KCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) कण एक चिकनी क्षैतिज मेज पर एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है।
इस गति में,कण पर वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वृत्तीय गति में किसी पिंड पर कार्य करने वाला नेट बल उस गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के बराबर होना चाहिए।
अभिकेंद्र बल $F_c$ का सूत्र $F_c = \frac{m v^{2}}{l}$ है।
चूंकि तनाव $T$ ही वह एकमात्र बल है जो यह अभिकेंद्र बल प्रदान कर रहा है,इसलिए हमारे पास है:
नेट बल (केंद्र की ओर निर्देशित) $= T = \frac{m v^{2}}{l}$।
अतः,कण पर केंद्र की ओर निर्देशित नेट बल $T$ है।

(D) दिया गया है,द्रव्यमान,$m = (0.3 \pm 0.003) \text{ g}$
त्रिज्या,$r = (0.5 \pm 0.005) \text{ mm}$
लंबाई,$l = (6 \pm 0.06) \text{ cm}$
बेलन का घनत्व,$\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{m}{\pi r^2 l}$
$\rho$ में भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$
$\rho$ में प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta r}{r} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$
मान रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{0.003}{0.3} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{0.005}{0.5} \times 100 \right) + \left( \frac{0.06}{6} \times 100 \right)$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 1\% + 2(1\%) + 1\% = 4\%$

(A) प्लवन के नियम के अनुसार,किसी द्रव में तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
माना $V$ हिमखंड का कुल आयतन है और $V_{sub}$ पानी में डूबा हुआ आयतन है।
हिमखंड का भार = $V \cdot \rho_{i} \cdot g$
विस्थापित पानी का भार = $V_{sub} \cdot \rho_{w} \cdot g$
दोनों को बराबर करने पर: $V \cdot \rho_{i} \cdot g = V_{sub} \cdot \rho_{w} \cdot g$
डूबे हुए आयतन का अंश $\frac{V_{sub}}{V} = \frac{\rho_{i}}{\rho_{w}}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{i} = 0.917 \ g \ cm^{-3}$ और $\rho_{w} = 1.00 \ g \ cm^{-3}$।
अतः,$\frac{V_{sub}}{V} = \frac{0.917}{1.00} = 0.917$।

(A) जब साबुन के बुलबुले को आवेशित किया जाता है,तो आवेश उसकी सतह पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
सतह पर समान आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण,बुलबुले पर बाहर की ओर एक दबाव कार्य करता है।
यह अतिरिक्त बाहरी दबाव उसी दिशा में कार्य करता है जिस दिशा में बुलबुले के अंदर की हवा का दबाव होता है।
परिणामस्वरूप,इन बलों को संतुलित करने के लिए बुलबुला फैलता है,जिससे इसकी त्रिज्या बढ़ जाती है।

(C) एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए,किसी भी आरोपित प्रतिबल (stress) के लिए विकृति (strain) हमेशा शून्य होती है।
यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{अनुदैर्ध्य प्रतिबल}}{\text{अनुदैर्ध्य विकृति}}$
चूंकि एक पूर्णतः दृढ़ पिंड के लिए विकृति $0$ होती है,इसलिए हर (denominator) $0$ हो जाता है।
अतः,$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{0} = \infty$.
इस प्रकार,एक पूर्णतः दृढ़ पिंड का यंग मापांक अनंत होता है।

(B) $h = 10 \,km$ की ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e}) = x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e}) = x$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$.
चूँकि $h = 10 \,km$ दिया गया है,इसलिए $d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि एस्केलेटर की ऊँचाई $h$ है।
स्थिर एस्केलेटर पर लड़की के चलने की गति $v_{g} = \frac{h}{20}$ है।
चलते हुए एस्केलेटर की गति $v_{e} = \frac{h}{30}$ है।
जब लड़की चलते हुए एस्केलेटर पर चलती है, तो उसकी प्रभावी गति उसके चलने की गति और एस्केलेटर की गति का योग होती है: $v_{total} = v_{g} + v_{e}$।
$v_{total} = \frac{h}{20} + \frac{h}{30} = h \left( \frac{3+2}{60} \right) = \frac{5h}{60} = \frac{h}{12}$।
$h$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t = \frac{h}{v_{total}} = \frac{h}{h/12} = 12 \,s$ है।

(B) मान लीजिए कि पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से चलना शुरू करता है और नियत त्वरण $a$ के साथ गति करता है।
किसी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v$ गति के पहले समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u + at = 0 + at = at$।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$ न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $F = ma$।
पिंड को दी गई शक्ति $P$ को बल और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = F \cdot v$।
$F$ और $v$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = (ma) \cdot (at) = ma^2t$।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और त्वरण $a$ नियत हैं,इसलिए पद $ma^2$ नियत है।
अतः,$P \propto t$।

(D) बारिश का वेग $\vec{v}_r = -12 \hat{j} \ ms^{-1}$ है।
महिला का वेग $\vec{v}_w = -12 \hat{i} \ ms^{-1}$ है (क्योंकि वह पूर्व से पश्चिम की ओर गति कर रही है)।
महिला के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{rw} = \vec{v}_r - \vec{v}_w = -12 \hat{j} - (-12 \hat{i}) = 12 \hat{i} - 12 \hat{j} \ ms^{-1}$ है।
बारिश से बचने के लिए,महिला को अपना छाता बारिश के सापेक्ष वेग की विपरीत दिशा में रखना चाहिए।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{|v_w|}{|v_r|} = \frac{12}{12} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ है।
चूंकि महिला पश्चिम की ओर गति कर रही है,सापेक्ष वेग सदिश पश्चिम की ओर इंगित करता है,इसलिए बारिश से बचने के लिए उसे छाता पश्चिम की ओर $45^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।

