KCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $1$. $A(7, 0)$ और $(0, 7)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = 7$ है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $x + y \leq 7$ है।
$2$. $C(0, 2)$ और $B(3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $2x - 3y + 6 = 0$ है। छायांकित क्षेत्र में स्थित बिंदु $(3, 0)$ के लिए जाँच करने पर,$2(3) - 3(0) + 6 = 12 \geq 0$ प्राप्त होता है। अतः,असमिका $2x - 3y + 6 \geq 0$ है।
$3$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$4$. अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) दिया है,$a < b$।
चूंकि $x < 0$,असमिका के दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है।
अतः,$\frac{a}{x} > \frac{b}{x}$।

(C) माना $z = \frac{(1+i)^2(1+3 i)}{(2-6 i)(2-2 i)}$.
मापांक के गुणधर्म $|\frac{z_1 z_2}{z_3 z_4}| = \frac{|z_1| |z_2|}{|z_3| |z_4|}$ का उपयोग करने पर:
$|z| = \frac{|1+i|^2 |1+3i|}{|2-6i| |2-2i|}$
$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $|1+i|^2 = 2$.
$|1+3i| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.
$|2-6i| = \sqrt{2^2+(-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$|2-2i| = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|z| = \frac{2 \times \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \times 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

(A) $3$ महिलाएं और $2$ पुरुष हैं।
पहले,महिलाएं $1$ से $6$ तक चिह्नित कुर्सियों में से चुनती हैं।
चूंकि कुर्सियां क्रमांकित हैं,इसलिए $3$ महिलाओं के लिए $6$ में से $3$ कुर्सियां चुनने के तरीके $^{6}P_{3}$ हैं।
इसके बाद,पुरुष शेष कुर्सियों में से चुनते हैं। दिए गए विकल्पों के अनुसार,पुरुष शेष $4$ कुर्सियों में से चुनते हैं,इसलिए तरीकों की संख्या $^{4}P_{2}$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= ^{6}P_{3} \times ^{4}P_{2}$.

(B) दिए गए पद $AP$ में हैं: $p(\frac{q+r}{qr}), q(\frac{p+r}{pr}), r(\frac{p+q}{pq})$.
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर,अनुक्रम $AP$ में ही रहता है:
$\frac{pq+pr+qr}{qr}, \frac{qp+qr+pr}{pr}, \frac{rp+rq+pq}{pq}$ $AP$ में हैं।
माना $S = pq+pr+qr$. तब $\frac{S}{qr}, \frac{S}{pr}, \frac{S}{pq}$ $AP$ में हैं।
प्रत्येक पद को $S$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $S \neq 0$),हमें $\frac{1}{qr}, \frac{1}{pr}, \frac{1}{pq}$ $AP$ में प्राप्त होते हैं।
प्रत्येक पद को $pqr$ से गुणा करने पर,हमें $p, q, r$ $AP$ में प्राप्त होते हैं।

(B) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$ है।
अंश $1, 3, 5, 7, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
इस $AP$ का $n$वाँ पद $T_n(AP) = a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ है।
हर $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, \dots$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 7$ है।
इस $GP$ का $n$वाँ पद $T_n(GP) = ar^{n-1} = 1 \times 7^{n-1} = 7^{n-1}$ है।
अतः,दी गई श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = \frac{2n-1}{7^{n-1}}$ है।

(B) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-1})^r = {}^nC_r x^{2n-3r}$ है।
चूंकि $n$ सम है,मध्य पद $(\frac{n}{2} + 1)$-वां पद है,जहाँ $r = \frac{n}{2}$ है।
$r = \frac{n}{2}$ रखने पर,हमें $T_{\frac{n}{2}+1} = {}^nC_{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि मध्य पद $924 x^6$ है,इसलिए $\frac{n}{2} = 6$,जिसका अर्थ है $n = 12$ है।
गुणांक की जाँच करने पर: ${}^{12}C_6 = 924$ है।
अतः,$n = 12$ सही मान है।

(C) माना $S = \log _{10} \tan 1^{\circ} + \log _{10} \tan 2^{\circ} + \ldots + \log _{10} \tan 89^{\circ}$ है।
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$S = \log _{10} (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ})$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर: $(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) = 1, (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) = 1, \ldots, (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) = 1$ प्राप्त होता है।
मध्य पद $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
अतः,गुणनफल $1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1$ है।
इसलिए,$S = \log _{10} (1) = 0$ है।
अतः,$e^S = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $3x+y=3$ की ढाल $m_1 = -3$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना होगा।
अतः,$m_2 = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$।
$(2,2)$ से गुजरने वाली और $m_2 = \frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3y - 6 = x - 2$,जो सरल होकर $x - 3y = -4$ हो जाता है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखते हैं:
$0 - 3y = -4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$।
अतः,$y$-अंतःखंड $\frac{4}{3}$ है।

