है,जिसे $C$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सहखंडज आव्यूह $\operatorname{adj} A$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,अर्थात $\operatorname{adj} A = C^T$।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$।
किसी आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त के सारणिक के बराबर होता है,इसलिए $|C| = |C^T| = |\operatorname{adj} A|$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $|C| = |A|^{3-1} = |A|^2$।
अतः,$|C| = 16^2 = 256$।

(B) सारणिक के विस्तार में अचर पद ज्ञात करने के लिए,हम $ x = 0 $ रखते हैं।
$ x = 0 $ को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 3(0)+1 & 2(0)-1 & 0+2 \\ 5(0)-1 & 3(0)+2 & 0+1 \\ 7(0)-2 & 3(0)+1 & 4(0)-1 \end{array}\right| $
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{array}\right| $
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$ \Delta = 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| - (-1) \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -2 & -1 \end{array}\right| + 2 \cdot \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right| $
$ \Delta = 1 \cdot (-2 - 1) + 1 \cdot (1 - (-2)) + 2 \cdot (-1 - (-4)) $
$ \Delta = 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (3) + 2 \cdot (3) $
$ \Delta = -3 + 3 + 6 = 6 $
अतः,अचर पद $ 6 $ है।

(C) माना कि $ x = \sin ^{-1} \frac{3}{4} $ है। तब $\sin x = \frac{3}{4}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इसलिए,व्यंजक $ \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + (\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \cos ^{-1} \frac{3}{4})\right] $ बन जाता है।
$= \cos \left[\sin ^{-1} \frac{3}{4} + \frac{\pi}{2}\right]$.
सर्वसमिका $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta $ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= -\sin \left(\sin ^{-1} \frac{3}{4}\right)$.
$= -\frac{3}{4}$.

(A) दी गई असमिका: $ a + \frac{\pi}{2} < 2 \tan^{-1} x + 3 \cot^{-1} x < b $.
हम जानते हैं कि $ \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} $,इसलिए $ \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x $.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $ 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1} x) + 3 \cot^{-1} x = \pi - 2 \cot^{-1} x + 3 \cot^{-1} x = \pi + \cot^{-1} x $.
अब असमिका इस प्रकार हो जाती है: $ a + \frac{\pi}{2} < \pi + \cot^{-1} x < b $.
सभी भागों से $ \pi $ घटाने पर: $ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $.
चूंकि $ \cot^{-1} x $ का परिसर $ (0, \pi) $ है,इसलिए $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ प्राप्त होता है।
$ a - \frac{\pi}{2} < \cot^{-1} x < b - \pi $ की तुलना $ 0 < \cot^{-1} x < \pi $ से करने पर:
$ a - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow a = \frac{\pi}{2} $.
$ b - \pi = \pi \Rightarrow b = 2\pi $.
अतः,$ a = \frac{\pi}{2} $ और $ b = 2\pi $.

(C) फलन $f(x) = \sqrt{x^{2}-7x+12}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$x^{2}-7x+12 \geq 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(x-4)(x-3) \geq 0$
असमिका के लिए साइन स्कीम विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक तब गैर-ऋणात्मक होता है जब $x \leq 3$ या $x \geq 4$ हो।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty)$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = \sqrt{x}$।
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ के लिए,डोमेन $g(x)$ के डोमेन द्वारा सीमित है,जो $[0, \infty)$ है।
अतः,$(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ जहाँ $x \ge 0$ है।
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$ है।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
$A$: $(f \circ g)(-4)$ अपरिभाषित है क्योंकि $-4$,$g(x) = [0, \infty)$ के डोमेन में नहीं है।
$B$: $(f \circ g)(2) = 2$ है।
$C$: $(g \circ f)(-2) = |-2| = 2$ है।
$D$: $(g \circ f)(4) = |4| = 4$ है।
चूंकि $(f \circ g)(-4)$ अपरिभाषित है,इसलिए विकल्प $A$ सत्य नहीं है।

