एक परवलय का अक्ष रेखा y=x है और इसका शीर्ष और | vedclass

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Question

(B) शीर्ष $V$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $V = (1, 1)$ है।नाभि $S$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $2\sqrt{2}$ की दूरी पर है,

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$9$

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(B) शीर्ष $V$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $V = (1, 1)$ है।नाभि $S$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $2\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $S = (2, 2)$ है।शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ है।नियता (directrix) अक्ष $y=x$ के लंबवत है और बिंदु $Z$ से गुजरती है जहाँ $V$,$SZ$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $S=(2,2)$ और $V=(1,1)$ है,इसलिए $Z = (0,0)$ होगा।नियता का समीकरण $x+y=0$ है।परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(1, k)$ की नाभि $S(2, 2)$ से दूरी,$P$ की नियता $x+y=0$ से दूरी के बराबर होती है।$PS = \sqrt{(1-2)^2 + (k-2)^2} = \sqrt{1 + (k-2)^2}$.$PM = \frac{|1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|1+k|}{\sqrt{2}}$.$PS^2 = PM^2$ रखने पर:$1 + (k-2)^2 = \frac{(1+k)^2}{2}$$2(1 + k^2 - 4k + 4) = 1 + k^2 + 2k$$2k^2 - 8k + 10 = 1 + k^2 + 2k$$k^2 - 10k + 9 = 0$$(k-1)(k-9) = 0$.अतः,$k=1$ या $k=9$ है। चूँकि $k=1$ शीर्ष को दर्शाता है,इसलिए दूसरा संभावित मान $k=9$ है।

List-$I$	List-$II$
$I$. शीर्ष	$A$. $8$
$II$. नाभिलंब की लंबाई	$B$. $(\frac{29}{10}, \frac{-38}{10})$
$III$. नियता	$C$. $3x+4y-1=0$
$IV$. नाभिलंब का एक सिरा	$D$. $(\frac{-2}{5}, \frac{-16}{5})$
	$E$. $6$

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