KCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) आधार $b > 1$ वाले लघुगणक फलन $f(x) = \log_{b}(x)$ के लिए:
$1$. प्रांत $(0, \infty)$ है,जो सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $R^{+}$ का समुच्चय है।
$2$. परिसर $(-\infty, \infty)$ है,जो सभी वास्तविक संख्याओं $R$ का समुच्चय है।
$3$. चूंकि किसी भी आधार $b > 0, b \neq 1$ के लिए $\log_{b}(1) = 0$ होता है,इसलिए बिंदु $(1, 0)$ हमेशा ग्राफ पर स्थित होता है।
$4$. चूंकि $b > 1$ है,फलन निरंतर वर्धमान (increasing) है,न कि ह्रासमान (decreasing)।
अतः,सही अवलोकन यह है कि बिंदु $(1, 0)$ हमेशा लघुगणक फलन के ग्राफ पर स्थित होता है।

(C) माना $z = \frac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$ है।
$z$ को पूर्णतः वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1-2i \sin \alpha)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{(1+2i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}$
$z = \frac{1 - 2i \sin \alpha - i \sin \alpha + 2i^2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{1 - 3i \sin \alpha - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} - i \frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha}$
$z$ के पूर्णतः वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग $0$ होना चाहिए:
$-\frac{3 \sin \alpha}{1 + 4 \sin^2 \alpha} = 0$
$\Rightarrow 3 \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \sin \alpha = 0$
$\Rightarrow \alpha = n \pi, n \in N$.

(A) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r+1}={ }^{n+1} C_{r+1}$.
दिया गया व्यंजक: ${ }^{49} C_3+{ }^{48} C_3+{ }^{47} C_3+{ }^{46} C_3+{ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4$.
चरण $1$: ${ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4 = { }^{46} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $2$: ${ }^{46} C_3+{ }^{46} C_4 = { }^{47} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $3$: ${ }^{47} C_3+{ }^{47} C_4 = { }^{48} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $4$: ${ }^{48} C_3+{ }^{48} C_4 = { }^{49} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $5$: ${ }^{49} C_3+{ }^{49} C_4 = { }^{50} C_4$ को संयोजित करने पर।
अतः,अंतिम मान ${ }^{50} C_4$ है।

(B) $GP$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$2n$ पदों का योग $S_{2n} = \frac{a(1 - r^{2n})}{1 - r}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \times \frac{1 - r}{a(1 - r^{2n})}$।
सर्वसमिका $1 - r^{2n} = (1 - r^n)(1 + r^n)$ का उपयोग करने पर,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1 - r^n}{(1 - r^n)(1 + r^n)}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1}{1 + r^n}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि $a$ और $b$ द्विघात समीकरण के मूल हैं।
तब,द्विघात समीकरण $x^2-(a+b)x+ab=0$ द्वारा दिया जाता है ....$(i)$
यह दिया गया है कि $AM = 5$ और $GM = 4$ है।
इसलिए,$\frac{a+b}{2} = 5 \Rightarrow a+b = 10$ है।
और $\sqrt{ab} = 4 \Rightarrow ab = 16$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2-10x+16=0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2-10x+16=0$ है।

(A) हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.
अतः,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=1}^{n} r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ है।
मान रखने पर: $S = \sum_{r=1}^{n} r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = \sum_{r=1}^{n} (n-r+1)$.
योग करने पर: $S = n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1$.
यह प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है,जो $\frac{n(n+1)}{2}$ के बराबर है।

(C) $\triangle ABC$ में,$C$ समकोण है,कोण $A, B, C$ के सम्मुख भुजाएँ क्रमशः $a, b, c$ हैं।
$\tan A = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{a}{b}$
$\tan B = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{b}{a}$
$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$= \frac{a^2 + b^2}{ab}$
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = c^2$ है।
अतः,$\tan A + \tan B = \frac{c^2}{ab}$.