(A) दिया गया है: प्लेट का द्रव्यमान,$M = 2 \, kg$.
$x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{x} = 0.2 \, kg \cdot m^{2}$.
$y$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{y} = 0.3 \, kg \cdot m^{2}$.
लंबवत अक्ष प्रमेय (perpendicular axis theorem) के अनुसार,समतलीय वस्तु के लिए उसके समतल के लंबवत (मूल बिंदु $O$ से गुजरने वाली) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z}$ इस प्रकार है:
$I_{z} = I_{x} + I_{y}$
$I_{z} = 0.2 + 0.3 = 0.5 \, kg \cdot m^{2}$.
हम जानते हैं कि जड़त्व आघूर्ण और घूर्णन त्रिज्या $k$ के बीच संबंध है:
$I = M k^{2}$
मान रखने पर:
$0.5 = 2 \cdot k^{2}$
$k^{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m^{2}$
$k = \sqrt{0.25} = 0.5 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$k = 0.5 \times 100 \, cm = 50 \, cm$.
अतः,घूर्णन त्रिज्या $50 \, cm$ है।

(A) पहिये का प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_{0} = 0 \ rad/s$.
अंतिम कोणीय वेग,$\omega = 10 \ rad/s$.
लिया गया समय,$t = 5 \ s$.
घूर्णी गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर:
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$
$10 = 0 + \alpha \times 5$
$\alpha = \frac{10}{5} = 2 \ rad/s^{2}$.
अब,कुल कोणीय विस्थापन $\theta$ ज्ञात करने के लिए घूर्णी गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर:
$\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$
$\theta = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^{2}$
$\theta = 0 + 25 = 25 \ rad$.

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है $(dQ/dt \propto A)$।
दिए गए द्रव्यमान और पदार्थ के लिए,आयतन स्थिर रहता है। एक गोले,एक घन और एक पतली वृत्ताकार प्लेट में से,पतली वृत्ताकार प्लेट का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है,जबकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे कम होता है।
चूंकि शीतलन की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए जिस वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे अधिक होगा,वह सबसे तेजी से ऊष्मा खोएगी।
अतः,प्लेट सबसे तेजी से ठंडी होगी और गोला सबसे धीरे ठंडा होगा।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,दी गई ऊष्मा $Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ और किए गए कार्य $W$ के योग के बराबर होती है: $Q = \Delta U + W$.
स्थिर दाब पर प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
किया गया कार्य $W = Q - \Delta U = n C_p \Delta T - n C_V \Delta T = n R \Delta T$ है।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मीय ऊर्जा का अंश $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$ है।
एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,$C_p = \frac{5}{2} R$ है।
अतः,यह अंश $\frac{W}{Q} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,निकाय अपनी आंतरिक ऊर्जा की कीमत पर परिवेश पर कार्य करता है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान $(U = n C_v T)$ पर निर्भर करती है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कमी का अर्थ है तापमान $(T)$ में कमी।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$p V = n R T$ होता है।
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं और रुद्धोष्म प्रसार के दौरान तापमान $T$ घटता है,इसलिए गुणनफल $p V$ भी घटता है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर गति $v_s$ से एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का मान $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है। चूँकि $v - v_s < v$,इसलिए $n' > n$ होता है। जब तक ट्रेन स्थिर गति से प्रेक्षक की ओर बढ़ती है,यह आवृत्ति स्थिर रहती है।
जब ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है और दूर जाती है,तो स्रोत अब स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है। प्रेक्षित आवृत्ति $n''$ का मान $n'' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होता है। चूँकि $v + v_s > v$,इसलिए $n'' < n$ होता है। जब तक ट्रेन स्थिर गति से दूर जाती है,यह आवृत्ति भी स्थिर रहती है।
इसलिए,प्रेक्षक के पास से गुजरने से पहले आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $n$ से अधिक होती है और गुजरने के बाद $n$ से कम मान पर गिर जाती है। यह चरण-जैसा परिवर्तन विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(C) ट्रे का द्रव्यमान, $m = 12 \,kg$.
आवर्तकाल, $T = 1.5 \,s$.
माना प्रत्येक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ है।
चूंकि स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़े हैं, इसलिए प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{\text{net}} = k + k = 2k$ होगा।
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{net}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $1.5 = 2\pi \sqrt{\frac{12}{2k}}$.
$1.5 = 2\pi \sqrt{\frac{6}{k}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $(1.5)^2 = (2\pi)^2 \cdot \frac{6}{k}$.
$2.25 = 4\pi^2 \cdot \frac{6}{k}$.
$k = \frac{24\pi^2}{2.25} \approx \frac{24 \times 9.87}{2.25} \approx 105.28 \,Nm^{-1}$.
अतः, प्रत्येक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक लगभग $105 \,Nm^{-1}$ है।

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = i \pi r^2$ है।
अनुपात $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 i / 2r}{i \pi r^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi r^3}$ है।
जब धारा $i$ दोगुनी $(2i)$ और त्रिज्या $r$ दोगुनी $(2r)$ हो जाती है,तो नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 (2i)}{2(2r)} = \frac{\mu_0 i}{2r} = B$ होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = (2i) \pi (2r)^2 = (2i) \pi (4r^2) = 8(i \pi r^2) = 8M$ होता है।
नया अनुपात $x' = \frac{B'}{M'} = \frac{B}{8M} = \frac{1}{8} \left( \frac{B}{M} \right) = \frac{x}{8}$ होगा।

(C) दिया गया है,शिखर वोल्टेज $V_{C}=30 \,V$,$V_{L}=110 \,V$ और $V_{R}=60 \,V$ हैं।
श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में शिखर वोल्टेज $(V_{0})$ का सूत्र है:
$V_{0} = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V_{0} = \sqrt{(60)^{2} + (110 - 30)^{2}}$
$V_{0} = \sqrt{60^{2} + 80^{2}}$
$V_{0} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \,V$
आरोपित वोल्टेज का rms मान शिखर वोल्टेज से $V_{\text{rms}} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}$ द्वारा संबंधित है।
$V_{\text{rms}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70.7 \,V$.

