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Question

(A) माना $P(W_{1}) = x$ है। कुल शब्दों की संख्या $5! = 120$ है,इसलिए प्रायिकताओं का योग $\sum_{i=1}^{120} P(W_{i}) = 1$ है। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है:

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$183$

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(A) माना $P(W_{1}) = x$ है। कुल शब्दों की संख्या $5! = 120$ है,इसलिए प्रायिकताओं का योग $\sum_{i=1}^{120} P(W_{i}) = 1$ है। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $x + 2x + 2^{2}x + \dots + 2^{119}x = 1$। $\frac{x(2^{120}-1)}{2-1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2^{120}-1}$। अब,शब्द $CDBEA$ का क्रम ज्ञात करते हैं: $A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$। $B$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$। $CA$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$। $CB$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$। $CDA$ से शुरू होने वाले शब्द: $2! = 2$। $CDBAE$: $1$। $CDBEA$: $1$। कुल क्रम $n = 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 + 1 = 64$। अतः,$P(W_{64}) = 2^{63} P(W_{1}) = \frac{2^{63}}{2^{120}-1}$। $\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}-1}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 63$ और $\beta = 120$ प्राप्त होता है। इसलिए,$\alpha + \beta = 63 + 120 = 183$।

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