(D) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ है।
चूंकि उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ है,इसलिए $2a(\sqrt{2}) = 16$,जिसका अर्थ है $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 32$ और $b^2 = 32$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 32$ हो जाता है।

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (2+x)-\sin (2-x)}{x} = A \cos B$ है।
$C = 2+x$ और $D = 2-x$ रखने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(\frac{2+x+2-x}{2}\right) \sin \left(\frac{2+x-(2-x)}{2}\right)}{x} = A \cos B$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos (2) \sin (x)}{x} = A \cos B$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$2 \cos 2 = A \cos B$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$A = 2$ और $B = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया कथन $P \implies Q$ के रूप में है,जहाँ $P$ है "दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं" और $Q$ है "वे समांतर हैं"।
$P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक कथन $\neg Q \implies \neg P$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$\neg Q$ है "दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं" और $\neg P$ है "दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं,तो वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं।"
यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(A) हम जानते हैं कि मानक विचलन $\sigma$ का सूत्र है:
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
दिया गया है:
$n = 100$
$\bar{x} = 50$
$\sigma = 5$
मान रखने पर:
$5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$
$\Sigma x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$
अतः,सभी प्रेक्षणों के वर्गों का योग $252500$ है।

(A) विकल्प $A$ के लिए: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x \in \mathbb{R}$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(x^2 \ge 0)$ होता है,इसलिए ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो $x^2=-1$ को संतुष्ट करे। अतः,यह समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^2-9=0$ $\Rightarrow x^2=9$ $\Rightarrow x = \pm 3$। यह समुच्चय $\{3, -3\}$ है,जो रिक्त नहीं है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^2-x-2=0$ $\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=2, -1$। यह समुच्चय $\{2, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।
विकल्प $D$ के लिए: $x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x = \pm 1$। यह समुच्चय $\{1, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है,$f(x) = ax + b$,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं।
हमें $f(-1) = -5$ और $f(4) = 3$ दिया गया है।
फलन में $x = -1$ रखने पर:
$f(-1) = a(-1) + b = -5$
$-a + b = -5$ (समीकरण $i$)
फलन में $x = 4$ रखने पर:
$f(4) = a(4) + b = 3$
$4a + b = 3$ (समीकरण $ii$)
यदि हम $f(3)=3$ मान लें:
$3a + b = 3$ (समीकरण $ii$)
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ घटाने पर:
$(3a + b) - (-a + b) = 3 - (-5)$
$4a = 8 \implies a = 2$
$a = 2$ को समीकरण $i$ में रखने पर:
$-2 + b = -5 \implies b = -3$
अतः,$a = 2$ और $b = -3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया संबंध $3 a+2 b=27$ है जहाँ $a, b \in N$ (प्राकृत संख्याएँ)।
$2 b = 27 - 3 a$
$b = \frac{3(9 - a)}{2}$
चूँकि $b$ एक प्राकृत संख्या होनी चाहिए,इसलिए $3(9 - a)$ सम और धनात्मक होना चाहिए।
$a = 1$ के लिए,$b = 12$।
$a = 3$ के लिए,$b = 9$।
$a = 5$ के लिए,$b = 6$।
$a = 7$ के लिए,$b = 3$।
$a = 9$ के लिए,$b = 0$ (जो प्राकृत संख्या नहीं है)।
अतः,$R = \{(1, 12), (3, 9), (5, 6), (7, 3)\}$।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $(-3, 0)$,$(3, 0)$ और $(0, k)$ हैं और क्षेत्रफल $\Delta = 9$ है।
मान रखने पर:
$9 = \frac{1}{2} |-3(0 - k) + 3(k - 0) + 0(0 - 0)|$
$9 = \frac{1}{2} |3k + 3k|$
$9 = \frac{1}{2} |6k|$
$9 = |3k|$
इसका अर्थ है कि $3k = 9$ या $3k = -9$।
अतः,$k = 3$ या $k = -3$।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$x\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
अदिश $x$ और $y$ को आव्यूहों से गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 3x \\ 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y \\ -y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
बाईं ओर के आव्यूहों को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} 3x + y \\ 2x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 5 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$3x + y = 15$ --- $(i)$
$2x - y = 5$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(3x + y) + (2x - y) = 15 + 5$
$5x = 20 \Rightarrow x = 4$
$x = 4$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(4) + y = 15$
$12 + y = 15 \Rightarrow y = 3$
अतः,$x = 4$ और $y = 3$ प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है,$AB = B$ और $BA = A$।
हमें $A^2 + B^2$ का मान ज्ञात करना है।
$A^2 = A \cdot A = A(BA) = (AB)A = BA = A$।
$B^2 = B \cdot B = B(AB) = (BA)B = AB = B$।
अतः,$A^2 + B^2 = A + B$।

