KCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) पहली असमिका के लिए: $3x + 8 < 17$ $\Rightarrow 3x < 9$ $\Rightarrow x < 3$.
दूसरी असमिका के लिए: $2x + 8 \geq 12$ $\Rightarrow 2x \geq 4$ $\Rightarrow x \geq 2$.
अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
सामान्य हलों का समुच्चय $x < 3$ और $x \geq 2$ का प्रतिच्छेदन है,जो अंतराल $[2, 3)$ है।
चूंकि कथन $(II)$ में समुच्चय $(2, 3)$ दिया गया है,जिसमें $2$ शामिल नहीं है,इसलिए कथन $(II)$ असत्य है।

(D) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $Z_1$ और $Z_2$ के लिए,उनके योग का मापांक उनके मापांकों के योग से कम या उसके बराबर होता है,अर्थात $\left|Z_1+Z_2\right| \leq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$.
अतः,कथन $\left|Z_1+Z_2\right| \geq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$ सामान्यतः असत्य है।

(B) एक चार अंकों की संख्या सम होती है यदि उसका इकाई अंक $0$ या $2$ हो। चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: इकाई अंक $0$ है।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(1, 2, 3)$ द्वारा $3! = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: इकाई अंक $2$ है।
हजार के स्थान पर $0$ या $2$ नहीं आ सकता। अतः,हजार का स्थान $1$ या $3$ द्वारा ($2$ तरीकों से) भरा जा सकता है।
शेष $2$ स्थानों को शेष $2$ अंकों द्वारा $2! = 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके = $2 \times 2 = 4$ तरीके।
कुल सम संख्याएँ = $6 + 4 = 10$.

(B) एक अष्टभुज में $n = 8$ भुजाएँ होती हैं।
$n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
सूत्र में $n = 8$ रखने पर:
$\text{विकर्णों की संख्या} = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
अतः,विकर्णों की संख्या $20$ है।

(B) माना $G$.$P$. का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
$G$.$P$. का $n^{\text{th}}$ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$x = T_4 = ar^3$
$y = T_{10} = ar^9$
$z = T_{16} = ar^{15}$
अब,$xz$ का गुणनफल लें:
$xz = (ar^3)(ar^{15}) = a^2r^{18} = (ar^9)^2$
चूंकि $y = ar^9$,इसलिए $xz = y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sqrt{xz}$.

(C) $(a + b)^m$ के द्विपद विस्तार में पदों की संख्या $m + 1$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $(2x + 3)^{3n}$ के लिए,पदों की संख्या $(3n + 1)$ है।
प्रश्न के अनुसार,पदों की संख्या $22$ है।
अतः,$3n + 1 = 22$.
$3n = 21$.
$n = 7$.

(A) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$A$: $\cos 5 \pi = -1$ और $\cos 4 \pi = 1$ है। चूँकि $-1 \neq 1$,यह कथन गलत है।
$B$: $\sin 2 \pi = 0$ और $\sin (-2 \pi) = 0$ है। यह सही है।
$C$: $\sin 4 \pi = 0$ और $\sin 6 \pi = 0$ है। यह सही है।
$D$: $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\tan (-315^{\circ}) = \tan (-315^{\circ} + 360^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$ है। यह सही है।
अतः,गलत कथन $A$ है।

(B) दिया गया है कि $\cos x + \cos^2 x = 1$ है।
इससे,$\cos x = 1 - \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x = \cos x$ मिलता है।
अब,हमें $\sin^2 x + \sin^4 x$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin^2 x = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin^2 x + \sin^4 x = \cos x + (\cos x)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos x + \cos^2 x = 1$ है,इसलिए इसका मान $1$ है।

(A) हम जानते हैं कि साइन फलन का परिसर $-1 \leq \sin x \leq 1$ है।
$f(x) = 1 - \sin x$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $1$ में से $\sin x$ का अधिकतम संभव मान घटाना होगा।
चूंकि $\sin x$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए:
$f_{\min} = 1 - (\sin x)_{\max} = 1 - 1 = 0$.