(D) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $B = \{x \in Z \mid x^{2} - 5x + 6 = 0\}$ हैं।
द्विघात समीकरण $x^{2} - 5x + 6 = 0$ को हल करने पर,हमें $(x - 2)(x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ या $x = 3$ है।
इस प्रकार,$B = \{2, 3\}$ है।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 5$ है और समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 2$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय से $m$ अवयवों वाले समुच्चय तक आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{m} (-1)^{m-k} \binom{m}{k} k^{n}$ है।
यहाँ $n = 5$ और $m = 2$ के लिए,आच्छादक फलनों की संख्या $2^{n} - 2 = 2^{5} - 2$ होगी।
$2^{5} - 2 = 32 - 2 = 30$.
अतः,आच्छादक फलनों की कुल संख्या $30$ है।

(D) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{e^{2x}-1} = k-2$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{x}} = k-2$
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ और $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{x} = a$ का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{2} = k-2$
$k = \frac{3}{2} + 2$
$k = \frac{3+4}{2} = \frac{7}{2}$

(D) रोले के प्रमेय के लिए एक फलन $f(x)$ को अंतराल $[a, b]$ पर तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:
$1$. $f(x)$,$[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$,$(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
विकल्प $D$ का विश्लेषण करते हैं: $f(x) = |x|$ अंतराल $[-2, 2]$ पर।
फलन $f(x) = |x|$,$[-2, 2]$ पर सतत है,लेकिन यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $(-2, 2)$ के भीतर स्थित है।
चूंकि रोले के प्रमेय की दूसरी शर्त (अवकलनीयता) $x = 0$ पर पूरी नहीं होती है,इसलिए $[-2, 2]$ में $f(x) = |x|$ के लिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt[3]{y} \sqrt{x} = \sqrt[6]{(x+y)^{5}}$
दोनों पक्षों की घात $6$ करने पर:
$(y^{1/3} x^{1/2})^6 = ((x+y)^{5/6})^6$
$y^2 x^3 = (x+y)^5$
माना $y = vx$,तब $dy = v dx + x dv$. इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(vx)^2 x^3 = (x + vx)^5$
$v^2 x^5 = x^5(1+v)^5$
$v^2 = (1+v)^5$
यह दर्शाता है कि $v$ एक स्थिरांक है। समघात फलनों के लिए,यदि $f(y/x) = c$ है,तो $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,$y^2 x^3 = (x+y)^5$ का अवकलन करने पर:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5(x+y)^4 (1+y')$
चूंकि $(x+y)^5 = y^2 x^3$,इसलिए $(x+y)^4 = \frac{y^2 x^3}{x+y}$ रखने पर:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5 \frac{y^2 x^3}{x+y} (1+y')$
$x^2 y$ से भाग देने पर:
$2x y' + 3y = \frac{5xy}{x+y} (1+y')$
$(2x y' + 3y)(x+y) = 5xy + 5xy y'$
$2x^2 y' + 2xy y' + 3xy + 3y^2 = 5xy + 5xy y'$
$y'(2x^2 + 2xy - 5xy) = 5xy - 3xy - 3y^2$
$y'(2x^2 - 3xy) = 2xy - 3y^2$
$y' x(2x - 3y) = y(2x - 3y)$
चूंकि $2x - 3y \neq 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x - [x] - \cos x$ है।
$x = \frac{\pi}{2}$ के पड़ोस में,$[x]$ का मान स्थिर रहता है क्योंकि $[x] = [1.57...] = 1$ होता है।
इसलिए,$\frac{\pi}{2}$ के आसपास के अंतराल में,हम $f(x) = x - 1 - \cos x$ लिख सकते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x - 1 - \cos x) = 1 - 0 - (-\sin x) = 1 + \sin x$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलज में $x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 1 = 2$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right]$.
मान लीजिए $2^x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right]$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x)$
$f'(x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log_e 2$.
$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f'(0) = \frac{2}{1 + 4^0} \cdot 2^0 \log_e 2 = \frac{2}{1 + 1} \cdot 1 \cdot \log_e 2 = \frac{2}{2} \log_e 2 = \log_e 2$.

