KCET 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) समतल वृत्ताकार पथ पर फिसलने से बचने के लिए अधिकतम गति $v_{max}$ को $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ की स्थिति द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v_{max}^2 = \mu_s rg$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $\mu_s = 0.1$,$r = 5 \text{ m}$ और $g = 10 \text{ ms}^{-2}$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v_{max}^2 = 0.1 \times 5 \times 10 = 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$।
वाहन के न फिसलने के लिए शर्त $v^2 \leq v_{max}^2$ है,जिसका अर्थ है $v^2 \leq 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$।
यदि वास्तविक गति का वर्ग $v^2$ इस मान से अधिक हो जाता है,तो वाहन फिसल जाएगा।
इसलिए,व्यक्ति फिसल जाएगा यदि $v^2 > 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$ हो।

(C) माना कुल समय $t$ है और त्वरण $a$ है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
समय के पहले आधे भाग के लिए,$t_{1} = t/2$:
$x_{1} = u t_{1} + \frac{1}{2} a t_{1}^{2} = 0 + \frac{1}{2} a (t/2)^{2} = \frac{1}{8} a t^{2}$।
कुल समय $t$ के लिए,कुल दूरी $x_{total} = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}$।
कुल दूरी के समीकरण में $x_{1} = \frac{1}{8} a t^{2}$ रखने पर:
$\frac{1}{8} a t^{2} + x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2}$।
$x_{2} = \frac{1}{2} a t^{2} - \frac{1}{8} a t^{2} = \frac{4-1}{8} a t^{2} = \frac{3}{8} a t^{2}$।
$x_{1}$ और $x_{2}$ की तुलना करने पर:
$x_{2} = 3 \times (\frac{1}{8} a t^{2}) = 3 x_{1}$।

(C) दिया गया संबंध: $Q = \frac{x^3 y^2}{z}$.
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है: $\frac{\Delta Q}{Q} = 3 \frac{\Delta x}{x} + 2 \frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta z}{z}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 1\%$
$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 2\%$
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 4\%$
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 3(1\%) + 2(2\%) + 1(4\%)$
$= 3\% + 4\% + 4\% = 11\%$.
अतः,$Q$ में प्रतिशत त्रुटि $11\%$ है।

(C) प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_{1} = 1800 \ rpm = \frac{1800 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 60\pi \ rad \ s^{-1}$.
अंतिम कोणीय गति $\omega_{2} = 3000 \ rpm = \frac{3000 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 100\pi \ rad \ s^{-1}$.
समय अंतराल $t = 20 \ s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t}$.
$\alpha = \frac{100\pi - 60\pi}{20} = \frac{40\pi}{20} = 2\pi \ rad \ s^{-2}$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$, स्प्रिंग नियतांक $k = 1000 \,N/m$, और आयाम $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है।
सरल आवर्त गति में, प्रत्यानयन बल $F = -kx$ होता है।
अधिकतम बल अधिकतम विस्थापन (आयाम) पर होता है, इसलिए $F_{max} = kA$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F_{max} = m a_{max}$ है।
अतः, $m a_{max} = kA$ होगा।
$a_{max} = \frac{kA}{m} = \frac{1000 \,N/m \times 0.1 \,m}{10 \,kg} = \frac{100}{10} = 10 \,m/s^2$।
अतः, ब्लॉक का अधिकतम त्वरण $10 \,m/s^2$ है।

(D) एक सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
इसके विपरीत,एक अदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें केवल परिमाण होता है,दिशा नहीं।
$1$. भार किसी वस्तु पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल है,जिसमें परिमाण और दिशा (नीचे की ओर) दोनों होते हैं,इसलिए यह एक सदिश है।
$2$. नाभिकीय चक्रण (Nuclear spin) एक नाभिक का आंतरिक कोणीय संवेग है,जो एक सदिश राशि है।
$3$. संवेग को द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(p = mv)$। चूंकि वेग एक सदिश है,इसलिए संवेग भी एक सदिश है।
$4$. स्थितिज ऊर्जा एक अदिश राशि है क्योंकि यह किसी वस्तु की स्थिति या विन्यास के कारण उसमें संचित ऊर्जा को दर्शाती है,जिसकी कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा एक सदिश राशि नहीं है।

(A) दिया गया है: $\vec{F} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश और बल सदिश के क्रॉस गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
सारणिक विधि का उपयोग करते हुए:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 2 & -5 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-2)(-5) - (1)(2)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(5)) + \hat{k}((1)(2) - (-2)(5))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(10 - 2) - \hat{j}(-5 - 5) + \hat{k}(2 + 10)$
$\vec{\tau} = 8\hat{i} - (-10)\hat{j} + 12\hat{k}$
$\vec{\tau} = 8\hat{i} + 10\hat{j} + 12\hat{k}$.

