यदि int_{0}^{1} 4 cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$. $z > 0$ के लिए $\cot^{-1}(z) = 	an^{-1}(\frac{1}{z})$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1}

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$9$

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(C) माना $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$. $z > 0$ के लिए $\cot^{-1}(z) = 	an^{-1}(\frac{1}{z})$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1} 	an^{-1}(\frac{1}{1+x(x-1)}) dx$ प्राप्त होता है। $	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(y) = 	an^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(x-1)) dx$ प्राप्त होता है। $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) - 	an^{-1}(-x)) dx = \int_{0}^{1} (	an^{-1}(1-x) + 	an^{-1}(x)) dx$. चूँकि $	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(1-x) = 	an^{-1}(\frac{1}{1+x-x^2})$,यह समाकलन $2 \int_{0}^{1} 	an^{-1}(x) dx$ के बराबर है। खंडशः समाकलन करने पर: $2 [x 	an^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)]_{0}^{1} = 2 [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2) - 0] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$. दिए गए समीकरण $4I = a 	an^{-1}(2) - b \ln(5)$ से तुलना करने पर,$a=4, b=1$ प्राप्त होता है। अतः,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

यदि $\int_{0}^{1} 4 \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a \tan^{-1}(2) - b \log_{e}(5)$,जहाँ $a, b \in N$,तो $(2a+b)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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