KCET 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1} = \pi$.
જ્યારે $x \rightarrow 1$ થાય ત્યારે છેદ $x^2-1$ એ $0$ ને અનુલક્ષે છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે અંશ $f(x)-2$ પણ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 1} (f(x)-2) = 0$.
આમ,$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 2$.

(A) વિધાન એ એક એવું વાક્ય છે જે કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય.
$(A)$ $ \sqrt{3} $ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે: આ વિધાન અસત્ય છે કારણ કે $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ એ પૂર્ણાંક નથી,અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ.
$(B)$ સૂર્ય એક તારો છે: આ વિધાન સત્ય છે.
$(C)$ ગણિત રસપ્રદ છે: આ એક અભિપ્રાય છે.
$(D)$ $ \sqrt{2} $ એ અસંમેય સંખ્યા છે: આ વિધાન સત્ય છે.
આમ,જે વિધાન સાચું નથી તે વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $n(U) = 60$ એ કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
ધારો કે $C$ એ ક્રિકેટ રમતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે,$n(C) = 25$.
ધારો કે $T$ એ ટેનિસ રમતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે,$n(T) = 20$.
આપેલ છે કે $n(C \cap T) = 10$.
ઓછામાં ઓછી એક રમત રમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ છે.
$n(C \cup T) = 25 + 20 - 10 = 35$.
એક પણ રમત ન રમતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(U) - n(C \cup T)$ છે.
$60 - 35 = 25$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = b^{x}$ જ્યાં $b > 1$.
$f(x) = b^{x}$ સ્વરૂપના કોઈપણ ઘાતાંકીય વિધેય માટે,બિંદુ $(0, 1)$ હંમેશા આલેખ પર હોય છે કારણ કે $f(0) = b^{0} = 1$.
બિંદુ $(1, b)$ આલેખ પર હોય છે કારણ કે $f(1) = b^{1} = b$.
તેથી,બિંદુ $(1, 0)$ એ $f(x) = b^{x}$ વિધેયના આલેખ પર નથી.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો નથી.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
બિંદુ $P$ નું $x$-અક્ષથી અંતર શોધવા માટે,આપણે બિંદુનો $x$-અક્ષ પર પ્રક્ષેપ લઈએ છીએ.
બિંદુ $P(a, b, c)$ નો $x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ બિંદુ $A(a, 0, 0)$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ છે.
$P(a, b, c)$ અને $A(a, 0, 0)$ ના યામો મૂકતા:
$d = \sqrt{(a-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2}$
$d = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + (-c)^2}$
$d = \sqrt{b^2 + c^2}$.

(C) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
કુલ સ્કોર $5$ મેળવવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની જોડીઓ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), \text{ અને } (3, 2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$ અને $P(B) = 1 - P(B^{\prime})$.
અહીં $P(A^{\prime}) = \frac{2}{3}$ આપેલ છે,તેથી $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
અહીં $P(B^{\prime}) = \frac{2}{7}$ આપેલ છે,તેથી $P(B) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
જ્યારે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય,ત્યારે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ થાય.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$.