(A) दिया गया है, हवाई जहाज की गति $v = 720 \text{ km/h} = 720 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 200 \text{ m/s}$.
बैंकिंग का कोण $\theta = 45^{\circ}$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$.
क्षैतिज लूप की त्रिज्या के लिए सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
मान रखने पर: $r = \frac{(200)^2}{10 \times \tan 45^{\circ}}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$, इसलिए $r = \frac{40000}{10 \times 1} = 4000 \text{ m}$.
किलोमीटर में बदलने पर, $r = 4 \text{ km}$.

(A) जल का असामान्य प्रसार एक अद्वितीय गुण है जिसमें $ 0^{\circ} C $ और $ 4^{\circ} C $ के बीच गर्म करने पर जल फैलने के बजाय सिकुड़ता है।
चूंकि घनत्व को प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान $( \rho = m/V )$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे-जैसे आयतन घटता है और द्रव्यमान स्थिर रहता है, घनत्व बढ़ता है।
$ 4^{\circ} C $ पर, जल के एक निश्चित द्रव्यमान का आयतन न्यूनतम होता है।
इसलिए, जल का घनत्व $ 4^{\circ} C $ पर अधिकतम होता है।

(A) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 3 \ kg \ m^{2}$,कोणीय वेग $\omega = 3 \ rad \ s^{-1}$,और द्रव्यमान $m = 27 \ kg$.
घूर्णन करते पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ है।
दूसरे पिंड की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$K_{rot} = K_{trans}$.
अतः,$\frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
$I \omega^{2} = m v^{2}$.
$v^{2} = \frac{I \omega^{2}}{m}$.
$v = \omega \sqrt{\frac{I}{m}}$.
मान रखने पर: $v = 3 \times \sqrt{\frac{3}{27}} = 3 \times \sqrt{\frac{1}{9}} = 3 \times \frac{1}{3} = 1 \ m \ s^{-1}$.

(D) दिया गया है,दक्षता,$\eta = 70 \% = 0.7$.
सिंक का तापमान,$T_2 = 27^{\circ}C = 273 + 27 = 300 \ K$.
कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $0.7 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{300}{T_1} = 1 - 0.7 = 0.3$.
स्रोत के तापमान $T_1$ के लिए हल करने पर: $T_1 = \frac{300}{0.3} = 1000 \ K$.
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 1000 - 273 = 727^{\circ}C$.
अतः,आवश्यक स्रोत का तापमान $727^{\circ}C$ है।

$(A)$ रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जो द्रव प्रवाह में जड़त्वीय बलों और श्यान बलों के अनुपात को दर्शाती है।
इसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
पाइप में प्रवाह के लिए, यदि रेनॉल्ड्स संख्या $2000$ से कम है, तो प्रवाह को धारा रेखीय या स्तरीय (laminar) माना जाता है।
यदि रेनॉल्ड्स संख्या $2000$ और $4000$ के बीच है, तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
यदि रेनॉल्ड्स संख्या $4000$ से अधिक है, तो प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) होता है।
दिए गए विकल्पों में से, धारा रेखीय प्रवाह की स्थिति $1000$ से कम की सीमा द्वारा संतुष्ट होती है।

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है।
$A$ से $B$ तक जाने में लगा समय $t_{1} = \frac{d}{v_{1}} = \frac{d}{30}$ है।
$B$ से $A$ तक जाने में लगा समय $t_{2} = \frac{d}{v_{2}} = \frac{d}{20}$ है।
औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d + d}{t_{1} + t_{2}} = \frac{2d}{\frac{d}{30} + \frac{d}{20}}$.
औसत गति $= \frac{2d}{d(\frac{20 + 30}{600})} = \frac{2 \times 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24 \ km/h$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति कर रहा होता है, तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f^{\prime} = \left( \frac{v}{v - v_{s}} \right) f$
जहाँ:
$f = 340 \,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \,ms^{-1}$ (ध्वनि की गति)
$v_{s} = 10 \,ms^{-1}$ (स्रोत/ट्रेन की गति)
सूत्र में मान रखने पर:
$f^{\prime} = \left( \frac{340}{340 - 10} \right) \times 340$
$f^{\prime} = \left( \frac{340}{330} \right) \times 340$
$f^{\prime} = \frac{115600}{330} \approx 350.3 \,Hz$
निकटतम पूर्णांक में, सुनी गई आवृत्ति $350 \,Hz$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक गति $u = 30 \,ms^{-1}$, प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$H = \frac{(30)^2 \times (\sin 45^{\circ})^2}{2 \times 10}$
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$।
$H = \frac{900 \times \frac{1}{2}}{20} = \frac{450}{20} = 22.5 \,m$।
अतः, पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $22.5 \,m$ है।