(B) दी गई रेखा $x + 6y = 5$ है,जिसे $y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{6}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.
$(-1, -3)$ से गुजरने वाली और $m = 6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - (-3) = 6(x - (-1))$
$y + 3 = 6(x + 1)$
$y + 3 = 6x + 6$
$6x - y = -3$.
$x$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $y = 0$ रखते हैं:
$6x - 0 = -3$
$6x = -3$
$x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^2+3y^2=12$
$12$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का दीर्घवृत्त है,जहाँ $a^2 = 12$ और $b^2 = 4$ है।
अतः,$a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ और $b = 2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= \frac{2 \times 4}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ इकाई।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(x^4-\sqrt{x})}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{4x^3 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} \left( \frac{4x^3}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} - \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \right)$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} (8x^3\sqrt{x} - 1)$
$L = 8(1)^3\sqrt{1} - 1 = 8 - 1 = 7$.

(B) चरण $1$: आंकड़ों का माध्य $(\mu)$ ज्ञात कीजिए।
$\mu = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
चरण $2$: माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र $\frac{1}{N} \sum |x_i - \mu|$ का उपयोग कीजिए।
$|4-10| = 6, |7-10| = 3, |8-10| = 2, |9-10| = 1, |10-10| = 0, |12-10| = 2, |13-10| = 3, |17-10| = 7$.
निरपेक्ष विचलनों का योग $= 6+3+2+1+0+2+3+7 = 24$.
माध्य विचलन $= \frac{24}{8} = 3$.

(C) दिया गया है $|A| = 3$ और $|B| = 6$।
$A \cup B$ के लिए,सूत्र $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ है।
$|A \cup B|$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $|A \cap B|$ को अधिकतम करना होगा। $|A \cap B|$ का अधिकतम मान $\min(|A|, |B|) = 3$ है।
अतः,$\min |A \cup B| = 3 + 6 - 3 = 6$। इसलिए,कथन $(I)$ सही है।
$A \cap B$ के लिए,अधिकतम मान $\min(|A|, |B|) = 3$ है।
अतः,$\max |A \cap B| = 3$। इसलिए,कथन $(II)$ सही है।

(A) सबसे पहले,हम प्रत्येक समुच्चय के अवयव निर्धारित करते हैं:
$A = \{ x : x \text{ एक पूर्णांक है और } x^2 - 9 = 0 \} = \{ -3, 3 \}$.
$B = \{ x : x \text{ एक प्राकृतिक संख्या है और } 2 \leq x < 5 \} = \{ 2, 3, 4 \}$.
$C = \{ x : x \text{ एक अभाज्य संख्या } \leq 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
अब,$(B - C)$ की गणना करते हैं:
$B - C = \{ 2, 3, 4 \} - \{ 2, 3 \} = \{ 4 \}$.
अंत में,$(B - C) \cup A$ की गणना करते हैं:
$(B - C) \cup A = \{ 4 \} \cup \{ -3, 3 \} = \{ -3, 3, 4 \}$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1. 4x + 6y = 5$
$2. 8x + 12y = 10$
चरण-दर-चरण जाँच:
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2(4x + 6y) = 2(5) \Rightarrow 8x + 12y = 10$
यह समीकरण $(2)$ के समान है।
निष्कर्ष:
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए इस निकाय के अनंत अनेक हल हैं।

(D) $yz$-समतल से किसी बिंदु $P(x, y, z)$ की दूरी उसके $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान $|x|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $P(-3, 4, 5)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $-3$ है।
अतः,$yz$-समतल से दूरी $|-3| = 3 \text{ इकाई}$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\frac{1}{6} + a + b + c + \frac{1}{12} = 1$.
$a + b + c = \frac{3}{4}$.
$12a + 12b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{1}{12}$.
अतः $c = \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{3}$.

(B) पासे पर कुल फलकों की संख्या $2 + 3 + 1 = 6$ है।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(1) = \frac{2}{6}$ है।
$3$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(3) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(1 \text{ or } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है कि $A \subset B$,जिसका अर्थ है कि $A \cap B = A$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$A \cap B = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A \subset B$,हमारे पास $P(A) \leq P(B)$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{P(B)} \leq \frac{1}{P(A)}$.
दोनों पक्षों को $P(A)$ से गुणा करने पर (मान लें $P(A) > 0$),हमें $\frac{P(A)}{P(B)} \leq 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,चूँकि $P(B) \leq 1$,हमारे पास $\frac{P(A)}{P(B)} \geq P(A)$ है।
अतः,$P(A \mid B) \geq P(A)$.