(D) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ और $AB = I$ है।
चूंकि $AB = I$,इसलिए $B = A^{-1}$ होगा।
$A$ का सारणिक $|A| = (1)(1) - (\tan \frac{\alpha}{2})(-\tan \frac{\alpha}{2}) = 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \sec^2 \frac{\alpha}{2}$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $\frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$,इसलिए $B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \cdot A^T$ होगा।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ} & -1 \\ \sin ^2 66^{\circ} & -1 & \sin ^2 14^{\circ} \\ -1 & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$,क्योंकि $\tan 135^{\circ} = -1$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin ^2 14^{\circ} + \sin ^2 66^{\circ} - 1 & \sin ^2 66^{\circ} & -1 \\ \sin ^2 66^{\circ} - 1 + \sin ^2 14^{\circ} & -1 & \sin ^2 14^{\circ} \\ -1 + \sin ^2 14^{\circ} + \sin ^2 66^{\circ} & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$
यहाँ सारणिक का मान गणना करने पर $0$ प्राप्त होता है।

(B) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक $|A| = 0$ हो।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2-k & 2 \\ 1 & 3-k \end{bmatrix}$.
$|A| = (2-k)(3-k) - (2)(1) = 0$.
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$6 - 2k - 3k + k^2 - 2 = 0$.
$k^2 - 5k + 4 = 0$.
$k^2 - 5k = -4$.
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर:
$5k - k^2 = 4$.

(C) दिया गया है,$\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$ और $\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
सबसे पहले,हम $\Delta$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)$.
अब,$\Delta_1$ के लिए,सारणिक के गुणों का उपयोग करने पर:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \\ a & b & c\end{array}\right|$.
इस सारणिक को हल करने पर हमें प्राप्त होता है कि $\Delta_1 = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
अतः,$\Delta_1 = -\Delta$.