(C) दिया गया है, $L = 0.5 \, mH = 0.5 \times 10^{-3} \, H$ और $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$।
$L-C$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.5 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{2 \pi} \approx \frac{10000}{6.283} \approx 1592.3 \, Hz$
अतः, अनुनादी आवृत्ति लगभग $1592 \, Hz$ है।

(B) दिया गया है,शक्ति गुणांक $= \frac{1}{\sqrt{3}}$.
प्रेरणिक प्रतिघात,$X_{L} = 2 \Omega$.
$R-L$ परिपथ में शक्ति गुणांक का सूत्र:
$\text{शक्ति गुणांक} = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 2^{2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 4}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{R^{2}}{R^{2} + 4}$
$R^{2} + 4 = 3R^{2}$
$2R^{2} = 4$
$R^{2} = 2$
$R = \sqrt{2} \Omega$.

(B) रदरफोर्ड के $\alpha$-कण प्रकीर्णन प्रयोग के अनुसार,निम्नलिखित अवलोकन किए गए:
$(i)$ अधिकांश $\alpha$-कण सोने की पन्नी से बिना विचलित हुए गुजर गए,जो पथ $A-A^{\prime}$ के संगत है।
(ii) $\alpha$-कणों का एक छोटा अंश छोटे कोणों से प्रकीर्णित हुआ,जो पथ $C-C^{\prime}$ के संगत है।
(iii) $\alpha$-कणों का बहुत छोटा अंश बड़े कोणों से प्रकीर्णित हुआ (या वापस परावर्तित हो गया),जो पथ $B-B^{\prime}$ के संगत है।
चूंकि प्रकीर्णन कोण बढ़ने पर प्रकीर्णित कणों की संख्या घटती है,इसलिए कणों की संख्या $n$ का क्रम $n_{A^{\prime}} > n_{C^{\prime}} > n_{B^{\prime}}$ होता है।
अतः,$A^{\prime}$ में $\alpha$-कणों की संख्या अधिकतम और $B^{\prime}$ में न्यूनतम होगी।

(B) $r$ त्रिज्या की कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार है:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,संवेग $p = mv$ है:
$p = \frac{h}{2\pi r}$
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\lambda = \frac{h}{p}$
कोणीय संवेग समीकरण से $p$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \frac{h}{(h / 2\pi r)} = 2\pi r$
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में,बोहर त्रिज्या $r = 0.53 \text{ Å}$ होती है।
अतः,$\lambda = 2 \times 3.14 \times 0.53 \text{ Å} \approx 3.33 \text{ Å}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $3.3 \text{ Å}$ है।

(C) $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन का परिक्रमण काल $T$,कक्षा की परिधि और इलेक्ट्रॉन के कक्षीय वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है: $T = \frac{2 \pi r_{n}}{v_{n}}$.
बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_{n} \propto n^{2}$ होती है और $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_{n} \propto \frac{1}{n}$ होता है।
इन समानुपातियों को परिक्रमण काल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{n} \propto \frac{r_{n}}{v_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n} = n^{3}$.
अतः,परिक्रमण काल $n^{3}$ के समानुपाती होता है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{p} = C + C = 2C$ होती है।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ होती है,जिसका अर्थ है $C_{s} = \frac{C}{2}$।
प्रश्न के अनुसार,इन तुल्य धारिताओं का अंतर $6 \mu F$ है:
$C_{p} - C_{s} = 6 \mu F$
$2C - \frac{C}{2} = 6 \mu F$
$\frac{3C}{2} = 6 \mu F$
$3C = 12 \mu F$
$C = 4 \mu F$.

(D) दिया गया प्रतिरोध $R = 0.2 \ k\Omega \pm 10 \%$ है।
इसे ओम में बदलने पर,हमें $R = 200 \ \Omega \pm 10 \%$ प्राप्त होता है।
इसे $R = 20 \times 10^1 \ \Omega \pm 10 \%$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक कार्बन प्रतिरोधक कलर कोड के अनुसार:
अंक $2$ लाल रंग को दर्शाता है।
अंक $0$ काले रंग को दर्शाता है।
गुणक $10^1$ भूरे रंग को दर्शाता है।
$10 \%$ की टॉलरेंस (सहिष्णुता) चांदी जैसे (सिल्वर) रंग को दर्शाती है।
अतः,सही कलर कोड लाल,काला,भूरा और चांदी जैसा है।