(C) $A = \{a, b, c\}$ पर एक तुल्यता संबंध $R$ को स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए। चूँकि $(b, c) \in R$ और $R$ सममित है,इसलिए $(c, b) \in R$। स्वतुल्यता के लिए,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$।
संक्रामकता के लिए,चूँकि $(b, c) \in R$ और $(c, b) \in R$,इसलिए $(b, b) \in R$ और $(c, c) \in R$ होना चाहिए (जो सत्य है)।
स्थिति $1$: यदि $a$ केवल स्वयं से संबंधित है,तो $R_1 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}$। यह एक तुल्यता संबंध है।
स्थिति $2$: यदि $a$,$b$ और $c$ से संबंधित है,तो सममितता और संक्रामकता के द्वारा,$a$ को सभी तत्वों से संबंधित होना चाहिए। $R_2 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)\}$। यह सार्वत्रिक संबंध है,जो एक तुल्यता संबंध भी है।
अतः,ऐसे $2$ तुल्यता संबंध संभव हैं।

(A) दिया गया है कि $A^2=A$ है।
हमें $(I-A)^3$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूहों के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(I-A)^3 = I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3$।
चूंकि $I^n = I$ और $A^2 = A$ है,इसलिए $A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(I-A)^3 = I - 3A + 3A - A$।
$(I-A)^3 = I - A$।

(C) गुणनफल $AB$ के एक तत्समक आव्यूह $I$ होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए,और परिणामी आव्यूह $AB$ एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
दिया गया है कि आव्यूह $B$ की कोटि $3 \times 4$ है,मान लीजिए आव्यूह $A$ की कोटि $m \times n$ है।
गुणनफल $AB$ को परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $(n)$ को $B$ में पंक्तियों की संख्या $(3)$ के बराबर होना चाहिए। अतः,$n = 3$ है।
परिणामी आव्यूह $AB$ की कोटि $m \times 4$ होगी।
चूंकि $AB$ एक तत्समक आव्यूह है,इसलिए इसे एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। इसलिए,$m = 4$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि $4 \times 3$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ की घातों की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2^1 A$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = 2^2 A$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 6$ के लिए,$A^6 = 2^{6-1} A = 2^5 A = 32 A$.
$A^6 = k A$ और $A^6 = 32 A$ की तुलना करने पर,$k = 32$ प्राप्त होता है।

(B) एक विकर्ण आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। विकर्ण के तत्व स्वयं कोई भी मान हो सकते हैं,जिसमें शून्य भी शामिल है,लेकिन उनका शून्य होना आवश्यक नहीं है। इसलिए,यह कथन कि एक विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्व शून्य होते हैं,गलत है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज और सारणिक के बीच का संबंध $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n=2$ और $|A|=2$ है।
अतः,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{2-1} = |A|^1 = 2$.
दिया गया है कि $\operatorname{adj}(A) = B = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & \alpha\end{array}\right]$,हम $B$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|B| = (1)(\alpha) - (3)(1) = \alpha - 3$.
चूँकि $|\operatorname{adj}(A)| = |B|$,इसलिए $\alpha - 3 = 2$.
अतः,$\alpha = 2 + 3 = 5$.

(A) दिया गया समीकरण: $A^2 - 5A + 7I = 0$.
चूंकि $A^2 - 5A + 7I = 0$,इसलिए $7I = 5A - A^2$.
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $|A| \neq 0$):
$A^{-1}(A^2 - 5A + 7I) = A^{-1}(0)$.
$A^{-1}A^2 - 5A^{-1}A + 7A^{-1}I = 0$.
$A - 5I + 7A^{-1} = 0$.
$7A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (k \times k) - (2 \times 2) = k^2 - 4$.
हम जानते हैं कि सारणिक का गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ होता है।
दिया गया है $|A^3| = 125$,जिसे हम $|A|^3 = 125$ के रूप में लिख सकते हैं।
$|A|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(k^2 - 4)^3 = 125$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$k^2 - 4 = 5$.
$k^2 = 9$.
$k = \pm 3$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक $n = 3$ कोटि का वर्ग आव्यूह है और $\operatorname{det}(A) = 3$ है।
हम जानते हैं कि एक अदिश $k$ और $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए,$\operatorname{det}(kA) = k^n \operatorname{det}(A)$ होता है।
साथ ही,$\operatorname{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$ होता है।
इसलिए,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 3^3 \operatorname{det}(A^{-1})$ होगा।
मान रखने पर,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 27 \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)} = 27 \times \frac{1}{3} = 9$ प्राप्त होता है।

