KCET 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-2}{x^{2}-1} = \pi$।
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $x^2-1$,$x \rightarrow 1$ होने पर $0$ की ओर अग्रसर है,इसलिए सीमा का मान परिमित होने के लिए अंश $f(x)-2$ को भी $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 1} (f(x)-2) = 0$।
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 2$।

(A) एक कथन वह वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य।
$(A)$ $ \sqrt{3} $ एक अभाज्य संख्या है: यह कथन असत्य है क्योंकि $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ एक पूर्णांक नहीं है,और अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक होनी चाहिए।
$(B)$ सूर्य एक तारा है: यह एक सत्य कथन है।
$(C)$ गणित दिलचस्प है: यह एक राय है।
$(D)$ $ \sqrt{2} $ एक अपरिमेय संख्या है: यह एक सत्य कथन है।
अतः,जो कथन सही नहीं है वह विकल्प $A$ है।

(D) माना $n(U) = 60$ कुल छात्रों की संख्या है।
माना $C$ क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का समुच्चय है,$n(C) = 25$।
माना $T$ टेनिस खेलने वाले छात्रों का समुच्चय है,$n(T) = 20$।
दिया गया है $n(C \cap T) = 10$।
कम से कम एक खेल खेलने वाले छात्रों की संख्या $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ है।
$n(C \cup T) = 25 + 20 - 10 = 35$।
कोई भी खेल न खेलने वाले छात्रों की संख्या $n(U) - n(C \cup T)$ है।
$60 - 35 = 25$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = b^{x}$ जहाँ $b > 1$ है।
$f(x) = b^{x}$ के रूप के किसी भी चरघातांकी फलन के लिए,बिंदु $(0, 1)$ हमेशा ग्राफ पर स्थित होता है क्योंकि $f(0) = b^{0} = 1$ होता है।
बिंदु $(1, b)$ ग्राफ पर स्थित होता है क्योंकि $f(1) = b^{1} = b$ होता है।
इसलिए,बिंदु $(1, 0)$ फलन $f(x) = b^{x}$ के ग्राफ पर स्थित नहीं है।
अतः,विकल्प $D$ सही नहीं है।

(A) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
बिंदु $P$ की $x$-अक्ष से दूरी ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु का $x$-अक्ष पर प्रक्षेप (projection) लेते हैं।
बिंदु $P(a, b, c)$ का $x$-अक्ष पर प्रक्षेप बिंदु $A(a, 0, 0)$ है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ है।
$P(a, b, c)$ और $A(a, 0, 0)$ के निर्देशांक रखने पर:
$d = \sqrt{(a-a)^2 + (0-b)^2 + (0-c)^2}$
$d = \sqrt{0^2 + (-b)^2 + (-c)^2}$
$d = \sqrt{b^2 + c^2}$.

(C) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
कुल योग $5$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 4), (4, 1), (2, 3), \text{ और } (3, 2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
हम जानते हैं कि $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$ और $P(B) = 1 - P(B^{\prime})$ होता है।
यहाँ $P(A^{\prime}) = \frac{2}{3}$ दिया है,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
यहाँ $P(B^{\prime}) = \frac{2}{7}$ दिया है,इसलिए $P(B) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होगा।
अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$।

(C) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = r^{2}$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (-a, -b)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(x - (-a))^{2} + (y - (-b))^{2} = (\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}$
$(x+a)^{2} + (y+b)^{2} = a^{2}-b^{2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^{2} + 2ax + a^{2} + y^{2} + 2by + b^{2} = a^{2} - b^{2}$
दोनों पक्षों से $a^{2}$ घटाने और $b^{2}$ जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + b^{2} + b^{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + 2b^{2} = 0$.

