$\frac{^{100}C_{50}}{51} + \frac{^{100}C_{51}}{52} + \dots + \frac{^{100}C_{100}}{101}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $S = \frac{1}{25!} + \frac{1}{3!23!} + \frac{1}{5!21!} + \dots$ $13$ पदों तक है। यदि $13S = \frac{2^{k}}{n!}$ जहाँ $k \in N$ है,तो $n + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

विस्तार $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ के लिए सूची-$I$ में दिए गए व्यंजकों को सूची-$II$ में उनके मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

सही मिलान है:

यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^9, x^{10}$ और $x^{11}$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,तो $n^2-41n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(\frac{1}{^{15}C_{0}}+\frac{1}{^{15}C_{1}})(\frac{1}{^{15}C_{1}}+\frac{1}{^{15}C_{2}})...(\frac{1}{^{15}C_{12}}+\frac{1}{^{15}C_{13}}) = \frac{a^{13}}{^{14}C_{0} \cdot ^{14}C_{1} \cdot ... \cdot ^{14}C_{12}}$ है,तो $30a$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(x+a)^n$ के द्विपद विस्तार में $x^{n-r}a^r$ और $x^ra^{n-r}$ पदों के गुणांकों का अनुपात क्या होगा?