KCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई श्रेणी $3+5+7+\ldots$ के $n$ पद हैं।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जिसका प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 5 - 3 = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योगफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
मान $a = 3$ और $d = 2$ रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2}[6 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 4]$
$S_n = n(n + 2)$

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=36$ और $b^{2}=16$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ है।
मान रखने पर,$e=\sqrt{1-\frac{16}{36}}$.
$e=\sqrt{\frac{36-16}{36}}=\sqrt{\frac{20}{36}}$.
$e=\frac{\sqrt{20}}{6}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}$.

(B) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos ^{2} A - \sin ^{2} B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
यहाँ,$A = 45^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cos ^{2} 45^{\circ} - \sin ^{2} 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 15^{\circ}) \cdot \cos(45^{\circ} - 15^{\circ})$
$= \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(30^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) दिया गया है,$ \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos 4 \theta}{1-\cos 6 \theta} $.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x $ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$ \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2(2 \theta)}{2 \sin^2(3 \theta)} = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin^2(2 \theta)}{\sin^2(3 \theta)} $.
अंश और हर को क्रमशः $ (2 \theta)^2 $ और $ (3 \theta)^2 $ से गुणा और भाग करने पर:
$ \lim _{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(2 \theta)}{2 \theta} \right)^2 \times \left( \frac{3 \theta}{\sin(3 \theta)} \right)^2 \times \frac{(2 \theta)^2}{(3 \theta)^2} $.
चूंकि $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण:
$ 1^2 \times 1^2 \times \frac{4 \theta^2}{9 \theta^2} = \frac{4}{9} $.

(D) दिया गया कथन "यदि $P$,तो $Q$" के रूप में है,जहाँ $P$ है "$x$ एक अभाज्य संख्या है" और $Q$ है "$x$ विषम है".
"यदि $P$,तो $Q$" कथन का प्रतिधनात्मक (contrapositive) "यदि $\neg Q$,तो $\neg P$" के रूप में परिभाषित होता है.
यहाँ,$\neg Q$ है "$x$ विषम नहीं है" और $\neg P$ है "$x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है".
अतः,प्रतिधनात्मक कथन "यदि $x$ विषम नहीं है,तो $x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है" होगा।

(A) $1$. रेखा बिंदुओं $(0, 5)$ और $(4, 0)$ से होकर गुजरती है। इस रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 4y = 20$ प्राप्त होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र रेखा के ऊपर है,इसलिए असमिका $5x + 4y \geq 20$ है।
$2$. क्षेत्र दाईं ओर ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 6$ द्वारा परिबद्ध है,और चूंकि छायांकित भाग इस रेखा के बाईं ओर है,इसलिए $x \leq 6$ है।
$3$. क्षेत्र ऊपर की ओर क्षैतिज रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है,और चूंकि छायांकित भाग इस रेखा के नीचे है,इसलिए $y \leq 3$ है।
$4$. क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$5$. इन सभी को संयोजित करने पर,असमिकाओं का निकाय $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि ${ }^{n} C_{12}={ }^{n} C_{8}$ है।
हम जानते हैं कि संचय के गुणधर्म के अनुसार ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{k}$ का अर्थ है कि या तो $r=k$ या $n=r+k$ होगा।
यहाँ,$r=12$ और $k=8$ है।
चूंकि $12 \neq 8$,इसलिए $n=12+8$ होगा।
अतः,$n=20$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि,$\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m} = 1$।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करके सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^{2}}{1^{2}-i^{2}} = \frac{1+i^{2}+2i}{1-(-1)} = \frac{1-1+2i}{2} = \frac{2i}{2} = i$।
अब,समीकरण $i^{m} = 1$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $i$ की घातें एक चक्र का पालन करती हैं:
$i^{1} = i$
$i^{2} = -1$
$i^{3} = -i$
$i^{4} = 1$
अतः,$m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान जिसके लिए $i^{m} = 1$ है,वह $m = 4$ है।