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदुओं $(5,0)$ और $(0,3)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{y-0}{x-5} = \frac{3-0}{0-5} = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $5y = -3(x-5)$,अर्थात $3x + 5y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(x_0, y_0) = (4,4)$ और रेखा के समीकरण $3x + 5y - 15 = 0$ को रखने पर:
$d = \frac{|3(4) + 5(4) - 15|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{|12 + 20 - 15|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{17}{\sqrt{34}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर,$d = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac{\sqrt{34}}{2} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}=12y$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}=4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=3$।
परवलय का शीर्ष $(0,0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ हैं,जो $(6, 3)$ और $(-6, 3)$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$ और बिंदुओं $(6, 3)$ तथा $(-6, 3)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
यहाँ,आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 12$ है।
ऊंचाई शीर्ष से नाभिलंब तक की दूरी है,जो $a = 3$ है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) हमें व्यंजक $a[b \cos C - c \cos B]$ दिया गया है।
त्रिभुज के लिए प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(b \cos C + c \cos B)(b \cos C - c \cos B)$ प्राप्त होता है।
यह $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ के रूप में है,इसलिए यह $b^2 \cos^2 C - c^2 \cos^2 B$ में सरल हो जाता है।
वैकल्पिक रूप से,कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a \left[ b \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) \right]$।
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right]$।
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2a} \right]$।
$= a \left[ \frac{2b^2 - 2c^2}{2a} \right] = b^2 - c^2$।

(A) मान लीजिए $ z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} $. हमें $ |z| $ ज्ञात करना है।
विचार करें कि $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right) $.
अंश का विस्तार करने पर: $ (\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha}) = \beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha} = |\beta|^2 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
हर का विस्तार करने पर: $ (1-\bar{\alpha} \beta)(1-\alpha \bar{\beta}) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \bar{\alpha} \alpha \beta \bar{\beta} = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 |\beta|^2 $.
चूँकि $ |\beta|=1 $,इसलिए $ |\beta|^2 = 1 $.
$ |\beta|^2 = 1 $ को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $ 1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
हर: $ 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 $.
चूँकि अंश और हर समान हैं,इसलिए $ |z|^2 = 1 $,जिसका अर्थ है कि $ |z| = 1 $.

(A) दिया गया है $\sin \theta = \sin \alpha$.
दोनों पक्षों से $\sin \alpha$ घटाने पर,हमें $\sin \theta - \sin \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$.
यह गुणनफल शून्य होगा यदि या तो $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ या $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ हो।
यदि $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ है,तो $\frac{\theta+\alpha}{2} = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\theta+\alpha}{2}$,$\frac{\pi}{2}$ का एक विषम गुणज है।
यदि $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ है,तो $\frac{\theta-\alpha}{2} = n\pi$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\theta-\alpha}{2}$,$\pi$ का एक गुणज है।
अतः,शर्त यह है कि $\frac{\theta+\alpha}{2}$,$\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज है या $\frac{\theta-\alpha}{2}$,$\pi$ का गुणज है।

(C) दिया गया है,$\tan x = \frac{3}{4}$ और $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$,$2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{x}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
दूसरे चतुर्थांश में,$\cos \theta$ ऋणात्मक होता है।
हम जानते हैं कि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + (\frac{3}{4})^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$।
इसलिए,$\sec x = \pm \frac{5}{4}$।
चूंकि $x$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\cos x$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $\cos x = -\frac{4}{5}$।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$।
$\cos x$ का मान रखने पर,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1/5}{2} = \frac{1}{10}$।
चूंकि $\frac{x}{2}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \frac{x}{2}$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।

(D) हम जानते हैं कि विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$
जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\mu$ समांतर माध्य है।
दिया गया है: $CV = 60$ और $\sigma = 21$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$60 = \frac{21}{\mu} \times 100$
$\mu$ के लिए हल करने पर:
$\mu = \frac{21 \times 100}{60}$
$\mu = \frac{2100}{60}$
$\mu = 35$
अतः,वितरण का समांतर माध्य $35$ है।

