मान लीजिए कि अतिपरवलय $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $P(4, 2\sqrt{3})$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $32$ है। यदि $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई $p$ है और इसके नाभिलंब की लंबाई $q$ है,तो $p^2 + q^2$ का मान ...... है।

यदि $2x - y + 1 = 0$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$ की स्पर्शरेखा है,तो निम्नलिखित में से कौन सी भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $\text{नहीं हो सकती}$?

मान लीजिए $LL^{\prime}$ एक अतिपरवलय की नाभि $S$ से गुजरने वाला नाभिलंब है और $A^{\prime}$ अतिपरवलय का विपरीत शीर्ष है। यदि त्रिभुज $A^{\prime}LL^{\prime}$ समबाहु है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ पर,रेखा $2x-y=1$ के समांतर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। अतिपरवलय पर स्पर्श बिंदु हैं:
$(A) \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(B) \left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(C) (3\sqrt{3}, -2\sqrt{2})$
$(D) (-3\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) $\sqrt{3}$ है,तो इसके संयुग्मी अतिपरवलय (conjugate hyperbola) की उत्केंद्रता क्या होगी?

माना $H_{n} = \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$,जहाँ $n \in N$ है। माना $k$,$n$ का सबसे छोटा सम मान है जिसके लिए $H_{k}$ की उत्केंद्रता (eccentricity) एक परिमेय संख्या है। यदि $l$,$H_{k}$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है,तो $21l$ का मान $.......$ है।