श्रेणी 1+frac{1+3}{2!}+frac{1+3+5}{3!}+frac{1 | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \frac{1+3+5+\ldots+(2r-1)}{r!}$ है।चूंकि प्रथम $r$ विषम संख्याओं का योग $r^2$ होता है,इसलिए $T_r = \frac{r^2}{r!} = \f

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$2$

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(D) श्रेणी का $r$-वां पद $T_r = \frac{1+3+5+\ldots+(2r-1)}{r!}$ है।चूंकि प्रथम $r$ विषम संख्याओं का योग $r^2$ होता है,इसलिए $T_r = \frac{r^2}{r!} = \frac{r}{(r-1)!}$ है।हम $r$ को $(r-1+1)$ के रूप में लिख सकते हैं,अतः $T_r = \frac{r-1+1}{(r-1)!} = \frac{r-1}{(r-1)!} + \frac{1}{(r-1)!} = \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!}$ ($r \ge 2$ के लिए)।योग $S = \sum_{r=1}^{\infty} T_r = T_1 + \sum_{r=2}^{\infty} \left( \frac{1}{(r-2)!} + \frac{1}{(r-1)!} \right)$ है।$S = 1 + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-2)!} + \sum_{r=2}^{\infty} \frac{1}{(r-1)!}$ है।$S = 1 + (\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) + (\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots) = 1 + e + (e-1) = 2e$।

श्रेणी $1+\frac{1+3}{2!}+\frac{1+3+5}{3!}+\frac{1+3+5+7}{4!}+\ldots$ के $\infty$ पदों तक का योग किसके बराबर है ($e$ में)?

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