(C) दिया गया समुच्चय $A = \{x : |2x + 3| < 7\}$ है।
हम जानते हैं कि असमिका $|f(x)| < a$ का अर्थ $-a < f(x) < a$ होता है।
दी गई असमिका पर इसे लागू करने पर:
$-7 < 2x + 3 < 7$
सभी पदों में से $3$ घटाने पर:
$-7 - 3 < 2x < 7 - 3$
$-10 < 2x < 4$
$2$ से भाग देने पर:
$-5 < x < 2$
अब,समुच्चय $D = \{x : 0 < x + 5 < 7\}$ के लिए शर्त की जाँच करते हैं:
$0 < x + 5 < 7$
सभी पदों में से $5$ घटाने पर:
$0 - 5 < x < 7 - 5$
$-5 < x < 2$
चूंकि समुच्चय $A$ और समुच्चय $D$ के लिए $x$ का परिसर समान है,इसलिए समुच्चय $A$,समुच्चय $D$ के बराबर है।

(D) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{44}$ के विस्तार के लिए,$21^{\text{st}}$ पद $T_{21} = T_{20+1} = {}^{44}C_{20} x^{20}$ है।
$22^{\text{nd}}$ पद $T_{22} = T_{21+1} = {}^{44}C_{21} x^{21}$ है।
दिया गया है कि $T_{21} = T_{22}$,इसलिए ${}^{44}C_{20} x^{20} = {}^{44}C_{21} x^{21}$ है।
दोनों पक्षों को $x^{20}$ से विभाजित करने पर (मान लें $x \neq 0$),हमें $x = \frac{{}^{44}C_{20}}{{}^{44}C_{21}}$ प्राप्त होता है।
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{44!}{20!24!} \times \frac{21!23!}{44!} = \frac{21!}{20!} \times \frac{23!}{24!} = \frac{21}{1} \times \frac{1}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

(A) $5$ अंकीय टेलीफोन नंबर $67$ से शुरू होता है।
चूंकि पहले दो अंक $6$ और $7$ निश्चित हैं,इसलिए हमें शेष $3$ स्थानों को भरना है।
उपलब्ध अंक ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9}$ हैं,जो कुल $8$ अंक हैं।
चूंकि किसी भी अंक को दोहराया नहीं जा सकता है,इसलिए हमें इन $8$ उपलब्ध अंकों में से $3$ अंकों की व्यवस्था करनी है।
$8$ में से $3$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है।
$^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

(B) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $ S = \frac{a}{1-r} $ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $ |r| < 1 $ है।
दिया गया है $ S = 4 $,इसलिए $ \frac{a}{1-r} = 4 \Rightarrow a = 4(1-r) = 4 - 4r \Rightarrow a + 4r = 4 \dots(1) $.
गुणोत्तर श्रेणी का दूसरा पद $ t_2 = ar $ होता है।
दिया गया है $ t_2 = \frac{3}{4} $,इसलिए $ ar = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{4r} \dots(2) $.
समीकरण $(2)$ से $ a $ का मान $(1)$ में रखने पर:
$ \frac{3}{4r} + 4r = 4 $.
$ 4r $ से गुणा करने पर: $ 3 + 16r^2 = 16r \Rightarrow 16r^2 - 16r + 3 = 0 $.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $ 16r^2 - 12r - 4r + 3 = 0 \Rightarrow 4r(4r - 3) - 1(4r - 3) = 0 \Rightarrow (4r - 1)(4r - 3) = 0 $.
अतः,$ r = \frac{1}{4} $ या $ r = \frac{3}{4} $.
यदि $ r = \frac{1}{4} $ है,तो $ a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3 $.
यदि $ r = \frac{3}{4} $ है,तो $ a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1 $.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,युग्म $ (a=3, r=\frac{1}{4}) $ विकल्प $ B $ से मेल खाता है।

(D) दिया गया है $ y = (\tan^{-1} x)^2 $.
सबसे पहले,$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ y_1 = \frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
इसका अर्थ है $ (1+x^2) y_1 = 2 \tan^{-1} x $.
अब पुनः $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ (1+x^2) y_2 + y_1(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
पूरे समीकरण को $ (1+x^2) $ से गुणा करने पर:
$ (1+x^2)^2 y_2 + 2x(1+x^2) y_1 = 2 $.
अतः,मान $ 2 $ है।

(A) दिया गया है $y=(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})$.
हम इसे $y = \frac{1-x^{8}}{1-x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{7x^{8}-8x^{7}+1}{(1-x)^{2}}$.
लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x} + \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{4x^{3}}{1+x^{4}}$.
$x=1$ पर,$y = 8$ और $\frac{1}{8} \frac{dy}{dx} = 3.5$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = 28$.