(C) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(h, k) = (-a, -b)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$(x - (-a))^{2} + (y - (-b))^{2} = (\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}$
$(x+a)^{2} + (y+b)^{2} = a^{2}-b^{2}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2} + 2ax + a^{2} + y^{2} + 2by + b^{2} = a^{2} - b^{2}$
બંને બાજુથી $a^{2}$ બાદ કરતા અને $b^{2}$ ઉમેરતા:
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + b^{2} + b^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + 2b^{2} = 0$.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,3)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{y-0}{x-5} = \frac{3-0}{0-5} = -\frac{3}{5}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $5y = -3(x-5)$,એટલે કે $3x + 5y - 15 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (4,4)$ અને રેખાનું સમીકરણ $3x + 5y - 15 = 0$ મૂકતા:
$d = \frac{|3(4) + 5(4) - 15|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{|12 + 20 - 15|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{17}{\sqrt{34}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$d = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac{\sqrt{34}}{2} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2}=12y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે.
લેટસ રેક્ટમના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે,એટલે કે $(6, 3)$ અને $(-6, 3)$.
શિરોબિંદુ $(0,0)$ અને બિંદુઓ $(6, 3)$ તથા $(-6, 3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
અહીં,પાયો એ લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ છે,જે $4a = 12$ છે.
વેધ એ શિરોબિંદુથી લેટસ રેક્ટમ સુધીનું અંતર છે,જે $a = 3$ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપણને પદાવલિ $a[b \cos C - c \cos B]$ આપેલ છે.
ત્રિકોણ માટે પ્રક્ષેપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a = b \cos C + c \cos B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $(b \cos C + c \cos B)(b \cos C - c \cos B)$ મળે છે.
આ $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી તે $b^2 \cos^2 C - c^2 \cos^2 B$ માં સરળ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ અને $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $a \left[ b \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) \right]$.
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right]$.
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2a} \right]$.
$= a \left[ \frac{2b^2 - 2c^2}{2a} \right] = b^2 - c^2$.

(A) ધારો કે $ z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} $. આપણે $ |z| $ શોધવા માંગીએ છીએ.
વિચારો કે $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right) $.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $ (\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha}) = \beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha} = |\beta|^2 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $ (1-\bar{\alpha} \beta)(1-\alpha \bar{\beta}) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \bar{\alpha} \alpha \beta \bar{\beta} = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 |\beta|^2 $.
કારણ કે $ |\beta|=1 $,તેથી $ |\beta|^2 = 1 $.
$ |\beta|^2 = 1 $ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
અંશ: $ 1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
છેદ: $ 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 $.
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી,$ |z|^2 = 1 $,જેનો અર્થ છે કે $ |z| = 1 $.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \sin \alpha$.
બંને બાજુથી $\sin \alpha$ બાદ કરતા,આપણને $\sin \theta - \sin \alpha = 0$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$.
આ ગુણાકાર શૂન્ય થાય જો કાં તો $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ અથવા $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ હોય.
જો $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ હોય,તો $\frac{\theta+\alpha}{2} = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\theta+\alpha}{2}$ એ $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણક છે.
જો $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ હોય,તો $\frac{\theta-\alpha}{2} = n\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\theta-\alpha}{2}$ એ $\pi$ નો ગુણક છે.
આમ,શરત એ છે કે $\frac{\theta+\alpha}{2}$ એ $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણક છે અથવા $\frac{\theta-\alpha}{2}$ એ $\pi$ નો ગુણક છે.

(C) આપેલ છે કે,$\tan x = \frac{3}{4}$ અને $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ હોવાથી,$2$ વડે ભાગતા $\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{2}$ બીજા ચરણમાં છે.
બીજા ચરણમાં,$\cos \theta$ ઋણ હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + (\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$.
તેથી,$\sec x = \pm \frac{5}{4}$.
$x$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos x$ ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $\cos x = -\frac{4}{5}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.
$\cos x$ ની કિંમત મૂકતા,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1/5}{2} = \frac{1}{10}$.
$\frac{x}{2}$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{x}{2}$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આમ,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$
જ્યાં $\sigma$ એ પ્રમાણિત વિચલન છે અને $\mu$ એ સમાંતર મધ્યક છે.
આપેલ છે: $CV = 60$ અને $\sigma = 21$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$60 = \frac{21}{\mu} \times 100$
$\mu$ માટે ઉકેલતા:
$\mu = \frac{21 \times 100}{60}$
$\mu = \frac{2100}{60}$
$\mu = 35$
તેથી,વિતરણનો સમાંતર મધ્યક $35$ છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{x : |2x + 3| < 7\}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અસમતા $|f(x)| < a$ એ $-a < f(x) < a$ ને સમતુલ્ય છે.
આપેલ અસમતા પર આ લાગુ પાડતા:
$-7 < 2x + 3 < 7$
બધા પદોમાંથી $3$ બાદ કરતા:
$-7 - 3 < 2x < 7 - 3$
$-10 < 2x < 4$
$2$ વડે ભાગતા:
$-5 < x < 2$
હવે,ગણ $D = \{x : 0 < x + 5 < 7\}$ માટે શરત તપાસીએ:
$0 < x + 5 < 7$
બધા પદોમાંથી $5$ બાદ કરતા:
$0 - 5 < x < 7 - 5$
$-5 < x < 2$
ગણ $A$ અને ગણ $D$ માટે $x$ નો વિસ્તાર સમાન હોવાથી,ગણ $A$ એ ગણ $D$ ની બરાબર છે.