(D) दिया गया है: पाइप की लंबाई $L = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$.
आवृत्ति $f = 1.1 \text{ kHz} = 1100 \text{ Hz}$.
ध्वनि की गति $v = 330 \text{ ms}^{-1}$.
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \times \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $1100 = n \times \frac{330}{2 \times 0.3}$.
$1100 = n \times \frac{330}{0.6}$.
$1100 = n \times 550$.
$n = \frac{1100}{550} = 2$.
अतः,पाइप दूसरे हार्मोनिक मोड में अनुनाद करती है।

(B) जब साइकिल का टायर अचानक फट जाता है,तो यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
इसका कारण यह है कि हवा का विस्तार बहुत तेजी से होता है,जिससे सिस्टम (टायर के अंदर की हवा) और परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए समय नहीं मिलता है।
चूंकि $dQ = 0$,इसलिए यह प्रक्रिया रुद्धोष्म प्रक्रिया की शर्त को पूरा करती है।

(C) पृथ्वी की सतह के बहुत करीब परिक्रमा करने वाले उपग्रह का परिक्रमण काल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_E}{g}}$
दिए गए मान:
$R_E = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$
$g = 10 \ ms^{-2}$
$\pi = 3.14$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{10}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{6.4 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{64 \times 10^4}$
$T = 6.28 \times 800 = 5024 \ s$
समय को मिनट में बदलने के लिए:
$T = \frac{5024}{60} \ min \approx 83.73 \ min$
अतः, परिक्रमण काल $83.73$ मिनट है।

(A) एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के भूमध्य रेखा के ऊपर इस प्रकार परिक्रमा करता है कि पृथ्वी से देखने पर वह स्थिर दिखाई देता है।
इसका अर्थ यह है कि उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक चक्कर पूरा करने में उतना ही समय लेता है जितना समय पृथ्वी को अपनी धुरी पर एक घूर्णन पूरा करने में लगता है।
पृथ्वी का घूर्णन काल $24 \text{ h}$ है।
अतः,एक भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल $24 \text{ h}$ होता है।

(A) दिया गया है: तार की लंबाई,$l = 1 \ m$; तार का द्रव्यमान,$m = 10 \times 10^{-3} \ kg$; तनाव,$T = 100 \ N$ है।
तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति का सूत्र है: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{l} = \frac{10 \times 10^{-3} \ kg}{1 \ m} = 10 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{100}{10 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = \sqrt{10000} = 100 \ ms^{-1}$ है।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग की गति $100 \ ms^{-1}$ है।

(B) दो प्रोटॉन के बीच का बल,एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन के बीच के बल के समान होता है। यह प्रबल नाभिकीय बल का एक विशिष्ट गुण है,जो आवेश से स्वतंत्र होता है। प्रबल नाभिकीय बल न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है और नाभिक को एक साथ बांधे रखने के लिए जिम्मेदार होता है। यह बहुत कम दूरी पर अत्यंत शक्तिशाली होता है और अधिक दूरी पर नगण्य हो जाता है।

(C) दिया गया है: कुंडली की त्रिज्या $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
फेरों की संख्या $N = 100$.
धारा $I = 1 \text{ A}$.
धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = \pi \times (0.1 \text{ m})^{2} = 0.01 \pi \text{ m}^{2}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$M = 100 \times 1 \times (0.01 \times 3.142) \text{ A m}^{2}$.
$M = 100 \times 0.03142 \text{ A m}^{2} = 3.142 \text{ A m}^{2}$.
अतः,कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $3.142 \text{ A m}^{2}$ है।

(A) दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $ G = 100 \Omega $; एमीटर की रेंज $ I = 1 \text{ A} $; पूर्ण स्केल विक्षेप धारा $ I_{g} = 5 \text{ mA} = 5 \times 10^{-3} \text{ A} $.
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $ S $ जोड़ा जाता है।
शंट प्रतिरोध का सूत्र $ S = \frac{I_{g} G}{I - I_{g}} $ है।
मान रखने पर:
$ S = \frac{5 \times 10^{-3} \times 100}{1 - 5 \times 10^{-3}} $
$ S = \frac{0.5}{1 - 0.005} $
$ S = \frac{0.5}{0.995} \Omega $
$ S = \frac{5}{9.95} \Omega $.
अतः,शंट प्रतिरोध का मान $ \frac{5}{9.95} \Omega $ है।