(B) दिया गया है $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ पर।
चूंकि $f(x)$ और $g(x)$ बहुपद हैं,वे $[-2, 2]$ पर सतत हैं और $(-2, 2)$ पर अवकलनीय हैं। अतः,दोनों माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करते हैं।
रोले के प्रमेय के लिए,हम $f(a) = f(b)$ की जाँच करते हैं:
$f(-2) = -8$ और $f(2) = 8$. चूंकि $f(-2) \neq f(2)$,$f(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
$g(-2) = 0$ और $g(2) = 0$. चूंकि $g(-2) = g(2)$,$g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,कथन $(a)$ और कथन $(c)$ सही हैं।

(A) किसी फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(x) = \frac{3 \sin(\pi x)}{5x}$ जब $x \neq 0$ और $f(0) = 2K$ है।
हम जानते हैं कि $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\theta x)}{x} = \theta$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin(\pi x)}{5x} = \frac{3}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x} = \frac{3}{5} \times \pi = \frac{3\pi}{5}$।
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
अतः,$\frac{3\pi}{5} = 2K$।
$K$ का मान निकालने पर,हमें $K = \frac{3\pi}{10}$ प्राप्त होता है।

(C) ग्राफ फलन $f(x) = |x-1|$ को दर्शाता है।
$x=1$ पर,ग्राफ सतत है क्योंकि वक्र में कोई ब्रेक नहीं है।
हालाँकि,$x=1$ पर,एक तीक्ष्ण कोना (या cusp) है,जिसका अर्थ है कि बाएँ हाथ का अवकलज और दाएँ हाथ का अवकलज बराबर नहीं हैं।
विशेष रूप से,बाएँ हाथ का अवकलज $-1$ है और दाएँ हाथ का अवकलज $1$ है।
इसलिए,फलन $x=1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(C) माना स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाती है। स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan \phi = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)}$ है।
दिया गया है $y = x^{3} + 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ है।
बिंदु $(1, 2)$ पर,ढाल $m = \tan \phi = 3(1)^{2} = 3$ है।
आरेख के अनुसार,स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के साथ $\theta = 90^{\circ} + \phi$ कोण बनाती है।
अतः,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} + \phi) = -\cot \phi$ है।
चूँकि $\tan \phi = 3$ है,इसलिए $\cot \phi = \frac{1}{3}$ होगा।
अतः,$\tan \theta = -\frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1$ है।
$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{100x^{99}}{100} + \frac{99x^{98}}{99} + \dots + \frac{2x}{2} + 1$।
इसे सरल करने पर,हमें $f'(x) = x^{99} + x^{98} + \dots + x + 1$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलज में $x = 0$ रखने पर:
$f'(0) = 0^{99} + 0^{98} + \dots + 0 + 1 = 1$।

(D) माना $I = \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(e + \Pi - x) dx$.
चूँकि $f(e + \Pi - x) = f(x)$,यह हो जाता है:
$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(x) dx = (e + \Pi) \int_{e}^{\Pi} f(x) dx - \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.
$I = (e + \Pi) \left( \frac{2}{e + \Pi} \right) - I$.
$2I = 2$.
$I = 1$.