(D) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{44}$ ના વિસ્તરણ માટે,$21^{\text{st}}$ પદ $T_{21} = T_{20+1} = {}^{44}C_{20} x^{20}$ છે.
$22^{\text{nd}}$ પદ $T_{22} = T_{21+1} = {}^{44}C_{21} x^{21}$ છે.
આપેલ છે કે $T_{21} = T_{22}$,તેથી ${}^{44}C_{20} x^{20} = {}^{44}C_{21} x^{21}$.
બંને બાજુ $x^{20}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$),આપણને $x = \frac{{}^{44}C_{20}}{{}^{44}C_{21}}$ મળે છે.
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{44!}{20!24!} \times \frac{21!23!}{44!} = \frac{21!}{20!} \times \frac{23!}{24!} = \frac{21}{1} \times \frac{1}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

(A) $5$ અંકનો ટેલિફોન નંબર $67$ થી શરૂ થાય છે.
પ્રથમ બે અંકો $6$ અને $7$ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે બાકીના $3$ સ્થાન ભરવાના છે.
ઉપલબ્ધ અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9}$ છે,જે કુલ $8$ અંકો છે.
કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન થઈ શકતું નથી,તેથી આપણે આ $8$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી $3$ અંકોની ગોઠવણી કરવાની છે.
$8$ માંથી $3$ અંકોની ગોઠવણી કરવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે.
$^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

(B) અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $ S = \frac{a}{1-r} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ |r| < 1 $.
આપેલ છે કે $ S = 4 $,તેથી $ \frac{a}{1-r} = 4 \Rightarrow a = 4(1-r) = 4 - 4r \Rightarrow a + 4r = 4 \dots(1) $.
ભૂમિતિ શ્રેણીનું બીજું પદ $ t_2 = ar $ છે.
આપેલ છે કે $ t_2 = \frac{3}{4} $,તેથી $ ar = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{4r} \dots(2) $.
સમીકરણ $(2)$ માંથી $ a $ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$ \frac{3}{4r} + 4r = 4 $.
$ 4r $ વડે ગુણતા: $ 3 + 16r^2 = 16r \Rightarrow 16r^2 - 16r + 3 = 0 $.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $ 16r^2 - 12r - 4r + 3 = 0 \Rightarrow 4r(4r - 3) - 1(4r - 3) = 0 \Rightarrow (4r - 1)(4r - 3) = 0 $.
આમ,$ r = \frac{1}{4} $ અથવા $ r = \frac{3}{4} $.
જો $ r = \frac{1}{4} $ હોય,તો $ a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3 $.
જો $ r = \frac{3}{4} $ હોય,તો $ a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1 $.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જોડી $ (a=3, r=\frac{1}{4}) $ વિકલ્પ $ B $ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપેલ છે કે $ y = (\tan^{-1} x)^2 $.
પ્રથમ,$ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ y_1 = \frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
આથી $ (1+x^2) y_1 = 2 \tan^{-1} x $ મળે.
હવે ફરીથી $ x $ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$ (1+x^2) y_2 + y_1(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
આખા સમીકરણને $ (1+x^2) $ વડે ગુણતા:
$ (1+x^2)^2 y_2 + 2x(1+x^2) y_1 = 2 $.
આમ,જવાબ $ 2 $ છે.