(D) माना $x = \cos \theta$,जहाँ $\theta = \cos^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,इसलिए $\theta \in [0, \pi]$ है।
दाएँ पक्ष में $x = \cos \theta$ रखने पर:
$\sin^{-1} (2 \cos \theta \sqrt{1 - \cos^2 \theta}) = \sin^{-1} (2 \cos \theta \sin \theta) = \sin^{-1} (\sin 2 \theta)$.
इसे $2 \cos^{-1} x = 2 \theta$ के बराबर होने के लिए,$\sin^{-1} (\sin 2 \theta) = 2 \theta$ होना चाहिए।
यह तब मान्य है जब $2 \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,जिसका अर्थ है $\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$।
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$ है,इसलिए उभयनिष्ठ अंतराल $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ है।
चूँकि $\theta = \cos^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर (ध्यान दें कि कोसाइन इस अंतराल में एक घटता हुआ फलन है):
$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$,
जिससे $1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ या $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ प्राप्त होता है।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$ का उपयोग करते हैं।
क्रमशः $\theta = \tan ^{-1} 2$ और $\theta = \cot ^{-1} 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + (\tan(\tan ^{-1} 2))^2) + (1 + (\cot(\cot ^{-1} 3))^2)$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$.

(B) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x - 2)(x - 5)}}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक शून्य से बड़ा होना चाहिए।
$\Rightarrow (x - 2)(x - 5) > 0$
क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 5$ हैं।
अंतरालों $(-\infty, 2)$,$(2, 5)$,और $(5, \infty)$ की जाँच करने पर:
$x < 2$ के लिए,$(x - 2)(x - 5) > 0$ है।
$2 < x < 5$ के लिए,$(x - 2)(x - 5) < 0$ है।
$x > 5$ के लिए,$(x - 2)(x - 5) > 0$ है।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin([\pi^2]x) - \sin([-\pi^2]x)$.
चूंकि $\pi^2 \approx 9.869$,इसलिए $[\pi^2] = 9$.
चूंकि $-\pi^2 \approx -9.869$,इसलिए $[-\pi^2] = -10$.
अतः,$f(x) = \sin(9x) + \sin(10x)$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) f(0) = 0$ (सत्य).
$B) f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{9\pi}{2}) + \sin(5\pi) = 1 + 0 = 1$ (सत्य).
$C) f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{9\pi}{4}) + \sin(\frac{5\pi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + 1$ (सत्य).
$D) f(\pi) = \sin(9\pi) + \sin(10\pi) = 0$. अतः $f(\pi) = -1$ असत्य है।

(A) $[0, \frac{\pi}{2}]$ पर $f(x) = \sin x$ के लिए,फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है।
$[0, \frac{\pi}{2}]$ पर $g(x) = \cos x$ के लिए,फलन निरंतर ह्रासमान है,इसलिए यह एकैकी है।
अतः,कथन $(I)$ सही है।
अब,$(f+g)(x) = \sin x + \cos x$ पर विचार करें।
अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$(f+g)(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$(f+g)(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
चूंकि $(f+g)(0) = (f+g)(\frac{\pi}{2})$ है लेकिन $0 \neq \frac{\pi}{2}$,इसलिए फलन $f+g$ एकैकी नहीं है।
अतः,कथन $(II)$ गलत है।

(C) $f(x) = x|x| = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$। अवकलज $f'(x) = 2|x|$ सभी $x$ के लिए मौजूद है,इसलिए यह $(-1, 1)$ में अवकलनीय है। अतः,$(a) \to (ii)$।
$(b)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$। $x=0$ पर,बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{\sqrt{-h}-0}{h} = -\infty$ और दायां अवकलज $\infty$ है। अतः,यह $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है,जो $(-1, 1)$ में स्थित है। अतः,$(b) \to (iv)$।
$(c)$ $f(x) = x+[x]$। यह फलन $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है क्योंकि $x$ निरंतर वर्धमान है और $[x]$ ह्रासमान नहीं है। अतः,$(c) \to (iii)$।
$(d)$ $f(x) = |x-1|+|x+1|$। $(-1, 1)$ में,$f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$,जो एक अचर फलन है और इसलिए $(-1, 1)$ में सतत है। अतः,$(d) \to (i)$।
सही मिलान $a-(ii), b-(iv), c-(iii), d-(i)$ है।