(A) चालक का प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है,और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
संबंध $R \propto \frac{L}{A}$ से,हम देख सकते हैं कि पदार्थ के निश्चित आयतन के लिए,प्रतिरोध लंबाई के वर्ग $(L^2)$ के समानुपाती होता है या क्षेत्रफल के वर्ग $(A^2)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
वैकल्पिक रूप से,एक निश्चित छड़ के लिए,प्रतिरोध तब अधिकतम होता है जब धारा सबसे छोटे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ से होकर बहती है,जिसके परिणामस्वरूप सबसे लंबी प्रभावी लंबाई $L$ प्राप्त होती है।
तीन संभावित अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल हैं:
$1$. $A_1 = 10 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 10 \text{ cm}^2$
$2$. $A_2 = 10 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 5 \text{ cm}^2$
$3$. $A_3 = 1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}^2$
प्रतिरोध तब अधिकतम होता है जब अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ न्यूनतम होता है। न्यूनतम क्षेत्रफल $0.5 \text{ cm}^2$ है,जो $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ आयाम वाले फलकों के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए कि घनाकार नेटवर्क में बिंदु $A$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $6I$ है। घन की सममिति के कारण, यह धारा $A$ पर तीन शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है, जिनमें से प्रत्येक में $2I$ धारा प्रवाहित होती है।
अगले नोड्स पर, ये धाराएं फिर से विभाजित हो जाती हैं।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हुए $A$ से $B$ तक के पथ के लिए, नेटवर्क पर विभव पतन $V$ पथ में आने वाले प्रतिरोधों पर विभव पतन का योग है।
तीन किनारों वाले पथ के लिए, विभव पतन $V = (2I \times R) + (I \times R) + (2I \times R) = 5IR$ होता है।
यहाँ $R = 1 \Omega$ दिया गया है, इसलिए $V = 5I$ प्राप्त होता है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{V}{I_{total}} = \frac{5I}{6I} = \frac{5}{6} \Omega$ होता है।

(B) दिया गया है:
बैटरी का emf, $E = 12 \, V$
आंतरिक प्रतिरोध, $r = 2 \times 10^{-2} \, \Omega = 0.02 \, \Omega$
स्टार्टर मोटर द्वारा ली गई धारा, $I = 80 \, A$
जब स्टार्टर $ON$ होता है, तो बैटरी मोटर को धारा प्रदान करती है। टर्मिनल वोल्टेज $V$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$V = E - Ir$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V = 12 - (80 \times 0.02)$
$V = 12 - 1.6$
$V = 10.4 \, V$
अतः, स्टार्टर के $ON$ होने पर टर्मिनल वोल्टेज $10.4 \, V$ है।

(D) $L$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले तांबे के तार की $I-V$ विशेषता आकृति में दिखाई गई है।
चूंकि $I-V$ विशेषता एक सीधी रेखा है,इसलिए यह ओम के नियम का पालन करती है।
$I-V$ ग्राफ का ढाल $\text{slope} = \tan \theta = \frac{I}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = IR$,इसलिए $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$।
चूंकि $R = \rho \frac{L}{A}$,इसलिए $\text{slope} = \frac{1}{\rho \frac{L}{A}} = \frac{A}{\rho L}$।
$(i)$ यदि लंबाई $L$ बढ़ाई जाती है,तो ढाल $\frac{A}{\rho L}$ कम हो जाता है।
(ii) यदि क्षेत्रफल $A$ बढ़ाया जाता है,तो ढाल $\frac{A}{\rho L}$ बढ़ जाता है।
(iii) यदि समान आयाम वाले स्टील के तार का उपयोग किया जाता है,तो चूंकि $\rho_{\text{steel}} > \rho_{\text{copper}}$,इसलिए ढाल $\frac{A}{\rho L}$ कम हो जाता है।
(iv) यदि प्रयोग उच्च तापमान पर किया जाता है,तो तांबे की प्रतिरोधकता $\rho$ बढ़ जाती है,इसलिए ढाल $\frac{A}{\rho L}$ कम हो जाता है।
अतः,सही कथन यह है कि यदि तार की लंबाई बढ़ाई जाती है तो ढाल कम हो जाता है।

(A) दिया गया है,विभवमापी के तार की लंबाई $l = 5 \,m$ है।
प्राथमिक बैटरी का emf $E = 10 \,V$ है।
विभवमापी के तार पर विभव प्रवणता (potential gradient) $K = \frac{E}{l} = \frac{10 \,V}{5 \,m} = 2 \,V/m$ है।
जब द्वितीयक सेल को परिपथ में जोड़ा जाता है,तो संतुलन लंबाई $l_1 = 200 \,cm = 2 \,m$ प्राप्त होती है।
द्वितीयक सेल का emf $E_s = K \times l_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$E_s = 2 \,V/m \times 2 \,m = 4 \,V$।

(C) $\text{V विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा } K.E. = eV \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{चूंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर अवस्था से शुरू होता है, इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा } \frac{1}{2}mv^2 \text{ है।}
\text{दोनों को बराबर करने पर, हमें } \frac{1}{2}mv^2 = eV \text{ प्राप्त होता है।}
\text{वेग } v \text{ के लिए हल करने पर, } v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \text{ प्राप्त होता है।}
\text{मान रखने पर: } e = 1.6 \times 10^{-19} \,C, m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg, \text{और } V = 1200 \,V.
v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1200}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{3.84 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{0.42198 \times 10^{15}} = \sqrt{42.198 \times 10^{13}} \approx 2.05 \times 10^{7} \,ms^{-1}.
\text{इस मान को पूर्णांकित करने पर, हमें } v \approx 2.1 \times 10^{7} \,ms^{-1} \text{ प्राप्त होता है।}$

(C) दिया गया है: तीव्रता $I = 20 \,W/cm^2 = 20 \times 10^4 \,W/m^2$.
क्षेत्रफल $A = 25 \,cm \times 15 \,cm = 375 \,cm^2 = 375 \times 10^{-4} \,m^2$.
समय $t = 1 \,s$.
प्रति सेकंड सतह पर आपतित ऊर्जा $E = I \times A \times t = 20 \times 10^4 \times 375 \times 10^{-4} \times 1 = 7500 \,J$.
एक पूर्णतः परावर्तक सतह के लिए,प्रकाश द्वारा दिया गया संवेग $p = \frac{2E}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ प्रकाश की गति है।
$p = \frac{2 \times 7500}{3 \times 10^8} = \frac{15000}{3 \times 10^8} = 5000 \times 10^{-8} = 5 \times 10^{-5} \,kg \cdot m/s$.