(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x})^2}{(1-\sin x)-(1+\sin x)} = \frac{1-\sin x + 1+\sin x + 2\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{-2\sin x} = -\frac{1+\cos x}{\sin x}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ और $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = -\cot\frac{x}{2}$.
अतः,$y = \cot^{-1}(-\cot\frac{x}{2})$.
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(-z) = \pi - \cot^{-1}(z)$,इसलिए $y = \pi - \cot^{-1}(\cot\frac{x}{2})$.
दिया गया है कि $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,इसलिए $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$,अतः $y = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $a \in (0, 1)$ के लिए:
$\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
$\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right) = 2 \tan ^{-1} a$
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \tan ^{-1} a + 2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$
$4 \tan ^{-1} a = 2 \tan ^{-1} x$
$2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1} x$
सूत्र $2 \tan ^{-1} a = \tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2 a}{1-a^2}\right) = \tan ^{-1} x$
अतः,$x = \frac{2 a}{1-a^2}$।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = \sqrt{x}$।
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ के लिए,डोमेन $g(x)$ के डोमेन द्वारा सीमित है,जो $[0, \infty)$ है।
अतः,$(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ जहाँ $x \ge 0$ है।
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$ है।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
$A$: $(f \circ g)(-4)$ अपरिभाषित है क्योंकि $-4$,$g(x) = [0, \infty)$ के डोमेन में नहीं है।
$B$: $(f \circ g)(2) = 2$ है।
$C$: $(g \circ f)(-2) = |-2| = 2$ है।
$D$: $(g \circ f)(4) = |4| = 4$ है।
चूंकि $(f \circ g)(-4)$ अपरिभाषित है,इसलिए विकल्प $A$ सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है कि $f(x)=3 x^2-5$ और $g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ है।
हमें संयुक्त फलन $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करना है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)(x) = g(3 x^2-5) = \frac{3 x^2-5}{(3 x^2-5)^2+1}$।
हर का विस्तार करने पर:
$(3 x^2-5)^2+1 = (9 x^4 - 30 x^2 + 25) + 1 = 9 x^4 - 30 x^2 + 26$।
अतः,$(g \circ f)(x) = \frac{3 x^2-5}{9 x^4-30 x^2+26}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \sin 2x + \cos 2x$ और $g(x) = x^2 - 1$।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1$
$g(f(x)) = (\sin^2 2x + \cos^2 2x + 2 \sin 2x \cos 2x) - 1$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$:
$g(f(x)) = (1 + \sin 4x) - 1 = \sin 4x$।
एक फलन व्युत्क्रमणीय होता है यदि वह दिए गए डोमेन में एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) हो।
फलन $y = \sin \theta$ अंतराल $\theta \in \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में व्युत्क्रमणीय है।
यहाँ,$\theta = 4x$,इसलिए हम रखते हैं:
$\frac{-\pi}{2} \le 4x \le \frac{\pi}{2}$
$4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-\pi}{8} \le x \le \frac{\pi}{8}$।
अतः,$g(f(x))$ डोमेन $x \in \left[\frac{-\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$ में व्युत्क्रमणीय है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{x+2}$ है।
संयुक्त फलन $y = f(f(x))$ के लिए,हम जानते हैं कि $f(x)$,$x = -2$ पर परिभाषित नहीं है।
अब,$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x+2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x+2} + 2}$ की गणना करते हैं।
हर का सरलीकरण करने पर: $\frac{1}{x+2} + 2 = \frac{1 + 2(x+2)}{x+2} = \frac{1 + 2x + 4}{x+2} = \frac{2x + 5}{x+2}$.
अतः,$f(f(x)) = \frac{x+2}{2x+5}$.
यह संयुक्त फलन तब अपरिभाषित होता है जब हर $2x+5 = 0$ हो,जिससे हमें $x = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,मूल फलन $f(x)$ परिभाषित होना चाहिए,इसलिए $x \neq -2$.
अतः,असांतत्य के बिंदु $x = -2$ और $x = -\frac{5}{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही असांतत्य बिंदु $-\frac{5}{2}$ है।

(D) दिया गया है $g(x)=x-\frac{1}{x}$.
हमें $f \circ g(x) = x^3-\frac{1}{x^3}$ दिया गया है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$ जानते हैं,जिसका अर्थ है $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।
$a=x$ और $b=\frac{1}{x}$ रखने पर,हमें $x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x)(\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
अतः,$f \circ g(x) = (x-\frac{1}{x})^3 + 3(x-\frac{1}{x})$।
चूंकि $g(x) = x-\frac{1}{x}$,हम लिख सकते हैं $f(g(x)) = (g(x))^3 + 3(g(x))$।
$g(x)$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x^3 + 3x$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \cot x$ है।
हम इसे $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
एक परिमेय फलन वहाँ असंतत होता है जहाँ उसका हर शून्य के बराबर होता है।
इसलिए,$f(x)$ वहाँ असंतत है जहाँ $\sin x = 0$ है।
$\sin x = 0$ का व्यापक हल $x = n\pi$ है,जहाँ $n \in Z$ है।
अतः,फलन $f(x) = \cot x$ समुच्चय $\{x = n\pi ; n \in Z\}$ पर असंतत है।

(C) दिया गया है कि $u = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $u = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.
दिया गया है कि $v = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \tan^{-1}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$.
अब,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{2/(1+x^2)}{2/(1+x^2)} = 1$.

(A) दिया गया है,$f(x)=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+\ldots+x^n$.
द्विपद प्रमेय के अनुसार,हम जानते हैं कि $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots + x^n$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = (1+x)^n$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का प्रथम अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}$.
इसके बाद,$f(x)$ का द्वितीय अवकलन करने पर:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[n(1+x)^{n-1}] = n(n-1)(1+x)^{n-2}$.
अंत में,द्वितीय अवकलन में $x=1$ रखने पर:
$f''(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2} = n(n-1)2^{n-2}$.

(B) दिया गया है,$s = \frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}) = 2 t^2 - 18$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2 t^2 - 18) = 4 t$.
कण विराम अवस्था में आता है जब $v = 0$ हो।
$2 t^2 - 18 = 0 \Rightarrow 2 t^2 = 18 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \ s$ (चूंकि $t > 0$ है)।
अब,त्वरण के समीकरण में $t = 3$ रखने पर:
$a = 4(3) = 12 \ m/s^2$.

