मान लीजिए कि n एक निष्पक्ष पासा फेंकने पर प्र | vedclass

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Question

(D) समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D 
eq 0$ हो।$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \ 1 & n-2 & n+1 \ 0 & n-

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$22$

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(D) समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय हल होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D 
eq 0$ हो।$D = \begin{vmatrix} 1 & -n & 1 \ 1 & n-2 & n+1 \ 0 & n-1 & 1 \end{vmatrix}$प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:$D = 1((n-2)(1) - (n+1)(n-1)) - 1((-n)(1) - (1)(n-1)) + 0$$D = (n-2 - (n^2-1)) - (-n - n + 1)$$D = (n-2 - n^2 + 1) - (-2n + 1)$$D = -n^2 + 3n - 2$अद्वितीय हल के लिए,$D 
eq 0$,अतः $-n^2 + 3n - 2 
eq 0$,जिसका अर्थ है $n^2 - 3n + 2 
eq 0$.$(n-1)(n-2) 
eq 0$,इसलिए $n 
eq 1$ और $n 
eq 2$.चूंकि $n$ एक पासे का परिणाम है,$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.$n$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,वे $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।ऐसे मानों की संख्या $4$ है,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है।अतः,$k = 4$.$k$ और $n$ के सभी संभावित मानों का योग $4 + (3 + 4 + 5 + 6) = 4 + 18 = 22$ है।

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यदि समीकरण निकाय $3x - 2y + z = 0$,$\lambda x - 14y + 15z = 0$,और $x + 2y + 3z = 0$ का एक अशून्य हल (non-trivial solution) है,तो $\lambda = $

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों के निकाय $x+y+kz=2$; $2x+3y-z=1$; $3x+4y+2z=k$ के अनंत हल हैं। तो निकाय $(k+1)x+(2k-1)y=7$; $(2k+1)x+(k+5)y=10$ रखता है:

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