(B) $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$LHL$ के लिए: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/(0-h)}-1}{e^{1/(0-h)}+1} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1}$। चूँकि $h \to 0^+$ होने पर $e^{-1/h} \to 0$,इसलिए $LHL$ $= \frac{0-1}{0+1} = -1$ है।
$RHL$ के लिए: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1} = \lim_{h \to 0} \frac{1-e^{-1/h}}{1+e^{-1/h}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$ है।
चूँकि $LHL$ $\neq$ $RHL$ है,इसलिए $x=0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $x=0$ पर संतत नहीं है।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर संतत होना चाहिए।
बायां सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + ax) = e^0 + a(0) = 1$.
दायां सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} b(x - 1)^2 = b(0 - 1)^2 = b$.
चूंकि फलन संतत है,$LHL = RHL$,इसलिए $b = 1$.
अब,अवकलनीयता के लिए,$x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ बराबर होने चाहिए।
$LHD = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (e^x + a) = e^0 + a = 1 + a$.
$RHD = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2b(x - 1) = 2b(0 - 1) = -2b$.
$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर: $1 + a = -2b$.
$b = 1$ रखने पर: $1 + a = -2(1) \Rightarrow 1 + a = -2 \Rightarrow a = -3$.
अतः,$a = -3$ और $b = 1$ है।

(C) दिया गया है $y = \frac{\cos x}{1+\sin x}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin x)(1+\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-(\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x)}{(1+\sin x)^2}$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} = \frac{-1}{1+\sin x}$. यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
अब,त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके $\frac{-1}{1+\sin x}$ को सरल बनाने पर:
$1+\sin x = 1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} = -\frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$. यह विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
इस प्रकार,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है $y=a \sin ^3 t$ और $x=a \cos ^3 t$।
सबसे पहले,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d t} = 3a \sin ^2 t \cos t$।
इसके बाद,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d x}{d t} = 3a \cos ^2 t (-\sin t) = -3a \cos ^2 t \sin t$।
अब,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{3a \sin ^2 t \cos t}{-3a \cos ^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$।
$t = \frac{3 \pi}{4}$ पर,$\frac{d y}{d x} = -\tan(\frac{3 \pi}{4}) = -(-1) = 1$।

(B) माना $u = \sin x$ और $v = \log x$ है।
हमें $v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज ज्ञात करना है,जो $\frac{du}{dv}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ होता है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज ज्ञात करें: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$।
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष $v$ का अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{du}{dv} = \frac{\cos x}{1/x} = x \cos x$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \tan x - x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \tan^2 x$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए डोमेन के सभी $x$ के लिए $\tan^2 x \geq 0$ होता है।
इसलिए,$f'(x) \geq 0$,जो यह दर्शाता है कि फलन $f(x)$ हमेशा वर्धमान (increasing) है।

(D) माना $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{3/4}}$.
कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेने पर: $I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4)^{3/4} (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$.
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4} = 1 + x^{-4}$.
तब $dt = -4x^{-5} dx$,जिसका अर्थ है $x^{-5} dx = -\frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 + x^{-4})^{-3/4} (x^{-5} dx) = \int t^{-3/4} \left(-\frac{1}{4} dt\right) = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{1}{4} \left(\frac{t^{1/4}}{1/4}\right) + c = -t^{1/4} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4} = \frac{x^4+1}{x^4}$ वापस रखने पर:
$I = -\left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^{1/4} + c$.

(A) समाकलन $\int \frac{dx}{(x+1)(x+2)}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करते हैं।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$
$1 = A(x+2) + B(x+1)$
$x = -1$ रखने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ रखने पर,हमें $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x+2} dx$
$= \log |x+1| - \log |x+2| + c$
$= \log \left| \frac{x+1}{x+2} \right| + c$

(D) माना $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम।
$f(-x) = \sin^5(-x) \cos^4(-x) = (-\sin x)^5 (\cos x)^4 = -\sin^5 x \cos^4 x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = 0$।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \sin \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$.
$\theta = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = |\cos \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{4}|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in [0, 2\pi]$,$\frac{x}{4} \in [0, \frac{\pi}{2}]$,जहां $\sin \frac{x}{4}$ और $\cos \frac{x}{4}$ दोनों धनात्मक हैं।
अतः,समाकलन $\int_0^{2\pi} (\cos \frac{x}{4} + \sin \frac{x}{4}) dx$ हो जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन: $[4 \sin \frac{x}{4} - 4 \cos \frac{x}{4}]_0^{2\pi}$.
$= (4 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2}) - (4 \sin 0 - 4 \cos 0)$.
$= (4(1) - 4(0)) - (4(0) - 4(1)) = 4 - (-4) = 8$.

