एक त्रिभुज $ABC$ के लिए,मान लीजिए $\vec{p}=\vec{BC}$,$\vec{q}=\vec{CA}$ और $\vec{r}=\vec{BA}$ है। यदि $|\vec{p}|=2\sqrt{3}$,$|\vec{q}|=2$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,जहाँ $\theta$,$\vec{p}$ और $\vec{q}$ के बीच का कोण है,तो $|\vec{p} \times (\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\sin \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है जो सदिशों $\overrightarrow{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है,और सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ का कोण बनाता है। यदि $\hat{a}$,सदिश $\hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $a = 2i + j - 2k$ और $b = i + j$ है। यदि $c$ एक ऐसा सदिश है कि $a \cdot c = |c|$,$|c - a| = 2\sqrt{2}$ और $(a \times b)$ तथा $c$ के बीच का कोण $30^\circ$ है,तो $|(a \times b) \times c| = $

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण सदिश $2 \bar{a}-\bar{b}$ और $4 \bar{a}-5 \bar{b}$ हैं,जहाँ $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं जो $45^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।

यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$ हैं और उसका क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{93}}{2}$ वर्ग इकाई है,तो $\alpha = $