(A) આપેલ છે કે $y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})$.
આપણે $y = \frac{1-x^{8}}{1-x}$ લખી શકીએ.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{7x^{8}-8x^{7}+1}{(1-x)^{2}}$.
લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}}$.
$x=1$ માટે,$y = 8$ અને $\frac{1}{8} \frac{dy}{dx} = 3.5$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 28$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^{3}$ અને $g(x) = x^{3} - 4x$ અંતરાલ $[-2, 2]$ પર.
$f(x)$ અને $g(x)$ બહુપદી હોવાથી,તેઓ $[-2, 2]$ પર સતત છે અને $(-2, 2)$ પર વિકલનીય છે. તેથી,બંને મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
રોલના પ્રમેય માટે,આપણે $f(a) = f(b)$ તપાસીએ છીએ:
$f(-2) = -8$ અને $f(2) = 8$. $f(-2) \neq f(2)$ હોવાથી,$f(x)$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું નથી.
$g(-2) = 0$ અને $g(2) = 0$. $g(-2) = g(2)$ હોવાથી,$g(x)$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને વિધાન $(c)$ સાચા છે.

(A) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 0$ હોય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ એ $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{3 \sin(\pi x)}{5x}$ જ્યારે $x \neq 0$ અને $f(0) = 2K$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\theta x)}{x} = \theta$.
તેથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin(\pi x)}{5x} = \frac{3}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x} = \frac{3}{5} \times \pi = \frac{3\pi}{5}$.
વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
તેથી,$\frac{3\pi}{5} = 2K$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = \frac{3\pi}{10}$ મળે છે.

(C) આલેખ વિધેય $f(x) = |x-1|$ દર્શાવે છે.
$x=1$ આગળ,આલેખ સતત છે કારણ કે વક્રમાં કોઈ તૂટક નથી.
જો કે,$x=1$ આગળ,એક તીક્ષ્ણ ખૂણો (અથવા cusp) છે,જેનો અર્થ છે કે ડાબી બાજુનું વિકલન અને જમણી બાજુનું વિકલન સમાન નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ડાબી બાજુનું વિકલન $-1$ છે અને જમણી બાજુનું વિકલન $1$ છે.
તેથી,વિધેય $x=1$ આગળ સતત છે પરંતુ વિકલનીય નથી.

(C) ધારો કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan \phi = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)}$ છે.
આપેલ છે કે $y = x^{3} + 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ,ઢાળ $m = \tan \phi = 3(1)^{2} = 3$.
આકૃતિ મુજબ,સ્પર્શક $y$-અક્ષ સાથે $\theta = 90^{\circ} + \phi$ ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} + \phi) = -\cot \phi$.
$\tan \phi = 3$ હોવાથી,$\cot \phi = \frac{1}{3}$ થાય.
આમ,$\tan \theta = -\frac{1}{3}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1$ છે.
$f'(x)$ શોધવા માટે,આપણે ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{100x^{99}}{100} + \frac{99x^{98}}{99} + \dots + \frac{2x}{2} + 1$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $f'(x) = x^{99} + x^{98} + \dots + x + 1$ મળે છે.
હવે,વિકલનમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f'(0) = 0^{99} + 0^{98} + \dots + 0 + 1 = 1$.