(B) दिया गया है,$H$-परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $= \frac{3h}{2\pi} \dots (i)$
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $= \frac{nh}{2\pi} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है:
$KE = \frac{13.6 \times Z^2}{n^2} \text{ eV}$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है। $Z = 1$ और $n = 3$ रखने पर:
$KE = \frac{13.6 \times 1^2}{3^2} \text{ eV}$
$KE = \frac{13.6}{9} \text{ eV}$
$KE = 1.51 \text{ eV}$

(A) ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि वक्र $1$ और $2$ के लिए निरोधी विभव (stopping potential) $V_{0}$ समान है। हालाँकि,वक्र $3$ के लिए,निरोधी विभव का मान वक्र $1$ और $2$ से अधिक है।
हम जानते हैं कि निरोधी विभव को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $e V_{0} = E_{\max} = h \gamma - \phi_{0}$,जहाँ $\phi_{0}$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि वक्र $1$ और $2$ के लिए $V_{0}$ समान है,इसका अर्थ है कि आपतित आवृत्तियाँ समान हैं,अर्थात $\gamma_{1} = \gamma_{2}$।
वक्र $3$ के लिए,निरोधी विभव अधिक है,जिसका अर्थ है कि $\gamma_{3} > \gamma_{1} = \gamma_{2}$।
संतृप्ति धारा (saturation current) की बात करें तो,यह आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है। वक्र $2$ और $3$ समान संतृप्ति धारा तक पहुँचते हैं,अर्थात $I_{2} = I_{3}$,जबकि वक्र $1$ की संतृप्ति धारा कम है,इसलिए $I_{1} < I_{2} = I_{3}$।
अतः,विकल्पों की तुलना करने पर,$\gamma_{1} = \gamma_{2}$ और $I_{1} \neq I_{2}$ सही कथन है।

(B) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 0.2 \,H$,प्रारंभिक धारा $I_1 = 5 \,A$,अंतिम धारा $I_2 = 2 \,A$,और समय अंतराल $\Delta t = 0.5 \,s$ है।
धारा में परिवर्तन $\Delta I = I_1 - I_2 = 5 \,A - 2 \,A = 3 \,A$ है।
कुंडली में औसत प्रेरित emf $|e|$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$|e| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right| = 0.2 \,H \times \frac{3 \,A}{0.5 \,s} = 0.2 \times 6 \,V = 1.2 \,V$.

(B) दिया गया है: छड़ की लंबाई $l = 2 \, m$, गति $v = 5 \, ms^{-1}$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.04 \, T$ और प्रतिरोध $R = 3 \, \Omega$ है।
छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का मान है:
$\varepsilon = B l v$
$\varepsilon = 0.04 \, T \times 2 \, m \times 5 \, ms^{-1} = 0.4 \, V$
ओम के नियम के अनुसार छड़ में प्रेरित धारा $I$ है:
$I = \frac{\varepsilon}{R}$
$I = \frac{0.4 \, V}{3 \, \Omega} = 0.1333... \, A$
$I \approx 0.133 \, A = 133 \, mA$.

(B) नाभिकीय बल एक लघु-परास बल है, जो आमतौर पर कुछ $fm$ $(1 \, fm = 10^{-15} \, m)$ की सीमा के भीतर प्रभावी होता है।
जबकि, विद्युत-चुंबकीय बल एक दीर्घ-परास बल है जो व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है।
यहाँ दी गई दूरी $10 \, nm = 10 \times 10^{-9} \, m = 10^{-8} \, m$ है।
चूंकि $10^{-8} \, m$ नाभिकीय बल की सीमा $(\, 10^{-15} \, m)$ से बहुत अधिक है, इसलिए इस दूरी पर नाभिकीय बल $F_{n}$ प्रभावी रूप से शून्य होता है।
अतः, विद्युत-चुंबकीय बल $F_{e}$ नाभिकीय बल $F_{n}$ की तुलना में काफी अधिक है, अर्थात $F_{e} \gg F_{n}$।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे गए विद्युत द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = p E \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ $p$ और $E$ के बीच का कोण है।
छोटे कोण $\theta$ के लिए,हम $\sin \theta \approx \theta$ मान सकते हैं।
अतः,बल आघूर्ण $\tau = p E \theta$ हो जाता है।
चूंकि बल आघूर्ण को $\tau = I \alpha$ के रूप में भी दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है,इसलिए $I \alpha = p E \theta$ प्राप्त होता है।
कोणीय त्वरण के लिए व्यवस्थित करने पर,$\alpha = \frac{p E}{I} \theta$ मिलता है।
यह समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के रूप में है,जो सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
पदों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{p E}{I}$ मिलता है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{p E}{I}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{p E}}$ होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र के परिमाण के सीधे आनुपातिक होता है।
यह दिया गया है कि बाईं ओर (बिंदु $B$ पर) क्षेत्र रेखाओं के बीच की दूरी दाईं ओर (बिंदु $A$ पर) की तुलना में दोगुनी है,इसलिए $B$ पर विद्युत क्षेत्र $A$ पर विद्युत क्षेत्र का आधा होगा।
$E_B = \frac{E_A}{2} = \frac{40 \ Vm^{-1}}{2} = 20 \ Vm^{-1}$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $q = 20 \ \mu C = 20 \times 10^{-6} \ C$.
$F = (20 \times 10^{-6} \ C) \times (20 \ Vm^{-1}) = 400 \times 10^{-6} \ N = 4 \times 10^{-4} \ N$.