(A) $L$ प्रेरकत्व और $I$ धारा वाली परिनालिका में संचित चुंबकीय ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{1}{2} L I^2$
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 2 \ H$
धारा $I = 1 \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 2 \times (1)^2$
$E = 1 \times 1 = 1 \ J$
अतः,परिनालिका में संचित चुंबकीय ऊर्जा $1 \ J$ है।

(C) चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ एक विमाहीन राशि है जो किसी अनुप्रयुक्त चुंबकीय क्षेत्र के प्रति पदार्थ के चुंबकन की डिग्री को दर्शाती है।
प्रतिचुंबकीय पदार्थों के लिए, $\chi$ छोटा और ऋणात्मक होता है।
अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए, $\chi$ छोटा और धनात्मक होता है।
लौहचुंबकीय पदार्थों के लिए, $\chi$ बड़ा और धनात्मक होता है।
चूंकि दी गई चुंबकीय प्रवृत्ति $ 400 $ है, जो एक बड़ा धनात्मक मान है, इसलिए यह पदार्थ लौहचुंबकीय (फेरोमैग्नेटिक) पदार्थों के वर्ग में आता है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
अर्ध-आयु $t = T$ पर,अविघटित नाभिकों की संख्या $N(T) = \frac{N_0}{2}$ होती है।
इन मानों को क्षय नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T}$
$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(1/2) = -\lambda T$
$-\ln(2) = -\lambda T$
$\lambda T = \ln(2) = \log_{e} 2$.

(D) टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता (resolving power) का सूत्र है:
$RP = \frac{D}{1.22 \lambda}$
जहाँ $D$ ऑब्जेक्टिव का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है:
$D = 200 \text{ cm} = 2 \text{ m}$
$\lambda = 5000 \text{ \AA} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$
मान रखने पर:
$RP = \frac{2}{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{2}{6.1 \times 10^{-7}}$
$RP = \frac{2}{6.1} \times 10^{7}$
$RP \approx 0.32786 \times 10^{7}$
$RP \approx 3.28 \times 10^{6}$
अतः, टेलीस्कोप की विभेदन क्षमता $3.28 \times 10^{6}$ है।

(B) विभवमापी प्रयोग में, सेल का emf $E$ उसकी संतुलन लंबाई $L$ के सीधे आनुपातिक होता है, जिसे $E \propto L$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रथम सेल के लिए दिया गया है: $E_{1} = 1.25 \,V$ और $L_{1} = 30 \,cm$।
दूसरे सेल के लिए: $E_{2} = ?$ और $L_{2} = 40 \,cm$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{L_{1}}{L_{2}}$।
मान रखने पर: $\frac{1.25}{E_{2}} = \frac{30}{40}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1.25}{E_{2}} = \frac{3}{4}$।
$E_{2}$ के लिए हल करने पर: $E_{2} = 1.25 \times \frac{4}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.666 \,V$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $E_{2} \simeq 1.67 \,V$ प्राप्त होता है।

(D) मेलस के नियम (Malus's Law) के अनुसार,निर्गत प्रकाश की तीव्रता इस प्रकार दी जाती है:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
जहाँ $I$ निर्गत ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है,$I_{0}$ आपतित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है,और $\theta$ दोनों ध्रुवकों की पास अक्ष के बीच का कोण है।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में रखते हैं:
$I = I_{0} \cos^{2}(60^{\circ})$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,इसलिए:
$I = I_{0} \times (1/2)^{2}$
$I = I_{0} \times (1/4)$
$I = I_{0} / 4$
अतः,दूसरे ध्रुवक से निकलने वाले ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_{0} / 4$ है।

(B) आवेश का क्वांटीकरण सूत्र $q = n e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ कुल आवेश है,$n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,और $e$ मूल आवेश $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ है।
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $n = \frac{q}{e}$.
दिया गया आवेश $q = 1 \ nC = 1 \times 10^{-9} \ C$ है।
मान रखने पर: $n = \frac{1 \times 10^{-9} \ C}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$.
$n = \frac{1}{1.6} \times 10^{10} = 0.625 \times 10^{10} = 6.25 \times 10^{9}$.
अतः,वस्तु पर उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6.25 \times 10^{9}$ है।

(D) $LCR$ परिपथ में अनुनाद (resonance) आवृत्ति पर अधिकतम शक्ति व्यय होती है।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$,धारिता $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$.
अनुनाद आवृत्ति $f_R$ का सूत्र है:
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6}}}$
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}}$
$f_R = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}}$
$f_R = \frac{10^4}{2 \pi} = \frac{10 \times 10^3}{2 \pi} = \frac{5 \times 10^3}{\pi} \ Hz$.

