सबसे बड़ी $n \in N$ संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए $7^n$,$101!$ को विभाजित करता है:

$1, 2, 3, 4,$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली चार अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें कम से कम दो अंक समान हों?

अंकों $1, 3, 5, 6, 8$ का उपयोग करके तीन और चार अंकों की संख्याएँ बनाई जाती हैं। यदि $e_1$ तीन अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $e_2$ चार अंकों की सम संख्याओं की संख्या है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। साथ ही,$O_1$ तीन अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है और $O_2$ चार अंकों की विषम संख्याओं की संख्या को दर्शाता है जिसमें कोई अंक दोहराया नहीं गया है। तो:

यदि दिए गए अंकों $1, 2, 3, 5, 8$ में से $4$ अलग-अलग अंकों को चुनकर सभी संभावित $4$-अंकीय संख्याएँ बनाई जाती हैं,तो ऐसी सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग क्या है?

शब्द $\text{MATHS}$ के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $6$-अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें प्रयुक्त प्रत्येक अक्षर कम से कम दो बार आए।

एक कक्षा में $8$ छात्रों में से $4$ छात्रों को चुना जाता है और उन्हें एक मेज के चारों ओर व्यवस्थित किया जाता है। यदि शेष $4$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है,तो उन $8$ छात्रों के साथ की जा सकने वाली कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?