(C) दिया गया है,अनंत लंबाई के तार का रेखीय आवेश घनत्व,$\lambda = \frac{1}{4} \times 10^{-2} \text{ C/m} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C/m}$.
तार से दूरी,$r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$.
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (2.5 \times 10^{-3})}{0.2}$
$E = \frac{45 \times 10^6}{0.2} = 2.25 \times 10^8 \text{ N/C}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $C$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$ होता है।
जब एक आवेश $q$ को एक घन के एक कोने पर रखा जाता है,तो आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए इसे $8$ ऐसे समान घनों द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए,एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{cube} = \frac{q}{8 \varepsilon_{0}}$ है।
एक घन में $6$ फलक होते हैं। आवेश $q$ एक कोने पर स्थित है। इस कोने पर मिलने वाले तीन फलक (इस मामले में,यदि आवेश $A$ पर है तो $ADHE$,$ABFE$ और $ABCD$ फलक) आवेश $q$ को अपने तल में समाहित करते हैं। इन फलकों के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह के समानांतर होती हैं,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश और विद्युत क्षेत्र के बीच का कोण $90^{\circ}$ है। अतः,इन $3$ फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $0$ है।
समरूपता के कारण शेष $3$ फलक कुल फ्लक्स $\Phi_{cube}$ को समान रूप से साझा करते हैं।
इसलिए,शेष $3$ फलकों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{face} = \frac{\Phi_{cube}}{3} = \frac{q / 8 \varepsilon_{0}}{3} = \frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ है।
अतः,फलक $ABCD$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\frac{q}{24 \varepsilon_{0}}$ है।

(B) दिए गए चित्र के अनुसार,रेखा $A B$ विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा के लंबवत है। अतः,रेखा $A B$ से गुजरने वाली और विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लंबवत सतह एक समविभव सतह की तरह व्यवहार करती है,इसलिए
$V_{A}=V_{B} \dots (i)$
विद्युत क्षेत्र और विद्युत विभव इस प्रकार संबंधित हैं
$E=-\frac{d V}{d x} \Rightarrow V=-\int E d x$
जो यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र की दिशा में विद्युत विभव घटता है,अर्थात
$V_{B}>V_{C} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास है
$V_{A}=V_{B}>V_{C}$

(C) बिंदु $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है: सीधा तार $AB$,वृत्ताकार चाप $BC$,और सीधा तार $CD$।
$1$. सीधे तार $AB$ के लिए,बिंदु $O$ तार की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,खंड $AB$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{AB} = 0$ है।
$2$. सीधे तार $CD$ के लिए,बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। तार $C$ से अनंत तक फैला हुआ है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$3$. वृत्ताकार चाप $BC$ के लिए,केंद्र $O$ पर बना कोण $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन है। वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r} \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\mu_0 I}{2r} \cdot \frac{3\pi/2}{2\pi} = \frac{3\mu_0 I}{8r}$ है।
चूंकि चाप और अर्ध-अनंत तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों की दिशा समान (कागज के अंदर की ओर) है,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{net} = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = 0 + \frac{3\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{3}{8} \frac{\mu_0 I}{r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।

(A) मान लीजिए कि दो तार $xx'$ अक्ष पर $x = -d$ और $x = +d$ पर स्थित हैं। धारा कागज के तल से बाहर की ओर बह रही है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $i$ धारा ले जाने वाले तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ होता है।
$x = -d$ पर स्थित तार के लिए, $x > -d$ के लिए क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (x+d)}$ है, जो $(-\hat{j})$ दिशा में है।
$x = +d$ पर स्थित तार के लिए, $x < d$ के लिए क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (d-x)}$ है, जो $\hat{j}$ दिशा में है।
तारों के बीच के क्षेत्र $(-d < x < d)$ में, कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi} \left[ \frac{1}{d-x} - \frac{1}{d+x} \right]$ है।
मध्य बिंदु $x = 0$ पर, $B_{net} = 0$ होता है। जैसे-जैसे $x$, $d$ के करीब पहुंचता है, $B_{net} \to \infty$ $\hat{j}$ दिशा में हो जाता है। जैसे-जैसे $x$, $-d$ के करीब पहुंचता है, $B_{net} \to -\infty$ $(-\hat{j})$ दिशा में हो जाता है।
तारों के बाहर, क्षेत्रों का परिमाण जुड़ जाता है। सही ग्राफिकल निरूपण जो मध्य बिंदु पर क्षेत्र को शून्य और दोनों तरफ विपरीत दिशाओं को दर्शाता है, वह विकल्प $A$ द्वारा दिया गया है।

(A) बायो-सावर के नियम के अनुसार,धारा अवयव $i d l$ के कारण किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का व्यंजक इस प्रकार है:
$dB = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{i (d l \times r)}{r^{3}}$
यहाँ,$i$ विद्युत धारा है,$d l$ लंबाई अवयव सदिश है,$r$ उस बिंदु का स्थिति सदिश है जहाँ क्षेत्र की गणना करनी है,और $\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d l \times r}{r^{3}}$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे बेलनाकार तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < R)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\mu_0, I, R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B_{\text{in}} \propto r$ है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. तार के बाहर $(r > R)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\mu_0, I$ स्थिरांक हैं,इसलिए $B_{\text{out}} \propto \frac{1}{r}$ है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
$3$. सतह पर $(r = R)$,चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{\text{max}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$।
अतः,ग्राफ $r < R$ के लिए रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए अतिपरवलयिक गिरावट को दर्शाता है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(C) जब एक आवेशित कण को साइक्लोट्रॉन में त्वरित किया जाता है,तो उसके पथ की त्रिज्या $r$ को $r = \frac{\sqrt{2Km}}{Bq}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r^2 = \frac{2Km}{B^2q^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $K = \frac{B^2q^2r^2}{2m}$।
चूंकि बाहर निकलते समय सभी कणों के लिए $B$ और $r$ समान हैं,इसलिए $K \propto \frac{q^2}{m}$।
प्रोटॉन $\left({ }_{1}^{1} H\right)$,ड्यूटेरॉन $\left({ }_{1}^{2} H\right)$,और $\alpha$-कणों $\left({ }_{2}^{4} He\right)$ के लिए:
आवेश का अनुपात: $q_p : q_d : q_{\alpha} = 1 : 1 : 2$।
द्रव्यमान का अनुपात: $m_p : m_d : m_{\alpha} = 1 : 2 : 4$।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $K \propto \frac{q^2}{m}$ की गणना करने पर:
$K_p \propto \frac{1^2}{1} = 1$।
$K_d \propto \frac{1^2}{2} = 0.5$।
$K_{\alpha} \propto \frac{2^2}{4} = 1$।
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम गतिज ऊर्जा ड्यूटेरॉन द्वारा प्राप्त की जाती है।