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\cos x}$ केवल तभी परिभाषित होता है जब $\cos x \geq 0$ हो।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x$ प्रथम चतुर्थांश $[0, \frac{\pi}{2}]$ और चतुर्थ चतुर्थांश $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ में अ-ऋणात्मक होता है।
अतः,$n=0$ के लिए प्रांत $[0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+a \\ x+4 & x+5 & x+b \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-2 & -2 & a-b \\ -2 & -2 & b-c \\ x+6 & x+7 & x+c\end{array}\right|$.
चूंकि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $b-a = c-b$,जिसका अर्थ है $a-b = b-c$.
अतः,पहली दो पंक्तियाँ $R_{1}$ और $R_{2}$ समान हैं।
चूंकि दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना $I = \int[(3x-1) \cos x + (1-2x) \sin x] dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int (3x-1) \cos x dx = (3x-1) \sin x + 3 \cos x$.
$\int (1-2x) \sin x dx = (2x-1) \cos x - 2 \sin x$.
दोनों को जोड़ने पर: $I = (3x-3) \sin x + (2x+2) \cos x + C$.
$f(x) \cos x + g(x) \sin x + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = 2x+2$ और $g(x) = 3(x-1)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
एक विकर्ण आव्यूह $A = \text{diag}(a, b, c)$ के लिए,इसका व्युत्क्रम $A^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a=2, b=3, c=4$ मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$.
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $y=mx$ और सीमाएँ $x=1$ तथा $x=2$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{1}^{2} mx \, dx = 6$
$\Rightarrow m \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (2^2 - 1^2) = 6$
$\Rightarrow \frac{m}{2} (4 - 1) = 6$
$\Rightarrow \frac{3m}{2} = 6$
$\Rightarrow 3m = 12$
$\Rightarrow m = 4$

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = 3x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
अवकल समीकरण को समाकलन गुणक $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \frac{dy}{dx} + y = 3x^2$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx}(xy) = 3x^2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int 3x^2 dx$.
$xy = x^3 + C$.
$x$ से भाग देने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है:
$y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(C) मान लीजिए कि $1$ इकाई भुजा वाला एक घन है। शीर्षों को चित्र में दिखाए अनुसार $3D$ निर्देशांक प्रणाली में लें।
मान लीजिए कि दो विकर्ण $\vec{OA}$ और $\vec{BC}$ हैं।
निर्देशांक $O(0,0,0)$,$A(1,1,1)$,$B(1,0,0)$,और $C(0,1,1)$ हैं।
सदिश $\vec{OA} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$ है।
सदिश $\vec{BC} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$ है।
दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$ है।
$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ है।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखा के दिक अनुपात के समान होंगे,जो $(1, 2, 3)$ हैं।
अभिलंब $(a, b, c)$ वाले समतल का सामान्य समीकरण $ax+by+cz+d=0$ होता है।
दिक अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1x+2y+3z+d=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(2, 3, 4)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$1(2)+2(3)+3(4)+d=0$
$2+6+12+d=0$
$20+d=0$
$d=-20$.
अतः,समतल का समीकरण $x+2y+3z-20=0$ या $x+2y+3z=20$ है।

(D) दी गई रेखा के दिक अनुपात $(3, 4, 5)$ हैं।
रेखा के समतल के समांतर होने के लिए,समतल का अभिलंब रेखा की दिशा के लंबवत होना चाहिए।
यदि समतल का समीकरण $ax+by+cz=d$ है,तो अभिलंब $(a, b, c)$ है।
लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $2x+y-2z=0$,अभिलंब $(2, 1, -2)$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $3(2) + 4(1) + 5(-2) = 6 + 4 - 10 = 0$ है।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल $2x+y-2z=0$ के समांतर है।

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ और $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ हैं।
दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के समतलीय होने की शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ है।
साथ ही,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -K)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (K, 2, 1)$ है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -K \\ K & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 - (-2K)) - 1(1 - (-K^2)) + 1(2 - K) = 0$
$-1(1 + 2K) - 1(1 + K^2) + 2 - K = 0$
$-1 - 2K - 1 - K^2 + 2 - K = 0$
$-K^2 - 3K = 0$
$K(K + 3) = 0$
अतः,$K = 0$ या $K = -3$ है। विकल्पों में $K = 0$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $K = 0$ है।