(D) गॉस के नियम में,गॉसियन सतह त्रिविमीय अंतरिक्ष में एक काल्पनिक बंद सतह होती है,जिसके माध्यम से एक सदिश क्षेत्र के फ्लक्स की गणना की जाती है।
परिभाषा के अनुसार,गॉसियन सतह पर किसी भी सतह अवयव $d\vec{S}$ को एक सदिश राशि के रूप में माना जाता है,जहाँ परिमाण अवयव का क्षेत्रफल होता है और दिशा सतह के लंबवत होती है।
चूंकि फ्लक्स $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}$ में विद्युत क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल शामिल होता है,इसलिए सतह अवयव स्वयं मूल रूप से एक सदिश है।
अतः,गणना में प्रयुक्त सतह अवयव की प्रकृति सदिश होती है।

(C) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{r}$
दी गई मान:
आवेश $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
दूरी $r = 9 \text{ cm} = 9 \times 10^{-2} \text{ m}$
कूलम्ब नियतांक $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ N m}^2/\text{C}^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = \frac{9 \times 3 \times 10^{0}}{9 \times 10^{-2}}$
$V = 3 \times 10^{2} \text{ V} = 300 \text{ V}$
अतः, विद्युत विभव $300 \text{ V}$ है।

(B) हम जानते हैं कि यदि बैटरी को हटा दिया जाए तो संधारित्र पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है,या धारिता के आधार पर विभवांतर बदल जाता है। $Q = CV$ होने के कारण,हमारे पास $V = Q/C$ है,जिसका अर्थ है $V \propto 1/C$।
हवा के साथ धारिता $C_0 = \epsilon_0 A / d$ है।
परावैद्युत स्लैब के साथ धारिता $C = K C_0$ है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
इसलिए,विभव का अनुपात $V_{dielectric} / V_0 = C_0 / C = C_0 / (K C_0) = 1/K$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V_0 = 4 \ V$ और $V_{dielectric} = 2 \ V$।
मान रखने पर: $2 / 4 = 1/K$।
इससे $1/2 = 1/K$ प्राप्त होता है,इसलिए $K = 2$।

(C) गोलाकार चालक के बाहर किसी बिंदु पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
दिए गए मान:
आवेश $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
दूरी $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ Nm}^{2}\text{C}^{-2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{(3 \times 10^{-2})^{2}}$
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-4}}$
$E = \frac{27}{9 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$
अतः,गोले के केंद्र से $3 \text{ cm}$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$ है।

(A) एक आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
बल के गैर-शून्य होने के लिए,कण को गतिमान होना चाहिए (अर्थात,वेग $\vec{v} \neq 0$) और वेग चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर नहीं होना चाहिए।
यदि कण स्थिर है,तो $\vec{v} = 0$,इसलिए $\vec{F} = 0$ होगा।
यदि वेग चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो क्रॉस उत्पाद $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा,इसलिए $\vec{F} = 0$ होगा।
अतः,चुंबकीय बल के अस्तित्व के लिए,कण का गतिमान होना आवश्यक है,और वेग सदिश का एक घटक चुंबकीय क्षेत्र सदिश के लंबवत होना चाहिए।

(B) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी,$f_{o} = 1 \ cm$; नेत्रिका की फोकस दूरी,$f_{e} = 6 \ cm$; नली की लंबाई,$L = 30 \ cm$; स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी,$D = 25 \ cm$।
संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के लिए,जब अंतिम प्रतिबिंब निकट बिंदु $(D)$ पर बनता है,तो आवर्धन क्षमता $M$ का सूत्र है:
$M = \frac{L}{f_{o}} \left(1 + \frac{D}{f_{e}}\right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{30}{1} \left(1 + \frac{25}{6}\right)$
$M = 30 \left(\frac{6 + 25}{6}\right)$
$M = 30 \left(\frac{31}{6}\right)$
$M = 5 \times 31 = 155$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $150$ है।