(D) ધારો કે $I = \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(e + \Pi - x) dx$.
કારણ કે $f(e + \Pi - x) = f(x)$,તેથી:
$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(x) dx = (e + \Pi) \int_{e}^{\Pi} f(x) dx - \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.
$I = (e + \Pi) \left( \frac{2}{e + \Pi} \right) - I$.
$2I = 2$.
$I = 1$.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\cos x}$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે $\cos x \geq 0$ હોય.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x$ પ્રથમ ચરણ $[0, \frac{\pi}{2}]$ અને ચોથા ચરણ $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ માં અ-ઋણ છે.
આમ,$n=0$ માટે પ્રદેશ $[0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+a \\ x+4 & x+5 & x+b \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-2 & -2 & a-b \\ -2 & -2 & b-c \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
કારણ કે $a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $b-a = c-b$,જેનો અર્થ છે કે $a-b = b-c$.
આમ,પ્રથમ બે હાર $R_{1}$ અને $R_{2}$ સમાન છે.
બે હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $I = \int[(3x-1) \cos x + (1-2x) \sin x] dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$:
$\int (3x-1) \cos x dx = (3x-1) \sin x + 3 \cos x$.
$\int (1-2x) \sin x dx = (2x-1) \cos x - 2 \sin x$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $I = (3x-3) \sin x + (2x+2) \cos x + C$.
$f(x) \cos x + g(x) \sin x + C$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 2x+2$ અને $g(x) = 3(x-1)$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \text{diag}(a, b, c)$ માટે,તેનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $a=2, b=3, c=4$ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ અને સીમાઓ $x=1$ અને $x=2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{1}^{2} mx \, dx = 6$
$\Rightarrow m \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (2^2 - 1^2) = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (4 - 1) = 6$
$\Rightarrow \frac{3m}{2} = 6$
$\Rightarrow 3m = 12$
$\Rightarrow m = 4$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = 3x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
વિકલ સમીકરણને સંકલ્યકારક અવયવ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x \frac{dy}{dx} + y = 3x^2$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{d}{dx}(xy) = 3x^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int 3x^2 dx$.
$xy = x^3 + C$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે છે:
$y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(C) ધારો કે $1$ એકમ બાજુવાળો એક ઘન છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શિરોબિંદુઓને $3D$ યામ પદ્ધતિમાં લો.
ધારો કે બે વિકર્ણો $\vec{OA}$ અને $\vec{BC}$ છે.
યામ બિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(1,1,1)$,$B(1,0,0)$,અને $C(0,1,1)$ છે.
સદિશ $\vec{OA} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.
સદિશ $\vec{BC} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.
બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$.
$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર રેખાના દિકગુણોત્તર સમાન થશે,જે $(1, 2, 3)$ છે.
અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સામાન્ય સમીકરણ $ax+by+cz+d=0$ છે.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $1x+2y+3z+d=0$ મળે છે.
સમતલ બિંદુ $(2, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$1(2)+2(3)+3(4)+d=0$
$2+6+12+d=0$
$20+d=0$
$d=-20$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x+2y+3z-20=0$ અથવા $x+2y+3z=20$ છે.

(D) આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(3, 4, 5)$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોય ત્યારે,સમતલનો અભિલંબ રેખાની દિશા સાથે લંબ હોય છે.
જો સમતલનું સમીકરણ $ax+by+cz=d$ હોય,તો અભિલંબ $(a, b, c)$ છે.
લંબ હોવાની શરત $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $2x+y-2z=0$,અભિલંબ $(2, 1, -2)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $3(2) + 4(1) + 5(-2) = 6 + 4 - 10 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલ $2x+y-2z=0$ ને સમાંતર છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ અને $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ છે.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોવાની શરત $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$.
તેમજ,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -K)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (K, 2, 1)$.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 - (-2K)) - 1(1 - (-K^2)) + 1(2 - K) = 0$
$-1(1 + 2K) - 1(1 + K^2) + 2 - K = 0$
$-1 - 2K - 1 - K^2 + 2 - K = 0$
$-K^2 - 3K = 0$
$K(K + 3) = 0$
આમ,$K = 0$ અથવા $K = -3$. વિકલ્પોમાં $K = 0$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $K = 0$ છે.

