अवकल समीकरण x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} cos x d | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ है। दोनों पक्षों को $x^{2} dx$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त

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$y = x^{2} \sin x + cx^{2}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ है। दोनों पक्षों को $x^{2} dx$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^{2} \cos x$। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{2}{x}$ और $Q = x^{2} \cos x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = e^{\ln |x^{-2}|} = \frac{1}{x^{2}}$। व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + c$ है। मान रखने पर: $y \cdot \frac{1}{x^{2}} = \int (x^{2} \cos x) \cdot \frac{1}{x^{2}} dx + c$। $\frac{y}{x^{2}} = \int \cos x dx + c$। $\frac{y}{x^{2}} = \sin x + c$। $x^{2}$ से गुणा करने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है: $y = x^{2} \sin x + cx^{2}$।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

अवकल समीकरण $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ का व्यापक हल है

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