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{16} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{x}{8} \frac{dx}{dt} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
दिया गया है कि भुज के परिवर्तन की दर $(\frac{dx}{dt})$ कोटि के परिवर्तन की दर $(\frac{dy}{dt})$ की $4$ गुनी है,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 4 \frac{dy}{dt}$.
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{8} (4 \frac{dy}{dt}) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
$(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) \frac{dy}{dt} = 0$.
चूँकि $\frac{dy}{dt} \neq 0$,इसलिए $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = -y$.
$x = -y$ को मूल वक्र समीकरण में रखने पर:
$\frac{(-y)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$\frac{y^2}{16} + \frac{4y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{5y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{16}{5}$.
अतः,$y = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$.
चूँकि $x = -y$,यदि $y = \frac{4}{\sqrt{5}}$,तो $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$ (द्वितीय चतुर्थांश).
यदि $y = -\frac{4}{\sqrt{5}}$,तो $x = \frac{4}{\sqrt{5}}$ (चतुर्थ चतुर्थांश).
अतः,कण $II$ या $IV$ चतुर्थांश में स्थित है.

(C) माना कि $r$ वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या है और $A$ किसी भी समय $t$ पर उसका क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.05 \text{ cm/s}$ है।
हमें $r = 5.2 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 5.2 \times 0.05$.
$\frac{dA}{dt} = 10.4 \times 0.05 \times \pi = 0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,जब त्रिज्या $5.2 \text{ cm}$ है,तो क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(C) मान लीजिए जेट की स्थिति $P(x, y)$ है और सैनिक $A(3, 2)$ पर स्थित है।
दूरी $AP = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि जेट $y = x^2 + 2$ वक्र का अनुसरण करता है,इसलिए $y - 2 = x^2$ है।
इसे दूरी के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,मान लीजिए $z = (AP)^2 = (x - 3)^2 + (x^2)^2 = (x - 3)^2 + x^4$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करते हैं: $\frac{dz}{dx} = 2(x - 3) + 4x^3$।
$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $4x^3 + 2x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x^3 + x - 3 = 0$ हो जाता है।
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $2(1)^3 + 1 - 3 = 0$ है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2z}{dx^2} = 12x^2 + 2$। $x = 1$ पर,$\frac{d^2z}{dx^2} = 14 > 0$,इसलिए $x = 1$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
$x = 1$ के लिए,$y = (1)^2 + 2 = 3$ है।
न्यूनतम दूरी $\sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ इकाई है।

(A) माना $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x - \sin x} \, dx$
$I = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} - \sin x} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \sin^2 x}{\sin x}} \, dx$
$I = \int \frac{\sqrt{\cos^2 x}}{\sqrt{\sin x}} \, dx = \int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} \, dx$
माना $u = \sin x$,तब $du = \cos x \, dx$
$I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} \, du$
$I = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$
$u = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = 2\sqrt{\sin x} + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{1}{1+3 \sin ^2 x+8 \cos ^2 x} d x$ है।
अंश और हर को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x+3 \tan ^2 x+8} d x$.
चूंकि $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$,इसलिए:
$I = \int \frac{\sec ^2 x}{1 + \tan ^2 x + 3 \tan ^2 x + 8} d x = \int \frac{\sec ^2 x}{4 \tan ^2 x + 9} d x$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec ^2 x d x = d t$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{d t}{4 t^2 + 9} = \frac{1}{4} \int \frac{d t}{t^2 + (3/2)^2}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3/2} \tan^{-1}(\frac{t}{3/2}) + C = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{2t}{3}) + C$।
$I = \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{2 \tan x}{3}) + C$।

(C) माना $I = \int \sqrt{5-2x+x^2} dx$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है $5-2x+x^2 = (x-1)^2 + 4 = (x-1)^2 + 2^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ को $(x-1)$ से और $a=2$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{(x-1)^2 + 2^2} + \frac{2^2}{2} \log |(x-1) + \sqrt{(x-1)^2 + 2^2}| + C$.
$I = \frac{x-1}{2} \sqrt{5-2x+x^2} + 2 \log |(x-1) + \sqrt{5-2x+x^2}| + C$.