(C) रेखा $x+y=3$ की ढाल $m_1 = -1$ है।
बिंदुओं $(1,1)$ और $(-3,4)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{4-1}{-3-1} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - (-1)}{1 + (-1)(-\frac{3}{4})} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 + \frac{3}{4}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \right| = \frac{1}{7}$.
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(B) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं।
दिया गया है कि दोनों वृत्तों के लिए चाप की लंबाई $l$ समान है।
चाप की लंबाई का सूत्र $l = r \theta$ है,जहाँ $\theta$ रेडियन में है।
पहले वृत्त के लिए,$l = r_1 \times (30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_1 \times \frac{\pi}{6}$।
दूसरे वृत्त के लिए,$l = r_2 \times (78^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$।
चूँकि चाप की लंबाई समान है,$r_1 \times \frac{\pi}{6} = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,$\frac{r_1}{6} = \frac{13r_2}{30}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{13 \times 6}{30} = \frac{13}{5}$।

(A) परवलय की नाभि $(a, 0) = (6, 0)$ है,जिसका अर्थ है कि $a = 6$ है।
परवलय की नियता $x = -a$ है,जो $x = -6$ है।
चूँकि नाभि $x$-अक्ष पर स्थित है और नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ के रूप में होगा।
$a = 6$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $y^2 = 4(6)x$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है।

(C) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$
$x = \frac{\pi}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})-1}{1-1} = \frac{0}{0}$ रूप प्राप्त होता है।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'\text{Hospital rule}$ लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \sin x \sin^2 x = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \sin^3 x$
$L = \sqrt{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \sqrt{2} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

(C) "प्रत्येक" (universal quantifier) वाले कथन का निषेध करने के लिए,इसे "कम से कम एक" (existential quantifier) से बदल दिया जाता है और विधेय (predicate) का निषेध किया जाता है।
दिया गया कथन: "प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$x^2+5$ धनात्मक है"।
इसका निषेध है: "कम से कम एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x^2+5$ धनात्मक नहीं है"।

(D) दिए गए प्रेक्षण $a, b, c, d, e$ हैं जिनका माध्य $m$ और मानक विचलन $S$ है।
मानक विचलन को $S = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक $k$ जोड़ा जाता है,तो नए प्रेक्षण $x_i' = x_i + k$ होते हैं।
नया माध्य $m' = \frac{\sum (x_i + k)}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + k = m + k$ है।
नया मानक विचलन $S' = \sqrt{\frac{\sum (x_i' - m')^2}{n}}$ है।
मान रखने पर,$S' = \sqrt{\frac{\sum ((x_i + k) - (m + k))^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$.
अतः,$S' = S$.
प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक जोड़ने से मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(C) मान लीजिए समुच्चय $A$ में $m$ अवयव हैं और समुच्चय $B$ में $n$ अवयव हैं।
समुच्चय $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ है और समुच्चय $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2^m - 2^n = 56$.
इसे $2^n(2^{m-n} - 1) = 56$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$56$ का गुणनखंड करने पर,$56 = 8 \times 7 = 2^3 \times (2^3 - 1)$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 2^3(2^3 - 1)$ की तुलना करने पर,हमें $n = 3$ और $m - n = 3$ प्राप्त होता है।
$m - n = 3$ में $n = 3$ रखने पर,$m - 3 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = 6$.
अतः,$m$ और $n$ के मान क्रमशः $6$ और $3$ हैं।

(C) $17$ का पूर्व-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 17$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = 17$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
अतः,$17$ का पूर्व-प्रतिबिंब $\{4, -4\}$ है।
$-3$ का पूर्व-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = -3$ रखते हैं:
$x^2 + 1 = -3$
$x^2 = -4$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई ऐसा वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए $f(x) = -3$ हो।
अतः,$-3$ का पूर्व-प्रतिबिंब $\phi$ (रिक्त समुच्चय) है।
इसलिए,पूर्व-प्रतिबिंब $\{4, -4\}$ और $\phi$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $[x]^2-5[x]+6=0$ है।
माना $[x] = y$,तो समीकरण $y^2-5y+6=0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y-3)(y-2)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$[x]=2$ या $[x]=3$ है।
यदि $[x]=2$ है,तो $2 \le x < 3$,जिसका अर्थ है $x \in [2, 3)$।
यदि $[x]=3$ है,तो $3 \le x < 4$,जिसका अर्थ है $x \in [3, 4)$।
इन दोनों अंतरालों को मिलाने पर,हमें $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना आयत की चौड़ाई $x \ cm$ है।
तब,आयत की लंबाई $5x \ cm$ होगी।
आयत का परिमाप $P = 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$P = 2(5x + x) = 2(6x) = 12x$।
दिया गया है कि न्यूनतम परिमाप $180 \ cm$ है,इसलिए $P \geq 180$।
अतः,$12x \geq 180$।
दोनों पक्षों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $x \geq 15$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ चौड़ाई को दर्शाता है,इसलिए चौड़ाई कम से कम $15 \ cm$ होनी चाहिए।