(B) माना $I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) d x$
$I = \int_0^1 \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^1 \left[ \log \left(\frac{1-x}{x}\right) + \log \left(\frac{x}{1-x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^1 \log \left( \frac{1-x}{x} \times \frac{x}{1-x} \right) d x$
$2I = \int_0^1 \log(1) d x$
चूंकि $\log(1) = 0$,इसलिए $2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$।

(C) क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 3\pi$ तक फलन $y = \sin \left(\frac{x}{3}\right)$ के निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
$A = \int_0^{3 \pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) dx$
हम जानते हैं कि $\sin(kx)$ का समाकलन $-\frac{1}{k} \cos(kx)$ होता है। यहाँ $k = \frac{1}{3}$ है,इसलिए समाकलन $-3 \cos \left(\frac{x}{3}\right)$ होगा।
$A = \left[ -3 \cos \left(\frac{x}{3}\right) \right]_0^{3 \pi}$
$A = -3 \left[ \cos \left(\frac{3 \pi}{3}\right) - \cos \left(\frac{0}{3}\right) \right]$
$A = -3 [ \cos(\pi) - \cos(0) ]$
चूंकि $\cos(\pi) = -1$ और $\cos(0) = 1$ है:
$A = -3 [ -1 - 1 ] = -3 [ -2 ] = 6 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) वक्र $y=x^2$ है और रेखा $y=16$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2=16$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं,जो $x = \pm 4$ देता है।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_0^{16} x \, dy = 2 \int_0^{16} \sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^{16}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^{16}$
$A = \frac{4}{3} \left( 16^{3/2} - 0^{3/2} \right)$
$A = \frac{4}{3} \times (4^2)^{3/2} = \frac{4}{3} \times 4^3$
$A = \frac{4}{3} \times 64 = \frac{256}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+x^4=0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $a = 2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2$ है,इसलिए घात $b = 2$ है।
अतः,$a - b = 2 - 2 = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot \sec x = \int \sec x \cdot \sec x dx + c$
$y \sec x = \int \sec^2 x dx + c$
$y \sec x = \tan x + c$.

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
चूंकि $\vec{a} + \lambda\vec{b}$,$\vec{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
सबसे पहले,$\vec{a} + \lambda\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} + \lambda\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}$
अब,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल लें:
$((1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(1 + \lambda)(1) + (2 - \lambda)(1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$
$1 + \lambda + 2 - \lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$4 + 4\lambda = 0$
$4\lambda = -4$
$\lambda = -1$

(D) हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $12 = 10 \times 2 \times \cos \theta$.
$12 = 20 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 10 \times 2 \times \frac{4}{5} = 20 \times \frac{4}{5} = 16$.

(A) कथन $(I)$ : दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है। यदि $|\vec{a}|=0$ या $|\vec{b}|=0$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \times |\vec{b}| \cos \theta = 0$ या $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \times 0 \times \cos \theta = 0$ होगा। अतः,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II)$ : दो सदिशों का सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है। यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ है,तो $\sin \theta = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\theta = 0$ या $\theta = \pi$। इसका मतलब है कि सदिश समानांतर या संरेख हैं,लंबवत नहीं। अतः,कथन $(II)$ गलत है।

(A) एक रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण हैं।
यहाँ,$\alpha = 90^{\circ}, \beta = 60^{\circ}, \gamma = \theta$ है।
दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,इसलिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ है।
मान रखने पर: $\cos^2 90^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$ है।
$(0)^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$ है।
$0 + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$ है।
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूँकि $\theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$ या $\frac{\pi}{6}$ रेडियन है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा बिंदु $P(0,1,2)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{a} = \frac{y-1}{b} = \frac{z-2}{c}$ है।
दी गई रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{-2}$ है,जिसके दिक अनुपात $(2, 3, -2)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$2a + 3b - 2c = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: दिक अनुपात $(3, 4, 3)$ हैं।
$2(3) + 3(4) - 2(3) = 6 + 12 - 6 = 12 \neq 0$.
विकल्प $B$ के लिए: दिक अनुपात $(-3, 4, 3)$ हैं।
$2(-3) + 3(4) - 2(3) = -6 + 12 - 6 = 0$.
अतः,रेखा $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ दी गई रेखा के लंबवत है।