(A) दिए गए परवलय $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ हैं।
सबसे पहले,हम $y=x^{2}$ को $x=y^{2}$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x=(x^{2})^{2} \implies x=x^{4} \implies x^{4}-x=0 \implies x(x^{3}-1)=0$.
इससे $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होता है।
$x=0$ के लिए $y=0$ और $x=1$ के लिए $y=1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}$.
$A = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $ y = x \frac{dy}{dx} + \frac{2}{dy/dx} $ है।
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $ \frac{dy}{dx} $ से गुणा करने पर:
$ y \left( \frac{dy}{dx} \right) = x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2 $.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \left( \frac{dy}{dx} \right) + 2 = 0 $.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $ \frac{dy}{dx} $ है,इसलिए कोटि (order) $ 1 $ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $ 2 $ है,इसलिए घात (degree) $ 2 $ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $ 1 $ और $ 2 $ हैं।

(C) खुदाई की दर दी गई है $\frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{t}}$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$A = \int \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 4\sqrt{t} + C$.
जब $t = 0$,तो खोदा गया क्षेत्रफल $A = 0$,इसलिए $C = 0$.
अतः,$A = 4\sqrt{t}$.
$40$ वर्ग मीटर क्षेत्रफल खोदने के लिए समय $t$ ज्ञात करने हेतु,$A = 40$ रखें:
$40 = 4\sqrt{t} \Rightarrow \sqrt{t} = 10$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t = 10^2 = 100$ मिनट।

(D) दिया गया है $a R b \Leftrightarrow |a-b| \leq 1$.
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in S$ के लिए,$|a-a| = 0 \leq 1$. अतः,$a R a$ सत्य है। $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $a R b$ है,तो $|a-b| \leq 1$. चूंकि $|a-b| = |b-a|$,इसलिए $|b-a| \leq 1$,जिसका अर्थ है कि $b R a$ सत्य है। $R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $a = 1, b = 2, c = 3$ लें।
$|a-b| = |1-2| = 1 \leq 1$ (सत्य,अतः $a R b$)।
$|b-c| = |2-3| = 1 \leq 1$ (सत्य,अतः $b R c$)।
लेकिन $|a-c| = |1-3| = 2 > 1$ (असत्य,अतः $a, c$ से संबंधित नहीं है)।
अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 3 + |x|$ है।
हम जानते हैं कि $|x|$ का अवकलज इस प्रकार होता है:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + |x|) = \frac{d}{dx}(|x|) = \text{sgn}(x)$
जहाँ $\text{sgn}(x)$ साइनम फलन है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
फलन $f'(x)$,$x = 0$ पर अपरिभाषित है।
$f'(x)$ के मानों को देखने पर,यह केवल दो मान लेता है: $x > 0$ के लिए $1$ और $x < 0$ के लिए $-1$।
अतः,इस फलन $f'(x)$ का न्यूनतम मान $-1$ है।

(B) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $ A = \pi r^2 $ द्वारा दिया जाता है।
समय $ t $ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt} $.
दिए गए मानों $ r = 8 \text{ cm} $ और $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ को प्रतिस्थापित करने पर:
$ \frac{dA}{dt} = 2 \pi (8) (5) = 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $.
अतः,घिरा हुआ क्षेत्रफल $ 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $ की दर से बढ़ रहा है।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$ है।
फलन $f(\theta) = \log (\sec \theta - \tan \theta)$ पर विचार करें।
हम $f(-\theta)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि क्या $f(\theta)$ एक विषम फलन है:
$f(-\theta) = \log (\sec(-\theta) - \tan(-\theta)) = \log (\sec \theta + \tan \theta)$।
चूंकि $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta}$,इसलिए:
$f(-\theta) = \log \left( \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \right) = -\log (\sec \theta - \tan \theta) = -f(\theta)$।
अतः,$f(\theta)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए इस अंतराल पर विषम फलन का समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(A) दिया गया है कि,$a * b = 1 + ab$ $\rightarrow (1)$
क्रमविनिमेयता के लिए,जाँचें कि क्या $a * b = b * a$:
$b * a = 1 + ba = 1 + ab = a * b$
चूँकि $a * b = b * a$,इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए,जाँचें कि क्या $(a * b) * c = a * (b * c)$:
$(a * b) * c = (1 + ab) * c = 1 + (1 + ab)c = 1 + c + abc$
$a * (b * c) = a * (1 + bc) = 1 + a(1 + bc) = 1 + a + abc$
चूँकि $1 + c + abc \neq 1 + a + abc$,इसलिए संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,संक्रिया क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है।