(B) दिया गया है: $M_{1} = 8 \text{ Am}^{-1}$,$B_{1} = 0.6 \text{ T}$,$T_{1} = 4 \text{ K}$,$B_{2} = 0.2 \text{ T}$,और $T_{2} = 16 \text{ K}$।
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए क्यूरी के नियम के अनुसार,चुंबकन $M = \frac{C B}{T}$ होता है,जहाँ $C$ क्यूरी नियतांक है।
अतः,$M_{1} = \frac{C B_{1}}{T_{1}}$ और $M_{2} = \frac{C B_{2}}{T_{2}}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{M_{2}}{M_{1}} = \frac{B_{2}}{B_{1}} \times \frac{T_{1}}{T_{2}}$।
मान रखने पर: $\frac{M_{2}}{8} = \frac{0.2}{0.6} \times \frac{4}{16}$।
$\frac{M_{2}}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$।
$M_{2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ Am}^{-1}$।

(D) एक स्थायी चुंबक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ से बना होता है। एक स्थायी चुंबक में,निर्माण प्रक्रिया (जैसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में ठंडा करना) के कारण चुंबकीय डोमेन एक विशिष्ट दिशा में संरेखित होते हैं। इसलिए,कमरे के तापमान पर,नेट चुंबकीय आघूर्ण उत्पन्न करने के लिए सभी डोमेन पूरी तरह से संरेखित होते हैं।

(C) $\beta^{-}$-क्षय की प्रक्रिया को निम्नलिखित परमाणु अभिक्रिया द्वारा दर्शाया जाता है:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y + e^{-} + \bar{\nu} + Q$
इस प्रक्रिया में,नाभिक के भीतर एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन में परिवर्तित हो जाता है,जिससे एक इलेक्ट्रॉन $(e^{-})$ और एक एंटी-न्यूट्रिनो $(\bar{\nu})$ उत्सर्जित होता है।
अतः,सही कथन यह है कि नाभिक में एक न्यूट्रॉन का क्षय होता है और वह एक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है।

(C) दिया गया है,अर्ध-आयु,$T_{1/2} = 15$ वर्ष।
समय,$t = 30$ वर्ष।
अर्ध-आयु की संख्या,$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{15} = 2$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद बिना क्षय हुए बचे नाभिकों का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
क्षयित हुए तत्व का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - 0.25 = 0.75$ है।

(A) दिया गया है, खंभों के बीच की दूरी $(d) = 3.14 \, m$.
विभेदन क्षमता $(\theta) = 1 \, min = (1/60)^{\circ} = (1/60) \times (\pi/180) \, \text{रेडियन}$.
माना वह अधिकतम दूरी जहाँ से दोनों खंभों को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है, $x$ है।
छोटे कोणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, $\theta = d/x$ (जहाँ $\theta$ रेडियन में है)।
$\theta = 1 \, min = (1/60) \times (\pi/180) \, rad$.
मान रखने पर: $(1/60) \times (\pi/180) = 3.14 / x$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$, इसलिए $(1/60) \times (3.14/180) = 3.14 / x$.
$1 / (60 \times 180) = 1 / x$.
$x = 60 \times 180 = 10800 \, m$.
$x = 10.8 \, km$.

(C) लेंस सूत्र से,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $0 = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} + \frac{1}{u^2} \frac{du}{dt}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,प्रतिबिंब का वेग $v_i = \frac{dv}{dt} = \left(\frac{v^2}{u^2}\right) \frac{du}{dt} = m^2 v_o$,जहाँ $m = \frac{v}{u}$ आवर्धन है और $v_o$ वस्तु की चाल है।
चूंकि $m = \frac{f}{f+u}$,जैसे-जैसे वस्तु फोकस $(u \to -f)$ की ओर बढ़ती है,आवर्धन $m$ बदलता है।
त्वरण $a_i = \frac{dv_i}{dt} = \frac{d}{dt}(m^2 v_o) = 2m v_o \frac{dm}{dt}$ प्राप्त करने के लिए वेग का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर।
जैसे-जैसे वस्तु फोकस के करीब आती है,$m$ अरैखिक रूप से बदलता है,जिससे $\frac{dm}{dt}$ चर हो जाता है। अतः,प्रतिबिंब असमान त्वरण के साथ लेंस से दूर जाता है।