(B) दिया गया है $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$.
वर्धमान या ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं।
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
अतः,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x-x^2} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(2x+1)(1-x)$ पर निर्भर करता है।
$f'(x) > 0$ तब होता है जब $(2x+1)(1-x) > 0$,जिसका अर्थ है $-\frac{1}{2} < x < 1$.
इस प्रकार,$f(x)$ अंतराल $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ में वर्धमान है।

(D) माना $\theta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$ है। तब $\cot \theta = \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$।
आधार $\sqrt{2+x}$ और लंब $\sqrt{2-x}$ वाले समकोण त्रिभुज के लिए,कर्ण $\sqrt{(\sqrt{2+x})^2 + (\sqrt{2-x})^2} = \sqrt{2+x+2-x} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{2+x}}{2}$।
अब,व्यंजक $\frac{d}{d x}\left[\cos ^2 \theta\right] = \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{\sqrt{2+x}}{2}\right)^2\right]$ हो जाता है।
$= \frac{d}{d x}\left(\frac{2+x}{4}\right) = \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}\right) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।

(A) दिया गया है $f(x+y)=f(x)f(y)$.
$x=0, y=5$ रखने पर,हमें $f(5)=f(0)f(5)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(5)=3 \neq 0$,इसलिए $f(0)=1$ है।
अब,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$.
दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करने पर,$f(5+h)=f(5)f(h)$.
अतः,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5)f(h)-f(5)}{h} = f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
चूँकि $f(0)=1$,यह $f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(5)f^{\prime}(0)$ है।
मान रखने पर,$f^{\prime}(5) = 3 \times 2 = 6$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{n}{n^2+r^2}$ है।
अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{1+(r/n)^2}\right)$ प्राप्त होता है।
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(r/n) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ और $k = 2$ है।
अतः,समाकल $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ होगा।
समाकल का मान ज्ञात करने पर,$[\tan ^{-1}(x)]_0^2 = \tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(0) = \tan ^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

(C) $(3, 2)$ का तुल्यता वर्ग उन सभी युग्मों $(x, y) \in A \times A$ से बना है जिनके लिए $(x, y) R (3, 2)$ सत्य है।
इसका अर्थ है $2x = 3y$,या $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$।
चूँकि $x, y \in \{2, 3, \ldots, 18\}$ है,हम $(3, 2)$ के ऐसे गुणज ढूँढते हैं जिनमें दोनों घटक $\le 18$ हों:
$(x, y) = (3, 2)$
$(x, y) = (6, 4)$
$(x, y) = (9, 6)$
$(x, y) = (12, 8)$
$(x, y) = (15, 10)$
$(x, y) = (18, 12)$
इनकी गणना करने पर,हमें $6$ क्रमित युग्म प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया है कि $A^2 = A$ है।
हमें $(I+A)^3$ का विस्तार द्विपद प्रमेय $(I+A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$ का उपयोग करके करना है।
चूंकि $I$ एक तत्समक आव्यूह है,इसलिए $I^n = I$ और $IA = AI = A$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$.
चूंकि $A^2 = A$ है,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ होगा।
अब $A^2 = A$ और $A^3 = A$ को व्यंजक में रखने पर:
$(I+A)^3 = I + 3A + 3(A) + A$.
$(I+A)^3 = I + 3A + 3A + A$.
$(I+A)^3 = I + 7A$.

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1+1 \\ 1+1 & 1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2A$.
अब,$A^3$ की गणना करें:
$A^3 = A^2 \times A = (2A) \times A = 2(A^2) = 2(2A) = 4A = 2^2 A$.
इस पैटर्न का अवलोकन करते हुए,हम $A^n$ के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
$A^n = 2^{n-1} A$.
$n = 10$ के लिए:
$A^{10} = 2^{10-1} A = 2^9 A$.