(A) આપેલ પરવલયો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $y=x^{2}$ ને $x=y^{2}$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x=(x^{2})^{2} \implies x=x^{4} \implies x^{4}-x=0 \implies x(x^{3}-1)=0$.
આનાથી $x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=1$ માટે $y=1$ મળે છે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}$.
$A = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $ y = x \frac{dy}{dx} + \frac{2}{dy/dx} $ છે.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $ \frac{dy}{dx} $ વડે ગુણતા:
$ y \left( \frac{dy}{dx} \right) = x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2 $.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $ x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \left( \frac{dy}{dx} \right) + 2 = 0 $.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $ \frac{dy}{dx} $ છે,તેથી તેનો ક્રમ (order) $ 1 $ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $ 2 $ છે,તેથી તેની ઘાત (degree) $ 2 $ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $ 1 $ અને $ 2 $ છે.

(C) આપેલ છે કે ખોદકામનો દર $\frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{t}}$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$A = \int \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{t} + C$.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે ખોદાયેલ વિસ્તાર $A = 0$,તેથી $C = 0$.
આમ,$A = 4\sqrt{t}$.
$40$ ચોરસ મીટર વિસ્તાર ખોદવા માટેનો સમય $t$ શોધવા માટે,$A = 40$ લો:
$40 = 4\sqrt{t} \Rightarrow \sqrt{t} = 10$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t = 10^2 = 100$ મિનિટ.

(D) આપેલ છે કે $a R b \Leftrightarrow |a-b| \leq 1$.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $a \in S$ માટે,$|a-a| = 0 \leq 1$. તેથી,$a R a$ સત્ય છે. $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $a R b$ હોય,તો $|a-b| \leq 1$. કારણ કે $|a-b| = |b-a|$,તેથી $|b-a| \leq 1$,જેનો અર્થ છે કે $b R a$ સત્ય છે. $R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $a = 1, b = 2, c = 3$ લો.
$|a-b| = |1-2| = 1 \leq 1$ (સત્ય,તેથી $a R b$).
$|b-c| = |2-3| = 1 \leq 1$ (સત્ય,તેથી $b R c$).
પરંતુ $|a-c| = |1-3| = 2 > 1$ (અસત્ય,તેથી $a$ એ $c$ સાથે સંબંધિત નથી).
તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક અને સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 + |x|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x|$ નું વિકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + |x|) = \frac{d}{dx}(|x|) = \text{sgn}(x)$
જ્યાં $\text{sgn}(x)$ એ સાઇનમ વિધેય છે જે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
વિધેય $f'(x)$ એ $x = 0$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
$f'(x)$ ની કિંમતો જોતા,તે ફક્ત બે જ કિંમતો ધારણ કરે છે: $x > 0$ માટે $1$ અને $x < 0$ માટે $-1$.
આમ,આ વિધેય $f'(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.

(B) આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફારનો દર $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $ A = \pi r^2 $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $ t $ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$ \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt} $.
આપેલ કિંમતો $ r = 8 \text{ cm} $ અને $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ મૂકતા:
$ \frac{dA}{dt} = 2 \pi (8) (5) = 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $.
આમ,ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $ 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $ ના દરે વધી રહ્યું છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$.
વિધેય $f(\theta) = \log (\sec \theta - \tan \theta)$ ધ્યાનમાં લો.
આપણે $f(-\theta)$ ની કિંમત શોધીને ચકાસીએ કે $f(\theta)$ અયુગ્મ વિધેય છે કે નહીં:
$f(-\theta) = \log (\sec(-\theta) - \tan(-\theta)) = \log (\sec \theta + \tan \theta)$.
કારણ કે $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta}$,તેથી:
$f(-\theta) = \log \left( \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \right) = -\log (\sec \theta - \tan \theta) = -f(\theta)$.
આમ,$f(\theta)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને અંતરાલ $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી આ અંતરાલ પર અયુગ્મ વિધેયનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = 0$.