(A) $(x+a)^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+a)^n - (x-a)^n$ के लिए,$a$ की सम घात वाले पद कट जाते हैं,और केवल $a$ की विषम घात वाले पद शेष रहते हैं।
यदि $n$ एक विषम संख्या है,तो $(x+a)^n - (x-a)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $\frac{n+1}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 47$,जो एक विषम संख्या है।
अतः,पदों की संख्या $\frac{47+1}{2} = \frac{48}{2} = 24$ होगी।

(A) विचरण गुणांक $( CV )$ का सूत्र इस प्रकार है:
$ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 $
जहाँ $ \sigma $ मानक विचलन है और $ \bar{x} $ समांतर माध्य है।
यहाँ $ CV = 60 $ और $ \sigma = 24 $ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$ 60 = \frac{24}{\bar{x}} \times 100 $
$ 60 = \frac{2400}{\bar{x}} $
$ \bar{x} = \frac{2400}{60} $
$ \bar{x} = 40 $
अतः,समांतर माध्य $ 40 $ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण: $y = 3x - 1$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m_1 = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ को $m_1 \cdot m_2 = -1$ की शर्त को पूरा करना होगा।
अतः,$3 \cdot m_2 = -1$,जिससे $m_2 = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$ होता है।
$(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $m = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(y - 2) = -\frac{1}{3}(x - 1)$।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर:
$3(y - 2) = -(x - 1) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x + 3y - 7 = 0$।

(C) दिया गया है कि $A$,$B$ का उपसमुच्चय है,जिसे $A \subset B$ के रूप में दर्शाया जाता है।
उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार,$A$ का प्रत्येक अवयव $B$ का भी अवयव है।
इसलिए,$A$ और $B$ का संघ (union) $B$ होता है,अर्थात $A \cup B = B$।
दोनों पक्षों में अवयवों की संख्या लेने पर,हमें $n(A \cup B) = n(B)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) $A$ होता है,अर्थात $A \cap B = A$,जिसका अर्थ है कि $n(A \cap B) = n(A)$।

(A) दी गई असमिका $|x-2| \leq 1$ है।
हम जानते हैं कि गुणधर्म $|x| \leq a$ का अर्थ $-a \leq x \leq a$ होता है।
इस गुणधर्म को दी गई असमिका पर लागू करने पर,हमें $-1 \leq x-2 \leq 1$ प्राप्त होता है।
असमिका के सभी भागों में $2$ जोड़ने पर,हमें $-1 + 2 \leq x \leq 1 + 2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $1 \leq x \leq 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $x \in [1, 3]$ है।

(D) दिया गया है,$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}\right)$.
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}\right)$.
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \pi/4$ और $B = x$:
$y = \tan^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)\right) = \frac{\pi}{4} + x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = 0 + 1 = 1$.

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
दिए गए शीर्ष $(K, 0), (4, 0), (0, 2)$ हैं और $\text{Area} = 4$ है।
मान रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |K(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$
$4 = \frac{1}{2} |-2K + 8|$
$8 = |-2K + 8|$
इसका अर्थ है:
$-2K + 8 = 8$ या $-2K + 8 = -8$
स्थिति $1$: $-2K = 0 \Rightarrow K = 0$.
स्थिति $2$: $-2K = -16 \Rightarrow K = 8$.
अतः,$K$ का मान $0$ या $8$ है।

(C) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{a}{b+1}$ है।
क्रमविनिमेयता की जाँच:
$a * b = \frac{a}{b+1}$
$b * a = \frac{b}{a+1}$
चूँकि $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ सभी $a, b \in R - \{-1\}$ के लिए,संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता की जाँच:
$(a * b) * c = \left(\frac{a}{b+1}\right) * c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b}{c+1}\right) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
चूँकि $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$,संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,$*$ न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य है।