(D) दिया गया है $x = a \sec^{2} \theta$ और $y = a \tan^{2} \theta$।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \cdot 2 \sec \theta \cdot (\sec \theta \tan \theta) = 2a \sec^{2} \theta \tan \theta$।
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cdot 2 \tan \theta \cdot (\sec^{2} \theta) = 2a \tan \theta \sec^{2} \theta$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2a \tan \theta \sec^{2} \theta}{2a \sec^{2} \theta \tan \theta} = 1$।
अंत में,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(1) = 0$।

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = xy$ द्वारा दिया जाता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{1}{y} dy = x dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{y} dy = \int x dx$,जिससे $\log y = \frac{x^{2}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\log(1) = \frac{1^{2}}{2} + C \implies 0 = \frac{1}{2} + C \implies C = -\frac{1}{2}$.
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर,हमें $\log y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 \log y = x^{2} - 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $x$ है और उसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x \cdot \frac{dx}{dt}$
दिए गए मान $x = 14 \text{ cm}$ और $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = \sqrt{3} \cdot 7 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = 28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल $28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(C) $\sqrt{24.99}$ का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज (differentials) की अवधारणा का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $f(x) = \sqrt{x}$ है।
हम जानते हैं कि $24.99 = 25 - 0.01$ है। यहाँ,$x = 25$ और $\Delta x = -0.01$ है।
सन्निकटन (approximation) के लिए सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
सबसे पहले,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ज्ञात करें।
$x = 25$ पर,$f(25) = \sqrt{25} = 5$ और $f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = 0.1$ है।
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$f(24.99) \approx f(25) + f'(25) \times \Delta x$
$f(24.99) \approx 5 + (0.1) \times (-0.01)$
$f(24.99) \approx 5 - 0.001$
$f(24.99) \approx 4.999$.

(C) दिया गया फलन: $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 10$
अवकलज ज्ञात कीजिए: $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9$
अवकलज का गुणनखंड कीजिए: $f'(x) = 3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है:
$3(x - 1)(x - 3) > 0$
$(x - 1)(x - 3) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x < 1$ या $x > 3$ हो।
अतः,फलन अंतराल $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ में वर्धमान है।

(B) माना $ I = \int \frac{1}{\sqrt{x} + x \sqrt{x}} dx $.
हर से $ \sqrt{x} $ कॉमन लेने पर: $ I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)} dx $.
चूंकि $ x = (\sqrt{x})^2 $,इसलिए $ I = \int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + (\sqrt{x})^2)} dx $.
माना $ t = \sqrt{x} $. तब $ dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $,जिसका अर्थ है $ \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt $.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $ I = \int \frac{2}{1 + t^2} dt $.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $ I = 2 \tan^{-1}(t) + C $.
$ t = \sqrt{x} $ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $ I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x}) + C $.

(D) समाकलन $ I = \int x^{3} \sin 3 x \, dx $ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (Integration by Parts) या सारणीबद्ध विधि का उपयोग करते हैं।
सूत्र $ \int u v \, dx = u v_1 - u' v_2 + u'' v_3 - u''' v_4 + \dots $ का उपयोग करते हुए,जहाँ $ u = x^3 $ और $ v = \sin 3x $:
$ u = x^3, u' = 3x^2, u'' = 6x, u''' = 6, u'''' = 0 $
$ v_1 = \int \sin 3x \, dx = -\frac{\cos 3x}{3} $
$ v_2 = \int -\frac{\cos 3x}{3} \, dx = -\frac{\sin 3x}{9} $
$ v_3 = \int -\frac{\sin 3x}{9} \, dx = \frac{\cos 3x}{27} $
$ v_4 = \int \frac{\cos 3x}{27} \, dx = \frac{\sin 3x}{81} $
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$ I = x^3 \left( -\frac{\cos 3x}{3} \right) - (3x^2) \left( -\frac{\sin 3x}{9} \right) + (6x) \left( \frac{\cos 3x}{27} \right) - (6) \left( \frac{\sin 3x}{81} \right) + C $
$ I = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27} + C $

(B) $A, B, C$ ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक भिन्न (partial fraction) विधि का उपयोग करेंगे:
$\frac{2x-1}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+2)(x-3)$ से गुणा करने पर:
$2x-1 = A(x+2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+2)$
$x=1$ रखने पर: $2(1)-1 = A(1+2)(1-3) \implies 1 = A(3)(-2) \implies A = -\frac{1}{6}$
$x=-2$ रखने पर: $2(-2)-1 = B(-2-1)(-2-3) \implies -5 = B(-3)(-5) \implies -5 = 15B \implies B = -\frac{1}{3}$
$x=3$ रखने पर: $2(3)-1 = C(3-1)(3+2) \implies 5 = C(2)(5) \implies 5 = 10C \implies C = \frac{1}{2}$
अतः,$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}$.