(A) આપેલ છે કે,$a * b = 1 + ab$ $\rightarrow (1)$
ક્રમના ગુણધર્મ માટે,ચકાસો કે $a * b = b * a$:
$b * a = 1 + ba = 1 + ab = a * b$
કારણ કે $a * b = b * a$,તેથી આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
જૂથના ગુણધર્મ માટે,ચકાસો કે $(a * b) * c = a * (b * c)$:
$(a * b) * c = (1 + ab) * c = 1 + (1 + ab)c = 1 + c + abc$
$a * (b * c) = a * (1 + bc) = 1 + a(1 + bc) = 1 + a + abc$
કારણ કે $1 + c + abc \neq 1 + a + abc$,તેથી આ ક્રિયા જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
આમ,આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

(B) આપેલ છે કે,$\sin \left(2 \sin ^{-1} 0.8\right)$.
ધારો કે $\sin ^{-1} 0.8 = \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 0.8$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 2\theta = 2 \times 0.8 \times 0.6$.
$\sin 2\theta = 1.6 \times 0.6 = 0.96$.
આમ,તેની કિંમત $0.96$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ પદ $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}\right\}-\sin ^{-1} x\right]$ છે.
$x = \sin \theta$ લો,જ્યાં $\theta = \sin^{-1} x$.
$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ હોવાથી,$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ મળે.
$\sin^{-1}$ ની અંદરનું પદ $\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ થાય છે.
હવે,પદ $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\right\} - \theta\right]$ બને છે.
$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ થાય.
આ કિંમત $\sin^{-1}$ ના મુખ્ય વિસ્તારમાં હોવાથી,$\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ મળે.
તેથી,$E = \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $P(A) \neq 0$. શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
$(i)$ જો $A \subset B$ હોય,તો $A \cap B = A$ થાય. તેથી,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$.
(ii) જો $A \cap B = \phi$ હોય,તો $P(A \cap B) = P(\phi) = 0$ થાય. તેથી,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{P(A)} = 0$.
આમ,અનુક્રમે કિંમતો $1$ અને $0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x \geq -1$ માટે $f(x)=(x+1)^{2}$.
કારણ કે $g(x)$ એ $f(x)$ ના આલેખનું રેખા $y=x$ પરનું પ્રતિબિંબ છે,તેથી $g(x)$ એ $f(x)$ નું વ્યસ્ત વિધેય છે,જેને $f^{-1}(x)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,ધારો કે $y = (x+1)^{2}$.
$x \geq -1$ હોવાથી,$x+1 \geq 0$ થાય,તેથી બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા $\sqrt{y} = x+1$ મળે.
$x$ ને કર્તા બનાવતા,$x = \sqrt{y} - 1$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરતા,આપણને $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1$ મળે છે.
આમ,$g(x) = \sqrt{x} - 1$.

(D) વિધાન $(a)$ એ નિશ્ચાયકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે: જો બે હાર અથવા સ્તંભ સમાન હોય,તો નિશ્ચાયક $0$ થાય છે.
વિધાન $(b)$ એ ગુણધર્મનો ઉલ્લેખ કરે છે કે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ ના નિશ્ચાયક જેટલો હોય છે,એટલે કે $|A| = |A^T|$. તેથી,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરવાથી મૂલ્ય બદલાતું નથી.
વિધાન $(c)$ એ ગુણધર્મ છે જે જણાવે છે કે કોઈપણ બે હાર અથવા સ્તંભોની અદલાબદલી કરવાથી નિશ્ચાયકને $-1$ વડે ગુણવામાં આવે છે,આમ તેનું ચિહ્ન બદલાય છે.
તેથી,તમામ વિધાનો $(a)$,$(b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(B) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો સંમિત ભાગ $\frac{1}{2}(A + A^T)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 6 & 8 & 2 \\ 2 & -2 & 7 \end{bmatrix}$,તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 2 & 8 & -2 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & 2+6 & 4+2 \\ 6+2 & 8+8 & 2-2 \\ 2+4 & -2+2 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ છે.
અંતે,$\frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક છે.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ એ $4 \times 3$ શ્રેણિક છે.
ગુણાકાર $A^{\prime}B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A^{\prime}$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. $A^{\prime}$ એ $4 \times 3$ હોવાથી,$B$ માં $3$ હાર હોવી જોઈએ.
ગુણાકાર $BA^{\prime}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$B$ ના સ્તંભોની સંખ્યા એ $A^{\prime}$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. $A^{\prime}$ માં $4$ હાર હોવાથી,$B$ માં $4$ સ્તંભ હોવા જોઈએ.
તેથી,$B$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.

