क्षेत्र A = {(x, y): 4x^2 + y^2 le 8 text{ और | vedclass

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Question

(B) दिया गया क्षेत्र दीर्घवृत्त $4x^2 + y^2 = 8$ और परवलय $y^2 = 4x$ द्वारा परिबद्ध है।सबसे पहले,$y^2 = 4x$ को $4x^2 + y^2 = 8$ में प्रतिस्थापित करके

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$\pi+\frac{2}{3}$

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(B) दिया गया क्षेत्र दीर्घवृत्त $4x^2 + y^2 = 8$ और परवलय $y^2 = 4x$ द्वारा परिबद्ध है।सबसे पहले,$y^2 = 4x$ को $4x^2 + y^2 = 8$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$4x^2 + 4x - 8 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0$.परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,$x = 1$ प्राप्त होता है। $x=1$ पर,$y^2 = 4$,अतः $y = \pm 2$.क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} dx + 2 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{8-4x^2} dx$.$= 4 \int_0^1 \sqrt{x} dx + 4 \int_1^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2} dx$.$= 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2-x^2} + \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_1^{\sqrt{2}}$.$= \frac{8}{3} + 4 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \right]$.$= \frac{8}{3} + 4 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{8}{3} + 2\pi - 2 - \pi = \pi + \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।

क्षेत्र $A = \{(x, y): 4x^2 + y^2 \le 8 \text{ और } y^2 \le 4x\}$ का क्षेत्रफल है:

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