(D) फ्रिंज चौड़ाई $\beta = 0.002 \text{ cm}$ दी गई है।
यंग के डबल-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न के लिए,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र $x_n = (n - 0.5) \beta$ है,जहाँ $n$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है $(n = 1, 2, 3, \dots)$।
$5^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 5$ है।
मान रखने पर: $x_5 = (5 - 0.5) \times 0.002 \text{ cm}$.
$x_5 = 4.5 \times 0.002 \text{ cm} = 0.009 \text{ cm}$.
वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $0.009 \text{ cm} = 0.9 \times 10^{-2} \text{ cm}$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,कोई भी विकल्प गणना किए गए मान से मेल नहीं खाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) वोल्टेज का रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान,$ V_{rms} $,और $A$.$C$. स्रोत का शिखर वोल्टेज,$ V_{0} $,निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित हैं:
$ V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} $
यह दिया गया है कि मल्टीमीटर $RMS$ मान पढ़ता है,$ V_{rms} = 100 \,V $।
शिखर वोल्टेज $ V_{0} $ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$ V_{0} = V_{rms} \times \sqrt{2} $
दी गई मान रखने पर:
$ V_{0} = 100 \times 1.414 = 141.4 \,V $
अतः,$A$.$C$. स्रोत के वोल्टेज का शिखर मान $ 141.4 \,V $ है।

(D) $n$-प्रकार के अर्धचालक में,यद्यपि इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं,फिर भी पदार्थ समग्र रूप से विद्युत रूप से उदासीन रहता है।
इसका कारण यह है कि अर्धचालक क्रिस्टल उन परमाणुओं से बना होता है जो विद्युत रूप से उदासीन होते हैं,जिसमें नाभिक में प्रोटॉन और परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है।
जब $n$-प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए पंचसंयोजी अशुद्धि मिलाई जाती है,तो मिलाया गया अशुद्धि परमाणु स्वयं भी विद्युत रूप से उदासीन होता है।
इसलिए,मुक्त इलेक्ट्रॉनों का कुल ऋणात्मक आवेश क्रिस्टल जाली में मौजूद आयनित दाता परमाणुओं और प्रोटॉन के कुल धनात्मक आवेश द्वारा पूरी तरह से संतुलित हो जाता है।

(D) दिए गए सर्किट में दो $NOR$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं, जिसके बाद एक $NOR$ गेट लगा है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो गेट $NOR$ गेट हैं जिनके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं। पहले गेट का आउटपुट $\overline{A+A} = \bar{A}$ है।
दूसरे गेट का आउटपुट $\overline{B+B} = \bar{B}$ है।
ये आउटपुट अंतिम $NOR$ गेट में दिए जाते हैं। आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
अतः, यह सर्किट $AND$ गेट को दर्शाता है।

$A$	$B$	$Y = A \cdot B$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(C) चूंकि आवेश परिमाण में समान हैं और एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे गए हैं,इसलिए प्रत्येक आवेश पर कार्य करने वाले बल का परिमाण $F = qE$ है।
चूंकि बल $F$ का परिमाण दोनों आवेशों के लिए समान है,इसलिए $F_{1} = F_{2}$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करते हुए,हम $m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$ लिख सकते हैं।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर त्वरणों का अनुपात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 0.5$,इसलिए $\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{1}{0.5} = 2$ होगा।
अतः,उनके त्वरणों का अनुपात $\frac{a_{1}}{a_{2}} = 2$ है।

(B) एक ट्रांजिस्टर के लिए,$ \beta $-करंट गेन और $ \alpha $-करंट गेन इस सूत्र द्वारा संबंधित होते हैं:
$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$
दिया गया है कि $ \alpha $-करंट गेन $ 0.98 $ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\beta = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$
अतः,ट्रांजिस्टर का $ \beta $-करंट गेन $ 49 $ है।

(D) एक ट्यून्ड एम्पलीफायर सर्किट ($LC$ सर्किट) की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $ f $ का सूत्र है: $ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $.
$ \sqrt{LC} $ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{2 \pi f} $.
दी गई कैरियर आवृत्ति $ f = 2 \text{ MHz} = 2 \times 10^{6} \text{ Hz} $ है।
समीकरण में $ f $ का मान रखने पर: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{2 \pi \times (2 \times 10^{6})} $.
हर (denominator) की गणना करने पर: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{4 \pi \times 10^{6}} $.