(D) चूंकि प्रकाश की किरणें बिंदु $P$ पर अभिसरित हो रही हैं,इसलिए यह अवतल लेंस के लिए एक आभासी वस्तु के रूप में कार्य करता है। लेंस की स्थिति से बिंदु $P$ की दूरी $u = +12 \,cm$ है (क्योंकि यह आपतित प्रकाश की दिशा में है)।
अवतल लेंस की फोकस दूरी $f = -16 \,cm$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{12} = \frac{1}{-16}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16}$
$\frac{1}{v} = \frac{4 - 3}{48} = \frac{1}{48}$
अतः,$v = 48 \,cm$।
चूंकि किरण पुंज लेंस से $x$ दूरी पर अभिसरित होती है,इसलिए $x = 48 \,cm$।

(D) दिया गया है,प्रिज्म का कोण $= A$.
प्रिज्म का अपवर्तनांक,$\mu = \cot \frac{A}{2}$.
हम जानते हैं कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\mu$ का मान रखने पर:
$\cot \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos (A/2)}{\sin (A/2)} = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin (A/2)}$
$\cos (A/2) = \sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)$
चूंकि $\cos \theta = \sin (90^{\circ} - \theta)$,इसलिए:
$\sin (90^{\circ} - A/2) = \sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)$
कोणों की तुलना करने पर:
$90^{\circ} - \frac{A}{2} = \frac{A+\delta_m}{2}$
$180^{\circ} - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^{\circ} - 2A$.

(D) यह परिपथ संधारित्र फिल्टर के साथ एक हाफ-वेव रेक्टिफायर के रूप में कार्य करता है।
जब $AC$ आपूर्ति जुड़ी होती है, तो $p-n$ जंक्शन डायोड केवल धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान ही विद्युत का संचालन करता है (अग्र अभिनत स्थिति)।
इस चक्र के दौरान, संधारित्र इनपुट $AC$ वोल्टेज के शिखर मान (पीक वैल्यू) तक चार्ज हो जाता है।
एक बार चार्ज हो जाने पर, संधारित्र इस शिखर वोल्टेज को बनाए रखता है क्योंकि परिपथ में डिस्चार्ज के लिए कोई मार्ग नहीं दिया गया है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$, इनपुट $AC$ वोल्टेज के शिखर मान $(V_0)$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि $RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = 220 \,V$, इसलिए शिखर वोल्टेज की गणना इस प्रकार की जाती है:
$V = V_0 = V_{\text{rms}} \times \sqrt{2}$
$V = 220 \times \sqrt{2} \,V = 220 \sqrt{2} \,V$.

(B) यह परिपथ दो क्रॉस-कपल्ड $NAND$ गेट्स से बना है, जो एक $S-R$ लैच का निर्माण करते हैं।
मान लीजिए कि इनपुट $S=1$ और $R=0$ हैं।
आउटपुट $P$ का मान $P = \overline{1 \cdot Q} = \overline{Q}$ द्वारा दिया जाता है।
आउटपुट $Q$ का मान $Q = \overline{0 \cdot P} = \overline{0} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $Q=1$, इसे $P$ के समीकरण में रखने पर $P = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, परिपथ की स्थिर अवस्था $P=0$ और $Q=1$ है।

(B) कमरे के तापमान पर,कुछ संयोजी इलेक्ट्रॉन $E_{g}$ (चालन और संयोजी बैंड के बीच ऊर्जा अंतराल) से अधिक तापीय ऊर्जा प्राप्त करते हैं और मुक्त हो जाते हैं।
जब एक संयोजी इलेक्ट्रॉन चालन बैंड में चला जाता है,तो वह संयोजी बैंड में एक रिक्ति छोड़ देता है।
इस रिक्ति को होल के रूप में जाना जाता है और यह धनात्मक आवेश वाले आवेश वाहक के रूप में कार्य करता है।

(C) जब $I_{0}$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $P_{1}$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_{1} = \frac{I_{0}}{2}$ हो जाती है।
यहाँ $I_{0} = 128 \ Wm^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $I_{1} = \frac{128}{2} = 64 \ Wm^{-2}$।
मेलस के नियम के अनुसार,जब $I_{1}$ तीव्रता का प्रकाश एक ऐसे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी पास अक्ष आपतित प्रकाश की ध्रुवण दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो संचरित तीव्रता $I = I_{1} \cos^{2} \theta$ होती है।
$P_{2}$ के लिए,$P_{1}$ और $P_{2}$ की पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_{1} = 45^{\circ}$ है।
$P_{2}$ के बाद तीव्रता $I_{2} = I_{1} \cos^{2} 45^{\circ} = 64 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = 64 \times \frac{1}{2} = 32 \ Wm^{-2}$ है।
$P_{3}$ के लिए,$P_{2}$ और $P_{3}$ की पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_{2} = 45^{\circ}$ है।
$P_{3}$ के बाद तीव्रता $I_{3} = I_{2} \cos^{2} 45^{\circ} = 32 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = 32 \times \frac{1}{2} = 16 \ Wm^{-2}$ है।

(D) दिया गया है: स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी $D = 1.2 \, m$, स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 2.4 \, mm = 2.4 \times 10^{-3} \, m$, माइका शीट की मोटाई $t = 1 \, \mu m = 1 \times 10^{-6} \, m$, और अपवर्तनांक $\mu = 1.5$।
जब व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के पथ में एक पारदर्शी शीट रखी जाती है, तो केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की स्थिति में विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$y = (\mu - 1) t \frac{D}{d}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$y = (1.5 - 1) \times (1 \times 10^{-6} \, m) \times \frac{1.2 \, m}{2.4 \times 10^{-3} \, m}$
$y = 0.5 \times 10^{-6} \times \frac{1.2}{2.4 \times 10^{-3}}$
$y = 0.5 \times 10^{-6} \times 0.5 \times 10^{3}$
$y = 0.25 \times 10^{-3} \, m = 0.25 \, mm$
अतः, केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की स्थिति में विस्थापन $0.25 \, mm$ है।