(A) माना $ I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx $.
समाकल्य का परिमेयकरण करने पर:
$ I = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{(1+x)^2}{(1-x)(1+x)}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $.
समाकलन को अलग करने पर:
$ I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $.
प्रथम भाग का मूल्यांकन:
$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = [\sin^{-1} x]_{0}^{1} = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} $.
द्वितीय भाग का मूल्यांकन:
माना $ 1-x^2 = t $,तब $ -2x \, dx = dt $,अर्थात $ x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt $.
जब $ x=0, t=1 $ और जब $ x=1, t=0 $.
$ \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{1}^{0} \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2) = 1 $.
अतः,$ I = \frac{\pi}{2} + 1 $.

(C) माना कि $ I = \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx $.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx $ का उपयोग करने पर,
$ I = \int_{-3}^{3} \cot^{-1}(-x) \, dx $ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $ \cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x $.
अतः,$ I = \int_{-3}^{3} (\pi - \cot^{-1} x) \, dx $.
$ I = \int_{-3}^{3} \pi \, dx - \int_{-3}^{3} \cot^{-1} x \, dx $.
$ I = \pi [x]_{-3}^{3} - I $.
$ 2I = \pi (3 - (-3)) $.
$ 2I = 6\pi $.
$ I = 3\pi $.

(C) दिए गए समाकलन $I = \int_{0}^{2} [x^{2}] \, dx$ पर विचार करें।
चूंकि महत्तम पूर्णांक फलन $[x^2]$ का मान $x^2 = 1, 2, 3$ पर बदलता है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2]$ को $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ के आधार पर विभाजित करते हैं।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$x^2 \in [0, 1)$,इसलिए $[x^2] = 0$।
$x \in [1, \sqrt{2})$ के लिए,$x^2 \in [1, 2)$,इसलिए $[x^2] = 1$।
$x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$ के लिए,$x^2 \in [2, 3)$,इसलिए $[x^2] = 2$।
$x \in [\sqrt{3}, 2]$ के लिए,$x^2 \in [3, 4]$,इसलिए $[x^2] = 3$।
अतः,$I = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 \, dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 \, dx$।
$I = 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + [2x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + [3x]_{\sqrt{3}}^{2}$।
$I = (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$।
$I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$।
$I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$।

(B) दिए गए समीकरण $y^{2}=x$ (परवलय) और $x^{2}+y^{2}=2x$ (वृत्त) हैं।
वृत्त के समीकरण को $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $(1,0)$ और त्रिज्या $1$ है।
दोनों समीकरणों को हल करने पर: $x^{2}+x=2x \implies x^{2}-x=0 \implies x(x-1)=0$. अतः,$x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
हमें $X$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल चाहिए,इसलिए परवलय के लिए $y = \sqrt{x}$ और ऊपरी अर्धवृत्त के लिए $y = \sqrt{1-(x-1)^{2}}$ लेंगे।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (\sqrt{1-(x-1)^{2}} - \sqrt{x}) dx$ है।
$= \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{1-(x-1)^{2}} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x-1) \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$= \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(0) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin^{-1}(-1) \right) - \frac{2}{3}$
$= 0 - (-\frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) यह क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$y = \cos x$ और $y = \sin x$ द्वारा परिबद्ध है। ये वक्र तब प्रतिच्छेद करते हैं जब $\cos x = \sin x$,जो अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $x = \frac{\pi}{4}$ पर होता है।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \geq \sin x$ है।
अतः,आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$
$= [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$= (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$= \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$= \sqrt{2} - 1 \text{ वर्ग इकाई}$