(B) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x-3 & 2(x^2-9) & 2x^3-81 \\ x-5 & 2(x^2-25) & 4(x^3-125) \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|$.
जब $x=5$ है,तो दूसरी पंक्ति $5-5=0$,$2(25-25)=0$,और $4(125-125)=0$ हो जाती है। अतः,$f(5)=0$.
अब $f(1)$ की गणना करते हैं:
$f(1) = \left|\begin{array}{ccc} -2 & -16 & -79 \\ -4 & -48 & -496 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = -2888$.
अब $f(3)$ की गणना करते हैं:
$f(3) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -27 \\ -2 & -32 & -392 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right| = -27(-4 - (-32)) = -756$.
अतः,$f(1) \cdot f(3) + f(3) \cdot f(5) + f(5) \cdot f(1) = (-2888 \times -756) + 0 + 0 = 2183328$.

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x & 2x \\ \sin x & x & x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2x \sin x - 2x \sin x) + 1(2x \sin x - x \sin x)$
$f(x) = \cos x(-x^2) - x(0) + x \sin x$
$f(x) = -x^2 \cos x + x \sin x$
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ का मान ज्ञात करना है:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2 \cos x + x \sin x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( -\cos x + \frac{\sin x}{x} \right)$
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\cos(0) = 1$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -1 + 1 = 0$.

(A) दिया गया है $A = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$.
सारणिक $B$ इस प्रकार है: $B = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$.
पहली पंक्ति के अनुदिश $B$ का विस्तार करने पर:
$B = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$B = x(x^2 - 1) - (x - 1) - (x - 1)$
$B = x(x^2 - 1) - 2(x - 1)$
$B = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)$
$B = (x - 1)[x(x + 1) - 2]$
$B = (x - 1)(x^2 + x - 2)$
$B = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2) = x^3 - 3x + 2$.
अब,$x$ के सापेक्ष $B$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dB}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
चूंकि $A = x^2 - 1$,इसलिए $\frac{dB}{dx} = 3A$.

(C) दिया गया है कि $\cos ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(z)=3 \pi$ है।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(\theta)$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
इसलिए,प्रत्येक पद $\cos ^{-1}(x)$,$\cos ^{-1}(y)$,और $\cos ^{-1}(z)$ का अधिकतम मान $\pi$ है।
उनका योग $3 \pi$ होने के लिए,प्रत्येक पद का मान $\pi$ होना चाहिए।
अतः,$\cos ^{-1}(x)=\pi$,$\cos ^{-1}(y)=\pi$,और $\cos ^{-1}(z)=\pi$ है।
इसका अर्थ है कि $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,और $z = \cos(\pi) = -1$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1)$
$= (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2)$
$= 2 + 2 + 2 = 6$.

(B) दिया गया है कि $2 \sin ^{-1} x - 3 \cos ^{-1} x = 4$।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^{-1} x - 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x) = 4$
$2 \sin ^{-1} x - \frac{3 \pi}{2} + 3 \sin ^{-1} x = 4$
$5 \sin ^{-1} x = 4 + \frac{3 \pi}{2}$
$\sin ^{-1} x = \frac{8 + 3 \pi}{10}$
अब,हमें $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x$ का मान ज्ञात करना है।
$2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} x + 3(\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x)$
$= 2 \sin ^{-1} x + \frac{3 \pi}{2} - 3 \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \sin ^{-1} x$
$= \frac{3 \pi}{2} - \frac{8 + 3 \pi}{10}$
$= \frac{15 \pi - 8 - 3 \pi}{10}$
$= \frac{12 \pi - 8}{10} = \frac{6 \pi - 4}{5}$

