यदि अवकल समीकरण (x^{2}-4)y^{prime}-2xy+2x(4-x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-4)y^{\prime}-2xy = -2x(4-x^2)^2$ है। $(x^2-4)^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(x^2-4)y^{\prime}-2xy}{(x^2

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$16$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-4)y^{\prime}-2xy = -2x(4-x^2)^2$ है। $(x^2-4)^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(x^2-4)y^{\prime}-2xy}{(x^2-4)^2} = -2x$. यह भागफल नियम का अवकलन है: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x^2-4} ight) = -2x$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x^2-4} = -x^2 + C$. अतः,$y = (-x^2+C)(x^2-4)$. चूंकि वक्र बिंदु $(3, 15)$ से गुजरता है,$x=3$ और $y=15$ रखने पर: $15 = (-9+C)(9-4) \Rightarrow 15 = 5(-9+C) \Rightarrow 3 = -9+C \Rightarrow C=12$. इस प्रकार,$f(x) = (12-x^2)(x^2-4)$. स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर: $f^{\prime}(x) = (-2x)(x^2-4) + (12-x^2)(2x) = -2x^3 + 8x + 24x - 2x^3 = -4x^3 + 32x = 0$. $-4x(x^2-8) = 0$. चूंकि $x>2$,इसलिए $x^2=8$,अर्थात $x=2\sqrt{2}$. स्थानीय अधिकतम मान $f(2\sqrt{2}) = (12-8)(8-4) = 4 	imes 4 = 16$ है।

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