(C) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_{1}$ और $R_{2}$ हैं।
जब वे श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{s} = R_{1} + R_{2} = 6 \ \Omega$ $(1)$ होता है।
जब वे समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{p} = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{4}{3} \ \Omega$ $(2)$ होता है।
समीकरण $(2)$ में $R_{1} + R_{2} = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R_{1} R_{2}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow R_{1} R_{2} = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \ \Omega^{2}$ $(3)$।
$(1)$ से,$R_{2} = 6 - R_{1}$। इसे $(3)$ में रखने पर:
$R_{1}(6 - R_{1}) = 8 \Rightarrow 6R_{1} - R_{1}^{2} = 8 \Rightarrow R_{1}^{2} - 6R_{1} + 8 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(R_{1} - 4)(R_{1} - 2) = 0$।
अतः,$R_{1} = 4 \ \Omega$ या $R_{1} = 2 \ \Omega$।
यदि $R_{1} = 4 \ \Omega$ है,तो $R_{2} = 2 \ \Omega$ होगा। यदि $R_{1} = 2 \ \Omega$ है,तो $R_{2} = 4 \ \Omega$ होगा।
इसलिए,दो प्रतिरोध $4 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$ हैं।

(D) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और कोणीय संवेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका सूत्र है: $\gamma = \frac{e}{2m_e}$।
दिया गया है,जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $\gamma = 8.8 \times 10^{10} \ C \ kg^{-1}$।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$।
इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m_e$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$m_e = \frac{e}{2\gamma}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m_e = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 8.8 \times 10^{10}}$।
$m_e = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{17.6 \times 10^{10}}$।
$m_e = \frac{16}{176} \times 10^{-29} \ kg$।
$m_e = \frac{1}{11} \times 10^{-29} \ kg$।
अतः,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\frac{1}{11} \times 10^{-29} \ kg$ है।

(D) जब कोई आवेशित कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में ऐसे वेग $\vec{v}$ के साथ गति करता है जो क्षेत्र के समानांतर या लंबवत नहीं है,तो इसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक $v_{\perp} = v \sin \theta$,जो वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर घटक $v_{\parallel} = v \cos \theta$,जो चुंबकीय बल से अप्रभावित रहता है और कण को क्षेत्र की दिशा में रेखीय गति कराता है।
इन दो गतियों का संयोजन—क्षेत्र के लंबवत तल में वृत्ताकार गति और क्षेत्र की दिशा में रेखीय गति—परिणामस्वरूप एक हेलिकल (कुंडलाकार) पथ बनाता है।

(C) प्रतिरोधक के लिए कलर कोड हरा,काला,बैंगनी,सुनहरा है।
मानक प्रतिरोधक कलर कोड के अनुसार:
हरा रंग अंक $5$ के अनुरूप है।
काला रंग अंक $0$ के अनुरूप है।
बैंगनी रंग गुणक $10^7$ के अनुरूप है।
सुनहरा रंग टॉलरेंस $\pm 5\%$ के अनुरूप है।
प्रतिरोध का मान इस प्रकार गणना की जाती है: $50 \times 10^7 \pm 5\% \ \Omega$.
इसे मेगाओम $(M\Omega)$ में बदलने पर: $50 \times 10^7 \ \Omega = 500 \times 10^6 \ \Omega = 500 \ M\Omega$.
टॉलरेंस को शामिल करते हुए,अंतिम मान $500 \pm 5\% \ M\Omega$ है।

(A) बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{E}{R_{eq} + r}$ है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल है,$R_{eq}$ तुल्य बाहरी प्रतिरोध है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
चूंकि दो प्रतिरोधक $R_1 = 2 \Omega$ और $R_2 = 6 \Omega$ समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \Omega$.
अब,मानों को धारा के सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{2}{1.5 + 0.5} = \frac{2}{2.0} = 1 \text{ A}$.
इस प्रकार,बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $1 \text{ A}$ है।

(A) दिया गया है: परिनालिका की लंबाई $l = 0.4 \,m$, फेरों की संख्या $N = 400$, धारा $I = 5 \,A$ है।
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = \frac{N}{l} = \frac{400}{0.4} = 1000 \,m^{-1}$ है।
परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है।
मान रखने पर: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 1000 \times 5$ है।
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 5000$ है।
$B = 20 \times 3.14159 \times 10^{-4} = 62.83 \times 10^{-4} = 6.28 \times 10^{-3} \,T$।

(B) दिया गया है: द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_{s} = 50$; प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_{p} = 1000$; प्राथमिक वोल्टेज,$V_{p} = 220 \ V$; प्राथमिक धारा,$I_{p} = 1 \ A$.
हम ट्रांसफार्मर अनुपात का सूत्र जानते हैं: $\frac{N_{s}}{N_{p}} = \frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$.
संबंध $\frac{N_{s}}{N_{p}} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$ का उपयोग करके,हम आउटपुट धारा $I_{s}$ ज्ञात कर सकते हैं: $I_{s} = \frac{N_{p}}{N_{s}} \times I_{p}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I_{s} = \frac{1000}{50} \times 1$.
$I_{s} = 20 \times 1 = 20 \ A$.
अतः,ट्रांसफार्मर की आउटपुट धारा $20 \ A$ है.