(D) दिया गया है कि $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sin x$ और $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sin \sqrt{x})^2$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ यदि $f(x) = \sin^2 x$ और $g(x) = x$ है,तो $f(g(x)) = \sin^2 x$ और $g(f(x)) = \sin^2 x$ प्राप्त होता है। यह दी गई शर्तों से मेल नहीं खाता है।
$(b)$ यदि $f(x) = \sin \sqrt{x}$ और $g(x) = \sqrt{x}$ है,तो $f(g(x)) = \sin \sqrt{\sqrt{x}} = \sin x^{1/4}$ और $g(f(x)) = \sqrt{\sin \sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
$(c)$ यदि $f(x) = \sin^2 x$ और $g(x) = \sqrt{x}$ है,तो $f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sin^2 \sqrt{x} = (\sin \sqrt{x})^2$ और $g(f(x)) = g(\sin^2 x) = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ प्राप्त होता है।
$(d)$ यदि $f(x) = \sin \sqrt{x}$ और $g(x) = x^2$ है,तो $f(g(x)) = f(x^2) = \sin \sqrt{x^2} = \sin |x|$ और $g(f(x)) = g(\sin \sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$ प्राप्त होता है।
नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों में से कोई भी सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए शर्तों का पूर्णतः पालन नहीं करता है,लेकिन विकल्प $(d)$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(B) दिया गया है $f(x) = \tan x$.
प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $f(f^{-1}(y)) = y$ हो।
यहाँ,हमें $f^{-1}(1)$ ज्ञात करना है,इसलिए हम $f(x) = 1$ रखते हैं।
$\tan x = 1$.
$\tan x = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n \pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$ है।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $x$ के मानों का समुच्चय $\{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$ है।
अतः,$f^{-1}(1) = \{n \pi + \frac{\pi}{4} : n \in Z\}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = |\cos x|$ है।
हम जानते हैं कि फलन $g(x) = \cos x$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय है।
मापांक फलन $h(x) = |x|$ सर्वत्र सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,संयुक्त फलन $f(x) = |\cos x|$ सभी $x \in R$ के लिए सतत है।
हालाँकि,$f(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं होगा जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक शून्य हो,अर्थात $\cos x = 0$ पर।
यह $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ पर सभी $n \in Z$ के लिए होता है।
इन बिंदुओं पर,ग्राफ में दिखाए अनुसार $f(x)$ के ग्राफ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
अतः,$f(x)$ सर्वत्र सतत है लेकिन $\frac{\pi}{2}$ के विषम गुणजों पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $y = 2x^{3x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \ln(2x^{3x}) = \ln 2 + 3x \ln x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0 + 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = y(3 \ln x + 3) = 2x^{3x}(3 \ln x + 3)$.
$x = 1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 2(1)^{3(1)}(3 \ln 1 + 3)$.
चूंकि $\ln 1 = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 2(1)(0 + 3) = 2 \times 3 = 6$.

(C) माना $f(x) = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln x)$ है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना आवश्यक है।
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $x^x$ हमेशा धनात्मक होता है।
अतः,$1 + \ln x > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\ln x > -1$।
यह $\ln x > \ln(\frac{1}{e})$ के बराबर है।
इसलिए,$x > \frac{1}{e}$।

(B) दिया गया फलन $f(x)=x^3-6x^2+12x-3$ है। \\ सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x)=3x^2-12x+12$। \\ क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x)=0$ रखें: $3(x^2-4x+4)=0 \Rightarrow 3(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2$। \\ अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x)=6x-12$। \\ $x=2$ पर द्वितीय अवकलज का मान ज्ञात करें: $f''(2)=6(2)-12=0$। \\ चूंकि $f''(2)=0$ है,हम तृतीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f'''(x)=6$। \\ चूंकि $f'''(2)=6 \neq 0$,इसलिए $x=2$ पर वक्रता बदलती है। \\ अतः,$x=2$ एक नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflexion) है।

(B) $\because$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $L = 6$ इकाई है।
माना त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$।
चूँकि $L^2 = r^2 + h^2$,इसलिए $r^2 = L^2 - h^2 = 36 - h^2$।
इसे आयतन के सूत्र में रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (36 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (36h - h^3)$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (36 - 3h^2)$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$36 - 3h^2 = 0 \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}$ इकाई।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2 V}{dh^2} = \frac{1}{3} \pi (-6h) = -2 \pi h$।
$h = 2 \sqrt{3}$ पर,$\frac{d^2 V}{dh^2} = -4 \sqrt{3} \pi < 0$,अतः आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \frac{1}{3} \pi (36 - (2 \sqrt{3})^2) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (36 - 12) (2 \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (24) (2 \sqrt{3}) = 16 \sqrt{3} \pi$ घन इकाई।