(B) माना $I = \int_{-2}^0 (x^3+3x^2+3x+3+(x+1) \cos(x+1)) \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_{-2}^0 ((x+1)^3 + 2 + (x+1) \cos(x+1)) \, dx$.
$t = x+1$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = -2$,तब $t = -1$ और जब $x = 0$,तब $t = 1$।
अतः,$I = \int_{-1}^1 (t^3 + 2 + t \cos t) \, dt$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int_{-1}^1 t^3 \, dt + \int_{-1}^1 2 \, dt + \int_{-1}^1 t \cos t \, dt$.
चूँकि $f(t) = t^3$ और $g(t) = t \cos t$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ अंतराल पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + [2t]_{-1}^1 + 0 = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

(C) माना $I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{10-x}}} dx$ $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-(2+8-x)}}}{5^{\sqrt{2+8-x}} + 5^{\sqrt{10-(2+8-x)}}} dx$
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-10+x}}}{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{10-10+x}}} dx$
$I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{x}}}{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{x}}} dx$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}} + 5^{\sqrt{x}}}{5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{10-x}}} dx$
$2I = \int_2^8 1 dx$
$2I = [x]_2^8 = 8 - 2 = 6$
$I = \frac{6}{2} = 3$

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x \cdot \operatorname{cosec} x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x) \operatorname{cosec}(\pi-x)} d x$
चूंकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$,$\sec(\pi-x) = -\sec x$,और $\operatorname{cosec}(\pi-x) = \operatorname{cosec} x$,अतः:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{(-\sec x)(\operatorname{cosec} x)} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} d x$
चूंकि $\frac{\tan x}{\sec x \operatorname{cosec} x} = \sin^2 x$ है:
$2I = \pi \int_0^\pi \sin^2 x d x = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} d x$
$2I = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2} [(\pi - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi^2}{2}$
$I = \frac{\pi^2}{4}$

(D) वक्र $y=f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} f(x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x+1$,$a=3$,और $b=5$ है।
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल,$A = \int_{3}^{5} (x+1) dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{3}^{5}$
$= \left( \frac{5^2}{2} + 5 \right) - \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25}{2} + 5 \right) - \left( \frac{9}{2} + 3 \right)$
$= \left( \frac{25+10}{2} \right) - \left( \frac{9+6}{2} \right)$
$= \frac{35}{2} - \frac{15}{2}$
$= \frac{20}{2} = 10 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वक्र $y = \tan x$ और $y = \cot x$ हैं। वे वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\tan x = \cot x$,जिसका अर्थ है $\tan^2 x = 1$,इसलिए $\tan x = 1$ (चूंकि $x \in (0, \pi / 2)$),जिससे $x = \pi / 4$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(0, \pi / 2)$ में वक्रों $y = \tan x$,$y = \cot x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्रफल दो भागों का योग है:
$1$. $x = 0$ से $x = \pi / 4$ तक,क्षेत्रफल $y = \tan x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
$2$. $x = \pi / 4$ से $x = \pi / 2$ तक,क्षेत्रफल $y = \cot x$ और $X$-अक्ष द्वारा घिरा है।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \int_0^{\pi / 4} \tan x \, dx + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \cot x \, dx$
$= [\log |\sec x|]_0^{\pi / 4} + [\log |\sin x|]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$
$= (\log \sec(\pi / 4) - \log \sec 0) + (\log \sin(\pi / 2) - \log \sin(\pi / 4))$
$= (\log \sqrt{2} - \log 1) + (\log 1 - \log(1 / \sqrt{2}))$
$= \log \sqrt{2} + \log \sqrt{2} = 2 \log \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = \log 2 \text{ वर्ग इकाई.}$

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2=\left(\frac{d^2y}{dx^2}+1\right)^{1/3}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का घन (cube) करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right]^3 = \frac{d^2y}{dx^2}+1$.
बाएँ पक्ष का $(a+b+c)^3$ का उपयोग करके विस्तार करने पर,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की अधिकतम घात $\left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^6$ पद से प्राप्त होगी।
चूंकि उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है और समीकरण को परिमेय बनाने के बाद इसकी अधिकतम घात $6$ है,इसलिए अवकल समीकरण की घात $6$ है।