(A) दिया गया है,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ और $\tan y = \frac{2t}{1-t^2}$.
हम जानते हैं कि:
$x = \sin^{-1}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) = 2\tan^{-1}t$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2t}{1-t^2}\right) = 2\tan^{-1}t$.
अतः,$x = y$ है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X) = 1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.3 + k + 2k + 2k = 1$
$0.3 + 5k = 1$
$5k = 1 - 0.3$
$5k = 0.7$
$k = \frac{0.7}{5}$
$k = 0.14$

(A) वक्र $y = \cos x$ द्वारा $x = 0$ से $x = \pi$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$Area = \int_{0}^{\pi} |\cos x| dx$
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\cos x \geq 0$ और $x \in [\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x \leq 0$ है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$Area = \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) dx$
$Area = [\sin x]_{0}^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^{\pi}$
$Area = (\sin(\pi/2) - \sin 0) - (\sin \pi - \sin(\pi/2))$
$Area = (1 - 0) - (0 - 1) = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,यदि फलन $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ में सतत और $(a, b)$ में अवकलनीय है,तो एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$।
यहाँ $f(x) = x^{2}$,$a = 2$,और $b = 4$ है।
$f(2) = 4$ और $f(4) = 16$ है।
अवकलन $f'(x) = 2x$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$2c = \frac{16 - 4}{4 - 2} = \frac{12}{2} = 6$।
अतः,$c = 3$।

(B) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} d x $.
अंश और हर को $ \cos^{2} x $ से विभाजित करने पर:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^{2} x}{a^{2} \tan^{2} x + b^{2}} d x $.
माना $ \tan x = t $,तब $ \sec^{2} x d x = d t $.
जब $ x = 0, t = 0 $ और जब $ x = \frac{\pi}{2}, t \to \infty $.
$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{a^{2} t^{2} + b^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{t^{2} + (b/a)^{2}} $.
सूत्र $ \int \frac{d x}{x^{2} + k^{2}} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) $ का उपयोग करने पर:
$ I = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{(b/a)} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{t}{b/a} \right) \right]_{0}^{\infty} $.
$ I = \frac{1}{ab} \left( \tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0) \right) = \frac{1}{ab} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2ab} $.

(C) समतल $2x - 3y + 6z - 11 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{d} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{|\vec{n}| |\vec{d}|}$ का उपयोग करने पर।
अदिश गुणन: $\vec{n} \cdot \vec{d} = (2)(1) + (-3)(0) + (6)(0) = 2$.
परिमाण: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ और $|\vec{d}| = 1$.
अतः,$\sin \theta = \frac{2}{7}$.
दिया गया है कि $\theta = \sin^{-1}(\alpha)$,इसलिए $\alpha = \frac{2}{7}$.

(B) माना गोले की त्रिज्या $r = 4 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
$r = 4 \text{ cm}$ पर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}^3 \text{ cm}^{-2}$.

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए बायां सीमा ($L$.$H$.$L$.) और दायां सीमा ($R$.$H$.$L$.) बराबर होनी चाहिए।
$L$.$H$.$L$. = $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} Kx^2 = K(2)^2 = 4K$.
$R$.$H$.$L$. = $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} 3 = 3$.
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $4K = 3$.
अतः,$K = \frac{3}{4}$.

(B) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में,यदि उद्देश्य फलन सुसंगत क्षेत्र के दो अलग-अलग शीर्षों पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो यह उन दो शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड पर प्रत्येक बिंदु पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त करता है। यह $LPP$ में सुसंगत हलों के उत्तल समुच्चय का एक मूलभूत गुण है।

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$2\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
पहले आव्यूह को $2$ से गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
बाईं ओर के दोनों आव्यूहों को जोड़ने पर:
$\begin{bmatrix} 2+y & 6+0 \\ 0+1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2+y & 6 \\ 1 & 2x+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2+y = 5 \Rightarrow y = 5-2 = 3$
$2x+2 = 8 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$
अतः,$x=3$ और $y=3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $f(x) = 8x^3$ और $g(x) = x^{1/3}$ है।
संयुक्त फलन की परिभाषा के अनुसार,$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ होता है।
$f(x)$ में $g(x)$ का मान रखने पर:
$(f \circ g)(x) = f(x^{1/3}) = 8(x^{1/3})^3$.
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें $(x^{1/3})^3 = x^{(1/3) \times 3} = x^1 = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$(f \circ g)(x) = 8x$।