(B) अंतराल $[0, 2]$ पर दिया गया फलन $f(x) = x(x - 1)^2$ है।
माध्य मान प्रमेय के अनुसार,$(0, 2)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ,$a = 0$ और $b = 2$ है।
$f(0) = 0(0 - 1)^2 = 0$.
$f(2) = 2(2 - 1)^2 = 2(1)^2 = 2$.
अतः,$f'(c) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f(x) = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x$.
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
$f'(c) = 1$ रखने पर:
$3c^2 - 4c + 1 = 1$.
$3c^2 - 4c = 0$.
$c(3c - 4) = 0$.
इससे $c = 0$ या $c = 4/3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(0, 2)$ में होना चाहिए,इसलिए हम $c = 4/3$ चुनते हैं।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{3+4 \cos ^2 x} d x$ है।
$u = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = -\sin x d x$,अर्थात $\sin x d x = -du$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{-du}{3+4u^2} = -\int \frac{du}{3+(2u)^2}$।
हर से $3$ कॉमन लेने पर: $I = -\frac{1}{3} \int \frac{du}{1 + (\frac{2u}{\sqrt{3}})^2}$।
$t = \frac{2u}{\sqrt{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{2}{\sqrt{3}} du$,इसलिए $du = \frac{\sqrt{3}}{2} dt$।
$t$ का मान समाकलन में रखने पर: $I = -\frac{1}{3} \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} dt}{1+t^2} = -\frac{\sqrt{3}}{6} \int \frac{dt}{1+t^2}$।
चूंकि $\frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,इसलिए $I = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}(t) + C$।
अंत में $t = \frac{2 \cos x}{\sqrt{3}}$ रखने पर,$I = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{\sqrt{3}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ है।
सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करते हुए,अंश और हर को $2 \cos \frac{x}{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$.
सूत्रों $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$.
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx = \int (3 - 2 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$.
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx = x + \sin 2x + 2 \sin x + C$.

(B) $I = \int \frac{1}{x[6(\log x)^2 + 7 \log x + 2]} dx$
माना $t = \log x$,तब $dt = \frac{1}{x} dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{6t^2 + 7t + 2}$
हर का गुणनखंड करने पर: $6t^2 + 7t + 2 = (2t + 1)(3t + 2)$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(3t + 2)(2t + 1)} = \frac{A}{3t + 2} + \frac{B}{2t + 1}$
$1 = A(2t + 1) + B(3t + 2)$
$t = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$B = 2$ प्राप्त होता है।
$t = -\frac{2}{3}$ रखने पर,$A = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int (\frac{-3}{3t + 2} + \frac{2}{2t + 1}) dt$
$I = -\frac{3 \log |3t + 2|}{3} + \frac{2 \log |2t + 1|}{2} + C$
$I = -\log |3t + 2| + \log |2t + 1| + C$
$I = \log |\frac{2t + 1}{3t + 2}| + C$
$t = \log x$ वापस रखने पर:
$I = \log |\frac{2 \log x + 1}{3 \log x + 2}| + C$

(D) माना $f(x) = (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = (1-(-x)^2) \sin(-x) \cdot \cos^2(-x)$
चूँकि $(-x)^2 = x^2$,$\sin(-x) = -\sin x$,और $\cos(-x) = \cos x$:
$f(-x) = (1-x^2) (-\sin x) \cdot (\cos x)^2$
$f(-x) = -(1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x = -f(x)$।
यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-\pi}^{\pi} (1-x^2) \sin x \cdot \cos^2 x \, dx = 0$।

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^5 (|x-3| + |1-x|) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x \in [1, 5]$,इसलिए $|1-x| = x-1$ होगा।
अतः,$I = \int_1^5 |x-3| \, dx + \int_1^5 (x-1) \, dx$।
पहले भाग के लिए,$x \in [1, 3]$ के लिए $|x-3| = 3-x$ और $x \in [3, 5]$ के लिए $|x-3| = x-3$ होगा।
$\int_1^3 (3-x) \, dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_1^3 = (9 - 4.5) - (3 - 0.5) = 4.5 - 2.5 = 2$।
$\int_3^5 (x-3) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 3x]_3^5 = (12.5 - 15) - (4.5 - 9) = -2.5 - (-4.5) = 2$।
दूसरे भाग के लिए,$\int_1^5 (x-1) \, dx = [\frac{x^2}{2} - x]_1^5 = (12.5 - 5) - (0.5 - 1) = 7.5 - (-0.5) = 8$।
इन परिणामों को जोड़ने पर: $I = 2 + 2 + 8 = 12$।

(B) दिए गए समीकरण $y=3x$ और $y=x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $3x = x^2$ रखते हैं,जिससे $x^2 - 3x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x-3) = 0$ है।
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=3$ हैं।
इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है।
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \left( \frac{27}{2} - \frac{27}{3} \right)$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2} \text{ वर्ग इकाइयाँ}$.

