मान लीजिए कि x in [-frac{sqrt{3}}{2}, frac{1} | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$.चूंकि $cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1}x$,हमें प्राप्त होता है:$f(x) = (sin^{-1}x)^{2} +

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$65$

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(B) मान लीजिए $f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$.चूंकि $cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1}x$,हमें प्राप्त होता है:$f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - sin^{-1}x)^{2}$$f(x) = 2(sin^{-1}x)^{2} - \pi sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$पूर्ण वर्ग बनाने पर,$f(x) = 2(sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए,$sin^{-1}x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ है।$f(x)$ को अधिकतम करने के लिए,हम $sin^{-1}x$ का वह मान चुनते हैं जो $\frac{\pi}{4}$ से सबसे दूर है,जो कि $-\frac{\pi}{3}$ है।अधिकतम मान $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.अतः,$m = 29$ और $n = 36$ है। चूंकि $\gcd(29, 36) = 1$,इसलिए $m+n = 29 + 36 = 65$.

मान लीजिए कि $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए $(sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$ का अधिकतम मान $\frac{m}{n}\pi^{2}$ है,जहाँ $\gcd(m, n) = 1$ है। तो $m+n$ का मान ........... है।

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