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाण के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$E = cB$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिए गए मान $E = 6 \text{ V m}^{-1}$ और $c = 3 \times 10^{8} \text{ m s}^{-1}$ हैं।
$B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{E}{c}$
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{6}{3 \times 10^{8}}$
$B = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$.
अतः,उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश का परिमाण $2 \times 10^{-8} \text{ T}$ है।

(A) समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों का उभयनिष्ठ विभव $V$ ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$।
दिया गया है: $C_1 = 10 \ pF$,$V_1 = 200 \ V$,$C_2 = 20 \ pF$,$V_2 = 100 \ V$।
मान रखने पर:
$V = \frac{(10 \times 10^{-12} \times 200) + (20 \times 10^{-12} \times 100)}{10 \times 10^{-12} + 20 \times 10^{-12}}$
$V = \frac{2000 \times 10^{-12} + 2000 \times 10^{-12}}{30 \times 10^{-12}}$
$V = \frac{4000 \times 10^{-12}}{30 \times 10^{-12}} = \frac{400}{3} \approx 133.33 \ V$।
अतः,संधारित्रों का उभयनिष्ठ विभव $133.33 \ V$ है।

(B) $ V $ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \ \text{Å}$
यहाँ दिया गया है कि विभवांतर $V = 100 \ V$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{100}}$
$\lambda = \frac{12.27}{10}$
$\lambda = 1.227 \ \text{Å}$
अतः,इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $1.227 \ \text{Å}$ है।

(A) दिया गया है: वस्तु की दूरी $u = -20 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
आवर्धन $m = -3$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और आवर्धित है)।
आवर्धन सूत्र $m = -\frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर:
$-3 = -\frac{v}{-20} \Rightarrow v = -60 \ cm$.
दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-60} + \frac{1}{-20} = \frac{-1 - 3}{60} = \frac{-4}{60} = -\frac{1}{15}$.
अतः,फोकस दूरी $f = -15 \ cm$ है।
इस प्रकार,फोकस दूरी का परिमाण $15 \ cm$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $ n^{\text{th}} $ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $ E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2} $।
तीसरी कक्षा के लिए,हम समीकरण में $ n = 3 $ रखते हैं:
$ E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} $।
इसकी गणना करने पर,हमें $ E_3 \approx -1.51 \ eV $ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरी कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $ -1.51 \ eV $ है।

(D) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में पाँच मुख्य स्पेक्ट्रमी श्रेणियाँ होती हैं: लाइमन,बामर,पाशन,ब्रैकेट और फंड।
$1$. लाइमन श्रेणी पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित होती है।
$2$. बामर श्रेणी दृश्य (visible) क्षेत्र में स्थित होती है।
$3$. पाशन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियाँ अवरक्त (infrared) क्षेत्र में स्थित होती हैं।
अतः,बामर श्रेणी सही उत्तर है।

(B) जब उपयुक्त आवृत्ति का प्रकाश धातु की प्लेट पर गिरता है,तो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। इस घटना को प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) कहा जाता है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = hf - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $h$ और $\phi_0$ नियतांक हैं,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(f)$ पर निर्भर करती है।

(A) $A.C.$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय का सूत्र है: $P = I_{rms}^2 Z \cos \phi$,जहाँ $P$ शक्ति है,$I_{rms}$ धारा है,$Z$ प्रतिबाधा है और $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
दिए गए मान हैं: $P = 2 \ W$,$I = 2 \ A$,और $Z = 1 \ \Omega$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $2 = (2)^2 \times 1 \times \cos \phi$.
$2 = 4 \times \cos \phi$.
$\cos \phi = \frac{2}{4} = 0.5$.
अतः,$A.C.$ परिपथ का शक्ति गुणांक $0.5$ है।

(B) दिया गया है,फोकस दूरी $f = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
लेंस की शक्ति $P$ को मीटर में फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{1}{f(m)} = \frac{1}{0.1 \ m} = 10 \ D$।
अतः,लेंस की शक्ति $10 \ D$ है।