(D) रेखा $y=x$ और वक्र $y=x^3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x^3 = x$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
इससे $x^3 - x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x(x^2 - 1) = 0$,जिसका अर्थ है $x = -1, 0, 1$।
यह क्षेत्र मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_0^1 (x - x^3) dx$
$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1$
$= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$
$= 2 \left( \frac{1}{4} \right) = 0.5 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{dy/dx} = x+1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \log(x+1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \log(x+1) dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(x+1) dx = (x+1) \log(x+1) - (x+1) + C$।
वैकल्पिक रूप से,$y = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C$।
अतः,$y = (x+1) \log(x+1) - x + C$।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 3$ दी गई है,इसलिए $x=0$ और $y=3$ रखने पर: $3 = (0+1) \log(1) - 0 + C \Rightarrow 3 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 3$।
$C=3$ का मान सामान्य हल में रखने पर,$y = (x+1) \log(x+1) - x + 3$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y+x-3 = (x+1) \log(x+1)$ प्राप्त होता है।

(A) माना वक्र पर बिंदु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है,जहाँ $(X, Y)$ स्पर्श रेखा पर कोई बिंदु है।
$x$-अंतःखंड $Y = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X = x - y \frac{dx}{dy}$.
$y$-अंतःखंड $X = 0$ रखकर प्राप्त होता है: $Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \Rightarrow Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
प्रश्न के अनुसार,$x$-अंतःखंड $2x$ है और $y$-अंतःखंड $2y$ है।
अतः,$x - y \frac{dx}{dy} = 2x \Rightarrow -y \frac{dx}{dy} = x \Rightarrow -\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y} \Rightarrow -\ln|x| = \ln|y| + \ln|C|$.
इसे सरल करने पर $\ln|y| + \ln|x| = \ln|C|$ प्राप्त होता है,जो $xy = C$ देता है।

(C) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
अतः $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ क्रमशः शीर्ष $B$ और $C$ के स्थिति सदिश दर्शाते हैं।
मान लीजिए $M$ भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AM} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$
$\vec{AM} = \frac{(3+5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (4+4)\hat{k}}{2}$
$\vec{AM} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
माध्यिका $AM$ की लंबाई सदिश $\vec{AM}$ का परिमाण है:
$|\vec{AM}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
चूंकि $a+b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b| = 1$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर,$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 + 2(a \cdot b) = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2(a \cdot b) = -1$,या $a \cdot b = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ होता है,इसलिए $1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(B) सह-अंतिम कोर $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है, जो सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक (determinant) के मान के बराबर होता है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$, $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$, और $\vec{c} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ हैं।
आयतन $V = \left|\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |0(0 - 1) - 1(0 - 1) + 1(1 - 0)|$.
$V = |0 + 1 + 1| = |2| = 2 \text{ घन इकाई}$.

(D) दिया गया है $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$।
हमें व्यंजक $E = (a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r$ का मान ज्ञात करना है।
$p, q, r$ के मान रखने पर:
$E = (a+b) \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + (b+c) \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + (c+a) \cdot \frac{a \times b}{[a b c]}$
$E = \frac{1}{[a b c]} [a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (a \times b) + a \cdot (a \times b)]$
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{[a b c]} [[a b c] + 0 + [b c a] + 0 + [c a b] + 0]$
चूंकि $[a b c] = [b c a] = [c a b]$ है:
$E = \frac{[a b c] + [a b c] + [a b c]}{[a b c]} = \frac{3[a b c]}{[a b c]} = 3$.

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = -3\hat{i} + 2k\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = 3k\hat{i} + 1\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$.
$-9k + 2k - 10 = 0$.
$-7k - 10 = 0$.
$-7k = 10$.
$k = -\frac{10}{7}$.
अतः,$k$ का मान $-\frac{10}{7}$ है।

(C) समतलों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$2x + 3y + 4z = 4$ ....$(i)$
$4x + 6y + 8z = 12$
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y + 4z = 6$ ....$(ii)$
चूंकि अभिलंब सदिश $(2, 3, 4)$ समान हैं,इसलिए समतल समानांतर हैं।
दो समानांतर समतलों $ax + by + cz = d_1$ और $ax + by + cz = d_2$ के बीच की दूरी $D$ का सूत्र है:
$D = \left| \frac{d_2 - d_1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
मान $a = 2, b = 3, c = 4, d_1 = 4$,और $d_2 = 6$ रखने पर:
$D = \left| \frac{6 - 4}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 16}} \right| = \frac{2}{\sqrt{29}}$ इकाई।