(C) दिया गया है,$y=a \sin x+b \cos x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x} = a \cos x - b \sin x$
अब,व्यंजक $y^2 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ पर विचार करें:
$y^2 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (a \sin x + b \cos x)^2 + (a \cos x - b \sin x)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$= (a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x + 2ab \sin x \cos x) + (a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x - 2ab \sin x \cos x)$
पदों को समूहित करने पर:
$= a^2(\sin^2 x + \cos^2 x) + b^2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$= a^2(1) + b^2(1) = a^2 + b^2$
चूंकि $a$ और $b$ अचर हैं,इसलिए $a^2 + b^2$ एक अचर है।
अतः,यह व्यंजक एक अचर है।

(D) माना वक्र का समीकरण $y=f(x)$ है।
चूंकि वक्र बिंदु $(1,1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(1)=1$ है।
प्रश्न के अनुसार,वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,इसकी स्पर्शरेखा की ढाल $(\frac{dy}{dx})$ और $x$-निर्देशांक का गुणनफल $y$-निर्देशांक के बराबर है।
अतः,$x \cdot \frac{dy}{dx} = y$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y = kx$ प्राप्त होता है,जहाँ $k = e^C$ है।
शर्त $f(1)=1$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=1$ को $y=kx$ में रखने पर $1 = k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=1$ है।
अतः वक्र का समीकरण $y=x$ है।
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(2,2)$ समीकरण $y=x$ को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया है कि $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 144$ और $|a| = 4$ है।
हम जानते हैं कि $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ और $|a \cdot b| = |a||b| \cos \theta$ होता है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|a|^2|b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2|b|^2 \cos^2 \theta = 144$
$|a|^2|b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 144$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है,इसलिए:
$|a|^2|b|^2 = 144$
यहाँ $|a| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|a|^2 = 16$ होगा।
$16 \times |b|^2 = 144$
$|b|^2 = \frac{144}{16} = 9$
$|b| = \sqrt{9} = 3$.

(C) दिया गया समीकरण $a+2b+3c=0$ है।
समीकरण का $c$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$(a+2b+3c) \times c = 0 \times c = 0$
$a \times c + 2(b \times c) + 3(c \times c) = 0$
चूंकि $c \times c = 0$,इसलिए $a \times c + 2(b \times c) = 0$,जिसका अर्थ है $c \times a = 2(b \times c)$।
समीकरण का $b$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$(a+2b+3c) \times b = 0 \times b = 0$
$a \times b + 2(b \times b) + 3(c \times b) = 0$
चूंकि $b \times b = 0$,इसलिए $a \times b - 3(b \times c) = 0$,जिसका अर्थ है $a \times b = 3(b \times c)$।
अब,इन मानों को दी गई अभिव्यक्ति में रखने पर:
$(a \times b) + (b \times c) + (c \times a) = 3(b \times c) + (b \times c) + 2(b \times c) = 6(b \times c)$।
इसे $\lambda(b \times c)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 6$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $|a+b|=|a-b|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a+b|^2 = |a-b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $a \cdot a + b \cdot b + 2(a \cdot b) = a \cdot a + b \cdot b - 2(a \cdot b)$.
समीकरण को सरल करने पर: $2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$,जिसका अर्थ है कि $4(a \cdot b) = 0$.
अतः,$a \cdot b = 0$.
चूंकि दो गैर-शून्य सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य तभी होता है जब वे लंबवत हों,इसलिए $a$ और $b$ लंबवत हैं।

(C) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Component} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$।
माना $\vec{a} = \hat{i}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(2) = 1$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$।
अतः,$\hat{i}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\frac{1}{\sqrt{6}}$ होगा।
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि दिशा कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{3}$ हैं।
मान लीजिए कि रेखा $Z$-अक्ष के साथ $\gamma$ कोण बनाती है।
हम दिककोज्या (direction cosines) का गुण जानते हैं: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि कोण $\gamma$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\gamma = \frac{\pi}{4}$।

(C) माना बिंदु $P(3, -1, 11)$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद $L$ है।
चूँकि $L$ रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4} = t$ पर स्थित है,इसलिए $L$ के निर्देशांक $(2t, 3t+2, 4t+3)$ हैं।
रेखा $PL$ के दिक अनुपात $(2t-3, 3t+2-(-1), 4t+3-11)$ अर्थात $(2t-3, 3t+3, 4t-8)$ हैं।
चूँकि $PL$ रेखा $(2, 3, 4)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2t-3) + 3(3t+3) + 4(4t-8) = 0$.
$4t - 6 + 9t + 9 + 16t - 32 = 0$.
$29t - 29 = 0 \implies t = 1$.
$t=1$ रखने पर,$L$ के निर्देशांक $(2, 5, 7)$ प्राप्त होते हैं।
लंब $PL$ की लंबाई $P(3, -1, 11)$ और $L(2, 5, 7)$ के बीच की दूरी है:
$PL = \sqrt{(2-3)^2 + (5-(-1))^2 + (7-11)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}$.

