यदि $P(n): 2^{n} < n!$ है,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ क्या है जिसके लिए $P(n)$ सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$41^{n}-14^{n}$,$27$ का एक गुणज है।

सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 5$ के लिए $n^{2} < 2^{n}$ है।

किन प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए,असमिका $2^n > n+1$ मान्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।