(B) दिया गया है,$\sin \left(2 \sin ^{-1} 0.8\right)$.
माना $\sin ^{-1} 0.8 = \theta$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 0.8$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\theta = 2 \times 0.8 \times 0.6$.
$\sin 2\theta = 1.6 \times 0.6 = 0.96$.
अतः,इसका मान $0.96$ है.

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}\right\}-\sin ^{-1} x\right]$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $\theta = \sin^{-1} x$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ है।
$\sin^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ हो जाता है।
अब,व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\right\} - \theta\right]$ बन जाता है।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ है।
यह मान $\sin^{-1}$ के मुख्य परिसर में है,अतः $\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ होगा।
अतः,$E = \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$।

(B) हमें दिया गया है कि $P(A) \neq 0$ है। सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
$(i)$ यदि $A \subset B$ है,तो $A \cap B = A$ होगा। इसलिए,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$.
(ii) यदि $A \cap B = \phi$ है,तो $P(A \cap B) = P(\phi) = 0$ होगा। इसलिए,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{P(A)} = 0$.
अतः,क्रमशः मान $1$ और $0$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया है कि $x \geq -1$ के लिए $f(x)=(x+1)^{2}$ है।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ के ग्राफ का रेखा $y=x$ में प्रतिबिंब है,इसलिए $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन (inverse function) है,जिसे $f^{-1}(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = (x+1)^{2}$ है।
चूंकि $x \geq -1$,इसलिए $x+1 \geq 0$ है,अतः दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर $\sqrt{y} = x+1$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \sqrt{y} - 1$ प्राप्त होता है।
$x$ और $y$ को आपस में बदलने पर,हमें $f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$g(x) = \sqrt{x} - 1$।

(D) कथन $(a)$ सारणिक का एक मूलभूत गुण है: यदि दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हैं,तो सारणिक $0$ होता है।
कथन $(b)$ उस गुण को संदर्भित करता है कि आव्यूह $A$ का सारणिक उसके परिवर्त आव्यूह $A^T$ के सारणिक के बराबर होता है,अर्थात $|A| = |A^T|$। अतः,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने से मान नहीं बदलता है।
कथन $(c)$ एक गुण है जो बताता है कि किन्हीं दो पंक्तियों या स्तंभों को आपस में बदलने से सारणिक को $-1$ से गुणा किया जाता है,जिससे उसका चिह्न बदल जाता है।
अतः,सभी कथन $(a)$,$(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ का सममित भाग $\frac{1}{2}(A + A^T)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 6 & 8 & 2 \\ 2 & -2 & 7 \end{bmatrix}$,इसका परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 2 & 8 & -2 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix}$ है।
अब,$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & 2+6 & 4+2 \\ 6+2 & 8+8 & 2-2 \\ 2+4 & -2+2 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ है।
अंत में,$\frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 8 & 6 \\ 8 & 16 & 0 \\ 6 & 0 & 14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 4 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 4$ आव्यूह है।
अतः,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime}$ एक $4 \times 3$ आव्यूह है।
गुणनफल $A^{\prime}B$ के परिभाषित होने के लिए,$A^{\prime}$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। चूंकि $A^{\prime}$ का क्रम $4 \times 3$ है,इसलिए $B$ में $3$ पंक्तियाँ होनी चाहिए।
गुणनफल $BA^{\prime}$ के परिभाषित होने के लिए,$B$ में स्तंभों की संख्या $A^{\prime}$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। चूंकि $A^{\prime}$ में $4$ पंक्तियाँ हैं,इसलिए $B$ में $4$ स्तंभ होने चाहिए।
अतः,$B$ एक $3 \times 4$ आव्यूह होना चाहिए।