(C) दिया गया समीकरण: $y = c_{1} e^{c_{2}+x} + c_{3} e^{c_{4}+x}$
घातांक के नियम $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = c_{1} e^{c_{2}} e^{x} + c_{3} e^{c_{4}} e^{x}$
$e^{x}$ को कॉमन लेने पर:
$y = (c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}) e^{x}$
चूंकि $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ स्थिरांक हैं,इसलिए पद $(c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}})$ भी एक स्थिरांक है। मान लीजिए $A = c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}$।
अतः समीकरण सरल होकर प्राप्त होता है:
$y = A e^{x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = A e^{x}$
चूंकि $y = A e^{x}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = y$
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है। अतः,इसकी कोटि $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(2x + 3y^2) dy = y dx$ है।
दोनों पक्षों को $y dy$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{2x + 3y^2}{y}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = 3y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = 3y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = e^{\ln|y^{-2}|} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,लैग्रेंज की सर्वसमिका के अनुसार $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ होता है।
यहाँ $|\vec{a}| = 16$ और $|\vec{b}| = 4$ दिया गया है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\sqrt{|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}} = \sqrt{|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}}$
$= |\vec{a}| |\vec{b}|$
$= (16) \times (4)$
$= 64$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = -2$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
इस मान को प्रक्षेप के सूत्र में रखने पर:
$\frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}{|\vec{b}|} = -2$
$|\vec{a}| \cos \theta = -2$
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ रखने पर:
$|\vec{a}| \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2$
$|\vec{a}| \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$
$|\vec{a}| = (-2) \times (-2)$
$|\vec{a}| = 4$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अदिश त्रिक गुणन को $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना $\vec{x} = \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$,$\vec{y} = \vec{a}-\vec{b}$,और $\vec{z} = \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$ है।
हम सदिश गुणन $\vec{y} \times \vec{z} = (\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$ की गणना करते हैं।
$= \vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,हमें प्राप्त होता है:
$= 0 - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{a} \times \vec{b}) + 0 + (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$.
अब,अदिश गुणन $(\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$ की गणना करें।
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] - 0 + 0 - 2[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] - 0 + 0$.
चूंकि $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$,हमें प्राप्त होता है:
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] - 2(-[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + 2[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.

(B) $XY$-समतल का समीकरण $z = 0$ है।
मान लीजिए कि $XY$-समतल बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु का $z$-निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $z = \frac{kz_2 + z_1}{k + 1}$।
चूंकि यह बिंदु $XY$-समतल पर स्थित है,इसलिए $z = 0$ होगा।
अतः,$0 = \frac{k(-3) + (-5)}{k + 1}$।
इससे $-3k - 5 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3k = -5$,जिससे $k = -\frac{5}{3}$ मिलता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है।
अतः,अनुपात $5:3$ बाह्य है।

(A) माना दी गई रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $A = (2\lambda + 1, \lambda + 2, 2\lambda + 3)$ है।
सदिश $\vec{PA} = (2\lambda + 1 - 1)\hat{i} + (\lambda + 2 - 2)\hat{j} + (2\lambda + 3 - 1)\hat{k} = 2\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} + (2\lambda + 2)\hat{k}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चूँकि $\vec{PA}$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PA} \cdot \vec{v} = 0$।
$(2\lambda)(2) + (\lambda)(1) + (2\lambda + 2)(2) = 0$।
$4\lambda + \lambda + 4\lambda + 4 = 0 \implies 9\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{9}$।
$\lambda = -\frac{4}{9}$ को $A$ में रखने पर,$A = (2(-\frac{4}{9}) + 1, -\frac{4}{9} + 2, 2(-\frac{4}{9}) + 3) = (\frac{1}{9}, \frac{14}{9}, \frac{19}{9})$।
दूरी $PA = \sqrt{(\frac{1}{9} - 1)^2 + (\frac{14}{9} - 2)^2 + (\frac{19}{9} - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + (\frac{10}{9})^2}$।
$PA = \sqrt{\frac{64 + 16 + 100}{81}} = \sqrt{\frac{180}{81}} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$।