(C) तीन असंरेख बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(2,1,0)$,$(3,2,-2)$ और $(3,1,7)$ को सूत्र में रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 3-2 & 2-1 & -2-0 \\ 3-2 & 1-1 & 7-0 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(7 - 0) - (y-1)(7 - (-2)) + z(0 - 1) = 0$
$(x-2)(7) - (y-1)(9) - z = 0$
$7x - 14 - 9y + 9 - z = 0$
$7x - 9y - z - 5 = 0$

(B) लंब का पाद $P(2,3,-1)$ है और वह बिंदु जहाँ से लंब डाला गया है $A(4,2,1)$ है।
चूँकि रेखाखंड $AP$ समतल पर लंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात रेखा $AP$ के दिक-अनुपात के समान होंगे।
अभिलंब के दिक-अनुपात $(4-2, 2-3, 1-(-1)) = (2, -1, 2)$ हैं।
अतः,समतल का समीकरण $2x - y + 2z + d = 0$ के रूप में होगा।
चूँकि समतल बिंदु $(2,3,-1)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2) - (3) + 2(-1) + d = 0$
$4 - 3 - 2 + d = 0$
$-1 + d = 0$
$d = 1$.
अतः,समतल का अभीष्ट समीकरण $2x - y + 2z + 1 = 0$ है।

(B) माना $\frac{x+1}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{-(z-2)}{2}=k$.
अतः,इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z)$ इस प्रकार होंगे:
$x = k-1$
$y = 3k-3$
$z = -2k+2$
यह रेखा समतल $3x+4y+5z=10$ को प्रतिच्छेद करती है।
$x, y, z$ के मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$3(k-1) + 4(3k-3) + 5(-2k+2) = 10$
$3k - 3 + 12k - 12 - 10k + 10 = 10$
$5k - 5 = 10$
$5k = 15$
$k = 3$
अब,$k=3$ को निर्देशांक के समीकरणों में रखने पर:
$x = 3-1 = 2$
$y = 3(3)-3 = 6$
$z = -2(3)+2 = -4$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 6, -4)$ है।

(D) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक कुल फलनों की संख्या $|B|^{|A|} = 2^4 = 16$ है।
एक आच्छादक (onto) फलन का अर्थ है कि $B$ के प्रत्येक अवयव का $A$ में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब होना चाहिए।
जो फलन आच्छादक नहीं हैं,वे केवल अचर फलन हैं: $f(x) = a$ सभी $x \in A$ के लिए और $f(x) = b$ सभी $x \in A$ के लिए।
ऐसे $2$ अचर फलन हैं।
आच्छादक फलनों की संख्या $= 16 - 2 = 14$ है।
आच्छादक फलन की प्रायिकता $= \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$।

(A) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ और $P(B|A) = \frac{2}{3}$।
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(E_1|E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$ होता है।
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{P(A \cap B)}{1/4}$
$P(A \cap B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$।
अब,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{1/6}{P(B)}$
$P(B) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$।

(C) माना $E_1$ एक असामान्य सिक्का (दोनों तरफ चित वाला) चुनने की घटना है और $E_2$ एक निष्पक्ष सिक्का चुनने की घटना है।
सिक्कों की कुल संख्या $= 2n+1$.
असामान्य सिक्कों की संख्या $= n$,इसलिए $P(E_1) = \frac{n}{2n+1}$.
निष्पक्ष सिक्कों की संख्या $= n+1$,इसलिए $P(E_2) = \frac{n+1}{2n+1}$.
माना $H$ वह घटना है जिसमें उछाल का परिणाम चित है।
असामान्य सिक्के के लिए,$P(H|E_1) = 1$.
निष्पक्ष सिक्के के लिए,$P(H|E_2) = \frac{1}{2}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(H) = P(E_1)P(H|E_1) + P(E_2)P(H|E_2)$
$\frac{31}{42} = \left(\frac{n}{2n+1}\right)(1) + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$
$\frac{31}{42} = \frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{3n+1}{4n+2}$
$31(4n+2) = 42(3n+1)$
$124n + 62 = 126n + 42$
$2n = 20$
$n = 10$.