(D) हमें गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ दिया गया है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $A(\operatorname{adj} A) = 10I$ से करने पर,हमें $|A| = 10$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के सारणिक के लिए गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = 10^2 = 100$ प्राप्त होता है।

(D) कुल बल्बों की संख्या $N = 100$ है।
खराब बल्बों की संख्या $D = 10$ है।
सही बल्बों की संख्या $G = 100 - 10 = 90$ है।
यहाँ $n = 5$ बल्ब निकाले जाते हैं।
इसकी प्रायिकता कि कोई भी बल्ब खराब न हो,द्विपद वितरण का उपयोग करके निकाली जा सकती है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{90}{100} = 0.9$ है।
अतः,$P(X = 0) = (0.9)^{5} = (\frac{9}{10})^{5}$.

(B) दिए गए समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण द्वारा दिया जाता है: $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0(1) - 1(1)) - \hat{j}(1(1) - 1(2)) + \hat{k}(1(1) - 0(2))$
$= -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
अब,प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2}$
$= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
दो सदिशों के योग के परिमाण के गुण का उपयोग करते हुए:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \frac{\pi}{3}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$,जो $1$ से अधिक है,इसलिए $|\vec{a} + \vec{b}|$ का मान $1$ से अधिक है।

(C) दिया गया फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2} & n \text{ सम है} \end{cases}$।
एकैकी (one-one) की जाँच के लिए: $n=1$ (विषम) और $n=2$ (सम) लें।
$f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$.
$f(2) = \frac{2}{2} = 1$.
चूँकि $f(1) = f(2)$ है लेकिन $1 \neq 2$,इसलिए फलन $f$ एकैकी नहीं है।
आच्छादक (onto) की जाँच के लिए: किसी भी $y \in N$ के लिए,हमें ऐसा $n \in N$ ढूँढना है कि $f(n) = y$ हो।
यदि $y$ कोई भी प्राकृतिक संख्या है,तो हम $n = 2y$ (जो सम है) ले सकते हैं। तब $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ होगा।
चूँकि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,ऐसा $n \in N$ मौजूद है कि $f(n) = y$,इसलिए फलन $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(C) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[\vec{x} \quad \vec{y} \quad \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया व्यंजक: $[\vec{a}-\vec{b} \quad \vec{b}-\vec{c} \quad \vec{c}-\vec{a}] = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot ((\vec{b}-\vec{c}) \times (\vec{c}-\vec{a}))$.
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करें: $(\vec{b}-\vec{c}) \times (\vec{c}-\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,यह सरल होकर $\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}$ हो जाता है।
अब,$(\vec{a}-\vec{b})$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a})$
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
इस गुण का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है:
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0 + 0 - 0 - 0 - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]$.
चूंकि $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]$,व्यंजक का मान $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ हो जाता है।

(D) दी गई बाधाएं $x+y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
ये बाधाएं प्रथम चतुर्थांश में एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं जिसके कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(2,0)$,और $(0,2)$ हैं।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z = 3x+2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$2$. $(2,0)$ पर: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$3$. $(0,2)$ पर: $Z = 3(0) + 2(2) = 4$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $6$ है,जो बिंदु $(2,0)$ पर प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{\sin(2x)}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} dx$.
सर्वसमिका $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ का उपयोग करने पर,हर $1 - \cos^2(x) + 2\cos^2(x) = 1 + \cos^2(x)$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} dx$.
माना $t = 1 + \cos^2(x)$.
तब $dt = 2\cos(x)(-\sin(x)) dx = -\sin(2x) dx$.
इसका अर्थ है कि $\sin(2x) dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\log |t| + c$.
$t = 1 + \cos^2(x)$ वापस रखने पर,हमें $I = -\log |1 + \cos^2(x)| + c$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।