(C) माना बिंदु $P(1, 3, 4)$ है और समतल $2x - y + z + 3 = 0$ है। माना $A(x_1, y_1, z_1)$ बिंदु $P$ से समतल पर डाले गए लंब का पाद है।
रेखा $PA$ के दिक अनुपात $(x_1 - 1, y_1 - 3, z_1 - 4)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, 1)$ है।
चूंकि $PA$ समतल पर लंब है,इसलिए $PA$ के दिक अनुपात अभिलंब सदिश के समानुपाती होंगे:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 - 3}{-1} = \frac{z_1 - 4}{1} = \lambda$
इससे हमें $x_1 = 2\lambda + 1$,$y_1 = -\lambda + 3$,और $z_1 = \lambda + 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ समतल $2x - y + z + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(2\lambda + 1) - (-\lambda + 3) + (\lambda + 4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0$
$6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ का मान $x_1, y_1, z_1$ में रखने पर:
$x_1 = 2(-1) + 1 = -1$
$y_1 = -(-1) + 3 = 4$
$z_1 = (-1) + 4 = 3$
अतः,लंब का पाद $(-1, 4, 3)$ है।

(D) रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = (2, -1, 1)$ हैं।
समतल $3x - 4y - z + 5 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, -4, -1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(3) + (-1)(-4) + (1)(-1) = 6 + 4 - 1 = 9$.
परिमाण: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{9}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{9}{\sqrt{156}} = \frac{9}{2\sqrt{39}}$.
अब,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{81}{156}} = \sqrt{\frac{75}{156}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{2\sqrt{13}}\right)$.

(D) माना $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = -2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3 - (-2)) + \hat{k}(1 - (-4)) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25+25+25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \pm \frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ का मान $\frac{5\hat{i}-5\hat{j}+5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है,जो सरल करने पर $\frac{\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $P(A)=0.2$,$P(B)=0.6$ और $P(A \mid B)=0.5$ है।
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.5 = \frac{P(A \cap B)}{0.6}$।
अतः,$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$।
हमें $P(A^{\prime} \mid B)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$।
इस प्रकार,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$।

(B) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है। इस समुच्चय में $3$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ और $4$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7\}$ हैं।
माना $E_1$ सम संख्या चुने जाने की घटना है और $E_2$ विषम संख्या चुने जाने की घटना है।
$P(E_1) = \frac{3}{7}$ और $P(E_2) = \frac{4}{7}$ है।
माना $E$ वह घटना है जिसमें आदमी सम संख्या बताता है।
यदि संख्या सम है,तो वह $\frac{2}{3}$ प्रायिकता के साथ सच बोलता है,इसलिए $P(E \mid E_1) = \frac{2}{3}$ है।
यदि संख्या विषम है,तो वह $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ प्रायिकता के साथ झूठ बोलता है,इसलिए $P(E \mid E_2) = \frac{1}{3}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करके हमें $P(E_1 \mid E)$ ज्ञात करना है:
$P(E_1 \mid E) = \frac{P(E \mid E_1) P(E_1)}{P(E \mid E_1) P(E_1) + P(E \mid E_2) P(E_2)}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7})}{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7}) + (\frac{1}{3})(\frac{4}{7})}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{\frac{6}{21}}{\frac{6}{21} + \frac{4}{21}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(D) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = {}^{n}C_{r} q^{n-r} p^{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
यहाँ $n=6$ दिया गया है,इसलिए:
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} q^{4} p^{2} = 15 q^{4} p^{2} = 12$ (समीकरण $1$)
$P(X=3) = {}^{6}C_{3} q^{3} p^{3} = 20 q^{3} p^{3} = 5$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{15 q^{4} p^{2}}{20 q^{3} p^{3}} = \frac{12}{5}$
$\frac{3q}{4p} = \frac{12}{5}$
$15q = 48p$
$5q = 16p$
चूँकि $q = 1-p$,इसलिए:
$5(1-p) = 16p$
$5 - 5p = 16p$
$5 = 21p$
$p = \frac{5}{21}$

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\Sigma P(X) = 1$.
$(k-1) + 3k + k + 3k + 3k^2 + k^2 + (k^2+k) = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$5k^2 + 9k - 1 = 1$
$5k^2 + 9k - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$5k^2 + 10k - k - 2 = 0$
$5k(k+2) - 1(k+2) = 0$
$(5k-1)(k+2) = 0$
इससे $k = \frac{1}{5}$ या $k = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए। $k = -2$ के लिए,$P(X=1) = -3$ होता है,जो संभव नहीं है।
अतः,$k = \frac{1}{5}$।