समुच्चय S = {x : x in [0, 100] text{ और } int | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. गुणधर्म $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = \int_{0}^{

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$16$

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(B) माना $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. गुणधर्म $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$. इसका विस्तार करने पर,$I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$. समाकलनों का मूल्यांकन करने पर: $1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$. $2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$. $3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$. दिया गया है कि $I = x^{2}$,अतः $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$,जो सरल होकर $2 \cos(x) = 2$ या $\cos(x) = 1$ हो जाता है। $x \in [0, 100]$ के लिए,$\cos(x) = 1$ का अर्थ है $x = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$. चूँकि $2n\pi \le 100$,इसलिए $n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$. अतः,$n$ के मान $0, 1, 2, \dots, 15$ हो सकते हैं,जो कुल $16$ मान देते हैं।

समुच्चय $S = \{x : x \in [0, 100] \text{ और } \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt = x^{2}\}$ में अवयवों की संख्या है:

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यदि $f(x) = f(\Pi + e - x)$ और $\int_{e}^{\Pi} f(x) dx = \frac{2}{e + \Pi}$ है,तो $\int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^{1} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = $

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