(A) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में कथन $(I)$ और कथन $(II)$ दोनों सही हैं:
कथन $(I)$:
$LPP$ में उद्देश्य फलन हमेशा रैखिक होता है,जिसका अर्थ है कि इसे $1$ की घात वाले चरों के साथ एक रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
कथन $(II)$:
$LPP$ में चरों को सीमित करने वाली रैखिक असमिकाओं को बाधाएं (constraints) कहा जाता है।
व्याख्या:
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में,आप कुछ बाधाओं (रैखिक असमिकाओं) का पालन करते हुए एक उद्देश्य फलन (एक रैखिक समीकरण) को अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) करने का प्रयास करते हैं,जो चरों के संभावित मानों को सीमित करते हैं।

(C) उद्देश्य फलन $z=3x+4y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करते हैं:
$1$. $x+y \leq 40$
$2$. $x+2y \leq 60$
$3$. $x, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु इन रेखाओं और अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
- $x+y=40$ और $x+2y=60$ का प्रतिच्छेदन: दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर $y=20$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x=20$ है। बिंदु: $(20, 20)$.
- $x+y=40$ का $x$-अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन: बिंदु $(40, 0)$.
- $x+2y=60$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन: बिंदु $(0, 30)$.
- मूल बिंदु $(0, 0)$ भी एक कोणीय बिंदु है।
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z=3x+4y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 0)$ पर: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
- $(40, 0)$ पर: $z = 3(40) + 4(0) = 120$
- $(0, 30)$ पर: $z = 3(0) + 4(30) = 120$
- $(20, 20)$ पर: $z = 3(20) + 4(20) = 60 + 80 = 140$
अतः,अधिकतम मान $140$ है जो बिंदु $(20, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी (non-mutually exclusive) घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) \neq 0$ है।
शर्त $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ दी गई है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
चूँकि $P(A \cap B) = P(B \cap A)$,और $P(A \cap B) \neq 0$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $P(A \cap B)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)}$
अतः,$P(A) = P(B)$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $(I)$: यदि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,तो $P(E \cap F) = P(E)P(F)$. हम जानते हैं कि $P(E^{\prime} \cap F^{\prime}) = P((E \cup F)^{\prime}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^{\prime})P(F^{\prime})$. अतः,$E^{\prime}$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं। कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$: यदि $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी हैं,तो $P(E \cap F) = 0$. उनके स्वतंत्र होने के लिए,हमें $P(E \cap F) = P(E)P(F)$ की आवश्यकता है। चूँकि $P(E) > 0$ और $P(F) > 0$,इसलिए $P(E)P(F) > 0$. अतः,$P(E \cap F) \neq P(E)P(F)$,जिसका अर्थ है कि वे स्वतंत्र नहीं हो सकते। कथन $(II)$ सत्य है।

(D) माना $A$ वह घटना है कि मीरा मंदिर $A$ जाती है और $B$ वह घटना है कि वह मंदिर $B$ जाती है। माना $F$ वह घटना है कि वह अपने मित्र से मिलती है।
दिया गया है:
$P(A) = \frac{2}{5}$
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
$P(F|A) = \frac{1}{3}$
$P(F|B) = \frac{2}{7}$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह अपने मित्र से मंदिर $B$ पर मिली,जो $P(B|F)$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(B|F) = \frac{P(B) \times P(F|B)}{P(A) \times P(F|A) + P(B) \times P(F|B)}$
$P(B|F) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{2}{7})}$
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{2}{15} + \frac{6}{35}}$
हर के लिए सामान्य हर ज्ञात करने पर: $15 = 3 \times 5$ और $35 = 7 \times 5$,इसलिए ल.स.प. $105$ है।
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{14}{105} + \frac{18}{105}} = \frac{\frac{18}{105}}{\frac{14+18}{105}} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$