(B) एक सममित आव्यूह के लिए,हम जानते हैं कि: $A^{T} = A$ $(1)$
एक विषम-सममित आव्यूह के लिए,हम जानते हैं कि: $A^{T} = -A$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $A = -A$
दोनों पक्षों में $A$ जोड़ने पर: $2A = 0$
अतः,$A = 0$,जिसका अर्थ है कि $A$ एक शून्य आव्यूह है।

(D) फलन $f(x) = \sec^{-1} x$,सेकेंट फलन का प्रतिलोम है जिसे $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ पर प्रतिबंधित किया गया है।
परिभाषा के अनुसार,$\sec^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ अंतराल है,जिसमें से $\frac{\pi}{2}$ को हटा दिया जाता है,क्योंकि $\sec x$ का मान $\frac{\pi}{2}$ पर अपरिभाषित होता है।
अतः,इसका परिसर $[0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\}$ है।

(A) हमें समाकलन $ I = \int_{-5}^{5} |x+2| \, dx $ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $|x+2| = -(x+2)$ जब $x < -2$ और $|x+2| = (x+2)$ जब $x \ge -2$,हम समाकलन को $x = -2$ पर विभाजित करते हैं:
$ I = \int_{-5}^{-2} -(x+2) \, dx + \int_{-2}^{5} (x+2) \, dx $
पहले भाग का मान:
$ -\left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-5}^{-2} = -\left( (\frac{4}{2} - 4) - (\frac{25}{2} - 10) \right) = -\left( -2 - 2.5 \right) = 4.5 $
दूसरे भाग का मान:
$ \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{5} = \left( (\frac{25}{2} + 10) - (\frac{4}{2} - 4) \right) = (12.5 + 10) - (-2) = 22.5 + 2 = 24.5 $
दोनों भागों का योग:
$ I = 4.5 + 24.5 = 29 $

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
हमें समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}|^2 = 1, |\vec{b}|^2 = 1, |\vec{c}|^2 = 1$ का मान रखने पर:
$1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(A) दिया गया समाकलन $ I = \int \frac{\cos 2x - \cos 2\theta}{\cos x - \cos \theta} dx $ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करते हुए,अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\cos 2x - \cos 2\theta = (2\cos^2 x - 1) - (2\cos^2 \theta - 1) = 2\cos^2 x - 2\cos^2 \theta = 2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)$.
अब,इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2(\cos^2 x - \cos^2 \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{2(\cos x - \cos \theta)(\cos x + \cos \theta)}{\cos x - \cos \theta} dx$.
समान पद $(\cos x - \cos \theta)$ को काटने पर:
$I = 2 \int (\cos x + \cos \theta) dx$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर (जहाँ $\cos \theta$ एक अचर है):
$I = 2(\sin x + x \cos \theta) + C$.