(C) दिया गया समीकरण $xy = 0$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि या तो $x = 0$ है या $y = 0$ है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में,समीकरण $x = 0$ $YZ$-समतल को दर्शाता है।
समीकरण $y = 0$ $ZX$-समतल को दर्शाता है।
चूंकि $YZ$-समतल और $ZX$-समतल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए समीकरण $xy = 0$ समकोण पर स्थित समतलों के एक युग्म को दर्शाता है।

(NONE) रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{-2}$ है।
यह रेखा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
समतल का समीकरण $2x - 2y + z = 5$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच के कोण $\theta$ की ज्या $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दी जाती है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(2) + (4)(-2) + (-2)(1) = 4 - 8 - 2 = -6$।
अतः,$|\vec{b} \cdot \vec{n}| = |-6| = 6$।
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$।
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{6}{(2\sqrt{6})(3)} = \frac{6}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$।

(A) समतल बिंदु $P(3,2,0)$ और रेखा $\frac{x-3}{1}=\frac{y-6}{5}=\frac{z-4}{4}$ को समाहित करता है।
रेखा पर स्थित कोई बिंदु $Q(3,6,4)$ है।
रेखा की दिशा का सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
बिंदु $P(3,2,0)$ और $Q(3,6,4)$ को जोड़ने वाला सदिश $\vec{PQ} = (3-3)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v} \times \vec{PQ}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 5 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20-16) - \hat{j}(4-0) + \hat{k}(4-0) = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
$4$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
बिंदु $(3,2,0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x-3) - 1(y-2) + 1(z-0) = 0$ है।
$x - 3 - y + 2 + z = 0$।
$x - y + z = 1$।

(D) उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,2)$ पर: $Z = 4(0) + 6(2) = 12$
$2$. $(3,0)$ पर: $Z = 4(3) + 6(0) = 12$
$3$. $(6,0)$ पर: $Z = 4(6) + 6(0) = 24$
$4$. $(6,8)$ पर: $Z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0,5)$ पर: $Z = 4(0) + 6(5) = 30$
चूँकि $Z$ का न्यूनतम मान $12$ है,जो $(0,2)$ और $(3,0)$ दोनों कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए $Z$ का न्यूनतम मान इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होगा।

(C) दिया गया है,$n=10$.
एक पासे को फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
विषम संख्या न प्राप्त करने की प्रायिकता,$q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि विषम संख्या कम से कम एक बार आए,जो $P(X \geq 1)$ है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
द्विपद बंटन सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X=0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए,$\frac{25}{36} + k + \frac{1}{36} = 1 \Rightarrow k + \frac{26}{36} = 1 \Rightarrow k = 1 - \frac{13}{18} = \frac{5}{18}$.
यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E(X) = \frac{1}{3}$,अतः:
$E(X) = 0 \times \frac{25}{36} + 1 \times k + 2 \times \frac{1}{36} = k + \frac{2}{36} = k + \frac{1}{18}$.
चूंकि $E(X) = \frac{1}{3}$,हमारे पास $k + \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3} - \frac{1}{18} = \frac{6-1}{18} = \frac{5}{18}$ है।
$X$ का प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ की गणना करें:
$E(X^2) = 0^2 \times \frac{25}{36} + 1^2 \times k + 2^2 \times \frac{1}{36} = 0 + k + \frac{4}{36} = k + \frac{1}{9}$.
$k = \frac{5}{18}$ रखने पर:
$E(X^2) = \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = \frac{5+2}{18} = \frac{7}{18}$.
अब,$Var(X) = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$।

(B) दिया गया है कि यादृच्छिक चर $X$ मापदंडों $n=5$ और $p$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P(X=2) = 9 P(X=3)$.
मान रखने पर: ${ }^5 C_2 p^2 (1-p)^{5-2} = 9 \times { }^5 C_3 p^3 (1-p)^{5-3}$.
चूंकि ${ }^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ और ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$,इसलिए:
$10 p^2 (1-p)^3 = 9 \times 10 p^3 (1-p)^2$.
दोनों पक्षों को $10 p^2 (1-p)^2$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 9p$.
$1 = 10p$.
$p = 1/10$.