(D) આપણને ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ આપેલ છે.
આને આપેલ સમીકરણ $A(\operatorname{adj} A) = 10I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $|A| = 10$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટના નિશ્ચાયક માટેનો ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = 10^2 = 100$ મળે છે.

(D) કુલ બલ્બની સંખ્યા $N = 100$ છે.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $D = 10$ છે.
ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા $G = 100 - 10 = 90$ છે.
અહીં $n = 5$ બલ્બ પસંદ કરવામાં આવે છે.
એક પણ બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{90}{100} = 0.9$ છે.
તેથી,$P(X = 0) = (0.9)^{5} = (\frac{9}{10})^{5}$.

(B) આપેલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે: $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0(1) - 1(1)) - \hat{j}(1(1) - 1(2)) + \hat{k}(1(1) - 0(2))$
$= -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,મળેલા સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2}$
$= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
બે સદિશોના સરવાળાના માનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \frac{\pi}{3}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$
કારણ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$,જે $1$ કરતા વધારે છે,તેથી $|\vec{a} + \vec{b}|$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા વધારે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f: N \rightarrow N$ એ $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & n \text{ એકી છે} \\ \frac{n}{2} & n \text{ બેકી છે} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
એક-એક ચકાસવા માટે: $n=1$ (એકી) અને $n=2$ (બેકી) લો.
$f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$.
$f(2) = \frac{2}{2} = 1$.
અહીં $f(1) = f(2)$ છે પરંતુ $1 \neq 2$,તેથી વિધેય $f$ એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે: કોઈપણ $y \in N$ માટે,આપણે એવું $n \in N$ શોધવું પડે કે જેથી $f(n) = y$.
જો $y$ કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો આપણે $n = 2y$ (જે બેકી છે) લઈ શકીએ. ત્યારે $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$.
દરેક $y \in N$ માટે,એવું $n \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(n) = y$,તેથી વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(C) સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા $[\vec{x} \quad \vec{y} \quad \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ છે.
આપેલ પદ: $[\vec{a}-\vec{b} \quad \vec{b}-\vec{c} \quad \vec{c}-\vec{a}] = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot ((\vec{b}-\vec{c}) \times (\vec{c}-\vec{a}))$.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(\vec{b}-\vec{c}) \times (\vec{c}-\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,તેથી આ પદ $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}$ માં પરિણમે છે.
હવે,$(\vec{a}-\vec{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a})$
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા કે જો કોઈ બે સદિશો સમાન હોય તો સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે:
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0 + 0 - 0 - 0 - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]$.
કારણ કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]$,તેથી આ પદ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ શરતો $x+y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
આ શરતો પ્રથમ ચરણમાં એક શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(2,0)$,અને $(0,2)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x+2y$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$2$. $(2,0)$ પર: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$3$. $(0,2)$ પર: $Z = 3(0) + 2(2) = 4$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $6$ મળે છે,જે $(2,0)$ બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin(2x)}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} dx$.
નિત્યસમ $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $1 - \cos^2(x) + 2\cos^2(x) = 1 + \cos^2(x)$ બને છે.
તેથી,$I = \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} dx$.
ધારો કે $t = 1 + \cos^2(x)$.
તો $dt = 2\cos(x)(-\sin(x)) dx = -\sin(2x) dx$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(2x) dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\log |t| + c$.
$t = 1 + \cos^2(x)$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\log |1 + \cos^2(x)| + c$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.