(A) माना $y = \cos ^{-1}(2x^2 - 1)$ और $z = \cos ^{-1} x$ है।
हम जानते हैं कि $x \in [0, 1]$ के लिए $\cos ^{-1}(2x^2 - 1) = 2 \cos ^{-1} x$ होता है।
अतः,$y = 2z$ है।
$y$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}(2z) = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{2} + 2x - 5$ है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने का अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2} + 2x - 5) = 2x + 2$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,शर्त $f'(x) > 0$ होनी चाहिए।
$2x + 2 > 0$
$2x > -2$
$x > -1$.
अतः,फलन $(-1, \infty)$ अंतराल में निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया है,$y = \log(\log x) \quad (1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x} \quad (2)$
अब,समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर (भागफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}((x \log x)^{-1}) = -1(x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log x)^2} \cdot [x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1]$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1 + \log x}{(x \log x)^2}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = 1$ $(y \neq 1)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 1 - y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1-y} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1-y} = \int dx$ प्राप्त होता है।
इससे,$-\log |1-y| = x + C$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म $-\log |a| = \log |\frac{1}{a}|$ का उपयोग करने पर,हमें $\log \left|\frac{1}{1-y}\right| = x + C$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $ I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें: $ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2} + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2} $.
अब समाकलन $ I = \int \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} \, dx $ हो जाता है।
मानक सूत्र $ \int \sqrt{t^{2}+a^{2}} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log \left|t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}\right| + C $ का उपयोग करते हुए,जहाँ $ t = x+1 $ और $ a = 2 $ है।
इन मानों को रखने पर: $ I = \frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} + \frac{2^{2}}{2} \log \left|(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}}\right| + C $.
व्यंजक को सरल करने पर: $ I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2x+5} + 2 \log \left|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x+5}\right| + C $.
अतः,सही विकल्प $ A $ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण:
$x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर $(x \neq 0)$:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x$
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार दिया जाता है:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx}$
$= e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$
अतः,समाकलन गुणक $x^2$ है।

(B) दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं यदि और केवल यदि एक के घटित होने से दूसरी की प्रायिकता पर कोई प्रभाव न पड़े।
यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो उनके पूरक $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र होते हैं।
स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा के अनुसार,दो स्वतंत्र घटनाओं के सर्वनिष्ठ (intersection) की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है।
इसलिए,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P(A^{\prime}) \cdot P(B^{\prime})$।
चूँकि $P(A^{\prime}) = 1 - P(A)$ और $P(B^{\prime}) = 1 - P(B)$,इसलिए हमें $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = (1 - P(A))(1 - P(B))$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ स्वतंत्रता के लिए सही शर्त है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3$.
अतः,फलन का प्रांत (domain) $x \in [-3, 3]$ है।
जब $x = 0$ है,तो $f(0) = \sqrt{9 - 0} = 3$ है।
जब $x = \pm 3$ है,तो $f(\pm 3) = \sqrt{9 - 9} = 0$ है।
चूंकि वर्गमूल फलन हमेशा गैर-ऋणात्मक मान देता है,इसलिए न्यूनतम मान $0$ और अधिकतम मान $3$ है।
अतः,फलन का परिसर $[0, 3]$ है।

(B) दिया गया है $ \Delta = \begin{vmatrix} Ax & x^2 & 1 \\ By & y^2 & 1 \\ Cz & z^2 & 1 \end{vmatrix} $.
$ R_1, R_2, R_3 $ से क्रमशः $ x, y, z $ उभयनिष्ठ लेने पर:
$ \Delta = xyz \begin{vmatrix} A & x & \frac{1}{x} \\ B & y & \frac{1}{y} \\ C & z & \frac{1}{z} \end{vmatrix} $.
$ C_3 $ को $ xyz $ से गुणा करने पर:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & x & yz \\ B & y & zx \\ C & z & xy \end{vmatrix} $.
सारणिक का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$ \Delta = \begin{vmatrix} A & B & C \\ x & y & z \\ yz & zx & xy \end{vmatrix} = \Delta_1 $.
अतः,$ \Delta_1 = \Delta $.

(A) हमें दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5}$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} y=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x) + (\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\pi - (\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y) = \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \pi - \frac{4 \pi}{5}$.
$\cot ^{-1} x + \cot ^{-1} y = \frac{\pi}{5}$.

(A) दिए गए बिंदु के निर्देशांक $P(x, y, z) = (6, 7, 8)$ हैं।
किसी भी बिंदु $(x, y, z)$ की $XY$-समतल से लंबवत दूरी उसके $z$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,जो $|z|$ है।
यहाँ,$z$-निर्देशांक $8$ है।
अतः,$XY$-समतल से लंबवत दूरी $|8| = 8$ है।

(B) माना $ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $.
गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x $ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)}{\cot ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)+\tan ^{7}(\frac{\pi}{2}-x)} d x $.
चूंकि $ \tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x $ और $ \cot(\frac{\pi}{2}-x) = \tan x $,इसलिए:
$ I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} d x $.
$ I $ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$ 2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\tan ^{7} x + \cot ^{7} x}{\tan ^{7} x+\cot ^{7} x} d x = \int_{0}^{\pi / 2} 1 d x $.
$ 2I = [x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} $.
अतः,$ I = \frac{\pi}{4} $.

