धनात्मक पूर्णांक n,जिसके लिए समीकरण x(x+2)+(x | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{

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$3$

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(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ है।पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$।यह $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ में सरल हो जाता है।$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ प्राप्त होता है।$n$ से विभाजित करने पर: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$।$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$।चूंकि मूल $\alpha, \beta$ दो क्रमागत सम पूर्णांक हैं,इसलिए $|\alpha - \beta| = 2$।अतः,$\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$।$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$।$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$।$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$।

धनात्मक पूर्णांक $n$,जिसके लिए समीकरण $x(x+2)+(x+2)(x+4)+...+(x+2n-2)(x+2n) = \frac{8n}{3}$ के हल दो क्रमागत सम पूर्णांक हैं,वह है:

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