(D) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबकोणीय होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$
$2 + 2\lambda + 3 = 0$
$5 + 2\lambda = 0$
$2\lambda = -5$
$\lambda = -\frac{5}{2}$

(B) वक्र $y=x^2$ है और रेखा $y=16$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2=16$ रखकर प्राप्त किए जा सकते हैं,जो $x = \pm 4$ देता है।
चूंकि क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_0^{16} x \, dy = 2 \int_0^{16} \sqrt{y} \, dy$
$A = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_0^{16}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_0^{16}$
$A = \frac{4}{3} \left( 16^{3/2} - 0^{3/2} \right)$
$A = \frac{4}{3} \times (4^2)^{3/2} = \frac{4}{3} \times 4^3$
$A = \frac{4}{3} \times 64 = \frac{256}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(C) दिया गया है कि,खराब पेन चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
इसलिए,सही पेन चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ है।
चूंकि पेन प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,यह द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ परीक्षण हैं।
हमें अधिक से अधिक एक पेन के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$।
द्विपद सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$।
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$।
अतः,$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^{5} + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$।

(D) $XY$-समतल में किसी बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब लेने पर $z$-निर्देशांक का चिह्न बदल जाता है,जबकि $x$ और $y$ निर्देशांक समान रहते हैं।
अतः,$XY$-समतल में बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, -\gamma)$ होगा।

(C) दिया गया है कि आव्यूह $A$,$3 \times 3$ कोटि का है।
हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह के लिए,सारणिक का गुणधर्म $|KA| = K^{n}|A|$ होता है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|KA| = K^{3}|A|$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए आव्यूह $ A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ और $ B = \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ हैं।
$ A $ में से $ B $ घटाने पर:
$ A - B = \begin{bmatrix} \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(\pi x) + \cos^{-1}(\pi x) & \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \frac{1}{\pi} \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \frac{1}{\pi} \cot^{-1}(\pi x) + \tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $.
मानक सर्वसमिका $ \sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ और $ \tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} $ का उपयोग करते हुए,पदों को सरल करने पर हमें $ \frac{1}{2} I $ प्राप्त होता है,जहाँ $ I $ एक तत्समक आव्यूह है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{2}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटि के अवकलज की पहचान करते हैं।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात वह घातांक है जो उच्चतम कोटि के अवकलज पर होता है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दिए गए समीकरण में,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ का घातांक $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $y^{2} = x$ $(1)$
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि ढाल $m = \tan(\theta)$,जहाँ $\theta$ $x$-अक्ष के साथ बना कोण है।
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$m = \frac{dy}{dx} = 1$ रखने पर:
$2y(1) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
अब $y = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(\frac{1}{2})^{2} = x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ है।

(A) दिया गया है,$y = \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.
सारणिक का अवकलन एक समय में एक पंक्ति का अवकलन करके और अन्य पंक्तियों को स्थिर रखकर प्राप्त सारणिकों का योग होता है।
$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ 0 & 0 & 0 \\ a & b & c\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right|$.
चूंकि जिस सारणिक में एक पंक्ति के सभी अवयव $0$ होते हैं,उसका मान $0$ होता है,इसलिए दूसरा और तीसरा सारणिक शून्य हो जाएगा।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \left|\begin{array}{ccc}f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\ l & m & n \\ a & b & c\end{array}\right|$.

(B) हमें निश्चित समाकल $\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx$ दिया गया है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।
हम अंतराल $[0.2, 3.5]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ महत्तम पूर्णांक फलन अपना मान बदलता है:
$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = \int_{0.2}^{1} [x] \, dx + \int_{1}^{2} [x] \, dx + \int_{2}^{3} [x] \, dx + \int_{3}^{3.5} [x] \, dx$
चूँकि $x \in [0.2, 1)$ के लिए $[x] = 0$,$x \in [1, 2)$ के लिए $[x] = 1$,$x \in [2, 3)$ के लिए $[x] = 2$,और $x \in [3, 3.5]$ के लिए $[x] = 3$ है,इसलिए:
$= \int_{0.2}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{2} 1 \, dx + \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{3.5} 3 \, dx$
$= 0 + [x]_{1}^{2} + 2[x]_{2}^{3} + 3[x]_{3}^{3.5}$
$= 0 + (2 - 1) + 2(3 - 2) + 3(3.5 - 3)$
$= 0 + 1 + 2(1) + 3(0.5)$
$= 1 + 2 + 1.5 = 4.5$

(C) हमें समाकलन $ I = \int \frac{(x+3) e^{x}}{(x+4)^{2}} d x $ दिया गया है।
इसे हल करने के लिए,अंश को $(x+4-1)$ के रूप में लिखते हैं:
$ I = \int e^{x} \frac{(x+4-1)}{(x+4)^{2}} d x $.
भिन्न को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{x+4}{(x+4)^{2}} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
$ I = \int e^{x} \left[ \frac{1}{x+4} - \frac{1}{(x+4)^{2}} \right] d x $.
हम मानक समाकलन सूत्र जानते हैं:
$ \int e^{x} (f(x) + f'(x)) d x = e^{x} f(x) + C $.
यहाँ,मान लीजिए $ f(x) = \frac{1}{x+4} $.
तब,$ f'(x) = -\frac{1}{(x+4)^{2}} $.
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ I = e^{x} \left( \frac{1}{x+4} \right) + C = \frac{e^{x}}{x+4} + C $.

(D) माना $ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{e^{\sin x}+1} $.
गुणधर्म $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx $ का उपयोग करने पर:
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{1}{e^{\sin(-x)}+1} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{1}{e^{-\sin x}+1} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{e^{\sin x}+1} + \frac{e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}} \right) dx $
$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
हमें दिया गया है कि $\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}$ भी एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$।
$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ रखने पर:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$।
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$।
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$।
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(D) दिया गया है,$f: R \rightarrow R$ और $f(x)=x^{4}$.
$f$ के एकैकी (one-one) होने के लिए,$f(x_{1}) = f(x_{2})$ का अर्थ $x_{1} = x_{2}$ होना चाहिए।
यहाँ,$x_{1}^{4} = x_{2}^{4} \Rightarrow x_{1} = \pm x_{2}$।
उदाहरण के लिए,$f(1) = 1^{4} = 1$ और $f(-1) = (-1)^{4} = 1$।
चूंकि $f(1) = f(-1)$ लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।
$f$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,परिसर (range) सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर होना चाहिए।
सभी $x \in R$ के लिए $x^{4} \geq 0$ है,इसलिए परिसर $[0, \infty)$ है।
चूंकि परिसर $[0, \infty) \neq R$,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(B) दी गई रेखा: $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ $(1)$
बिंदु $P(-2, 4, -5)$.
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(3\lambda - 3, 5\lambda + 4, 6\lambda - 8)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(3\lambda - 3 - (-2), 5\lambda + 4 - 4, 6\lambda - 8 - (-5)) = (3\lambda - 1, 5\lambda, 6\lambda - 3)$ हैं।
चूंकि $PQ$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(3, 5, 6)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda - 1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda - 3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ को $Q$ में रखने पर,$Q\left(-\frac{21}{10}, \frac{55}{10}, -\frac{62}{10}\right)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(-\frac{21}{10} + 2)^2 + (\frac{55}{10} - 4)^2 + (-\frac{62}{10} + 5)^2}$
$PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1 + 225 + 144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$.

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{cc}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2 \sqrt{2}$